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保险精算课程设计

生命表的建立及其应用

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摘要

本文根据生命表的理论知识，完善已有部分数据的生命表。并利用换算函数简化生命保险和生命年金的一些复杂计算，根据换算公式同样建立的生命表。并对完善好的生命表加以实践应用，通过举例体现了生命表的重要作用。

关键字：生命表 生存函数 换算函数

目录

一、 生命表的发展史??????????????????(1) 二、 生命表的函数及其建立???????????????(1) 三、 生命表的应用???????????????????(4) 四、 参考文献?????????????????????(6) 五、 附件???????????????????????(6)

一、 生命表的发展史

生命表的建立可追溯到公元1661年，英国就有了历史上最早的死亡机率统计表。到1693年，世界上第一张生命表是英国天文学家哈莱制定了《哈莱死亡表》，它奠定了近代人寿保险费计算的基础，到1700年，英国又建立了\均衡保费法\，使投保人每年缴费是同一金额。

生命表是怎么来的呢？对于单个人来说，出生后何时死亡是不可知的，但对于一个国家，一个地区，在一定时间，一定的社会经济条件下，人的生、老、死是有规律可循的。人们可根据大数法则的原理，运用统计方法和概率论，编制出生命规律的生命表，它是同批人从出生后，陆续死亡的生命过程的统计表。

我国在1929-1931间，金陵大学的肖富德编制了中国第一张生命表，称为\农民生命表\。1982年第2次全国人口普查得到了完整的生命表资料，直到1995年末才制定出了中国人寿保险业第一张经验生命表。

二、 生命表函数及其建立

2.1 生命表的概念

生命表又称“死亡表”（mortality table）,它是根据一定时期的特定国家（或）地区或特定人口群体（如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生存状况统计资料，编制而成的统计表。生命表可以反应出任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关信息。 2.2 生命表函数

一个刚出生的个体（0岁），其未来生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。T0代表一个0岁的人未来生存的时间，也就是他的寿命。定义随机变量T0的分布函数F0(t)为：

F0(t)=P(T0?t)

依定义，F0(t)是一个0岁的人不晚于t岁死亡的概率。

另一个补充性的概率也是经常用到的，即一个0岁的人在t岁之后死亡的概率，我们记作S0(t),称为生存函数，即：

S0(t)?P(T0?t)?1?F0(t)

1

定义：

函数 px?S0(1)?P(Tx?1);qx?F0(1)?P(Tx?1)。

概念 表示一个x岁的人在未来一年内死亡的概率 表示一个x岁的人在x+1岁仍然生存的概率 x时刻死亡的人数 在x时刻存活的人 x岁的人的简单生命期望值 x岁的人的完全生命期望值 qx px dx lx ex ex 。 主要公式 px?1?qx;lx?lx?1?dx?1;dx?lxqx; UDDLx??lx?sds?????lx?0??1dx; 2Tx??lx?sds??????lt； 0UDDt?xex??lt?1?x?tlx; ex。?ex?0.5 表1 生命表函数

2.3 换算函数

为了计算各种类型的生命保险与生命年金的预期现值，我们将定义换算函数，这些函数可以把很长的计算大大简化。 主要换算函数 Cx?vx?1dx;Mx??Cx?k;Rx=?Mx?k k?0??k?0Dx?vxlx;Nx??Dx?k;Sx??Nx?kk?0k?0?? 表2 换算函数

2

根据以上的换算函数，可以将原本复杂的计算简化。以下是几个主要的公式，用换算函数表示以达到简化的目的。

AA1x:n1x:nx?nlvlx?nDx?nxxx?n?vnpx?v?x?lxvlxDx

??vk?1k|qx??vk?1k?0n?1dx?kMx?Mx?n?lxDx

Ax:nMx?Mx?n?Dx?n?Dxm|Ax?mExAx?m?Dx?mMx?mMx?m?

DxDx?mDx

Mx?kRx(IA)x??k|Ax???DxDxk?02.4 生命表的建立

?根据生命表6（1990-1993）养老业务男表给出的年龄和死亡率，根据以上公式，在excel中，完善生命表。

表3 完善后的生命表（全部数据见附件1）

年龄01234567死亡率qx0.0027330.0019410.0014500.0011250.0009000.0007390.0006210.000534生存率px生存人数lx死亡人数dx0.997267100000027330.99805999726719360.99855099533114430.99887599388811180.9991009927708930.9992619918767330.9993799911436160.999466990528529Lx998634996299994610993329992323991510990836990263Tx7541184674411846734145797241924771425359704325896944071368449570ex74.4118573.6157772.7589471.8645970.9455370.0094469.0612168.10413e.x74.9118574.1157773.2589472.3645971.4455370.5094469.5612168.60413

表4 换算函数表示的生命表（全部数据件附件2）

年龄01234567死亡率qx0.0027330.0019410.0014500.0011250.0009000.0007390.0006210.000534 生存率px生存人数lx死亡人数dxCx0.997267100000027332666.30.99805999726719361842.40.99855099533114431340.20.99887599388811181013.00.999100992770893789.70.999261991876733632.10.999379991143616517.80.999466990528529434.1Dx1000000.0972943.4947370.7922923.9899400.6876674.3854659.9833296.7Mx172263.1169596.8167754.3166414.2165401.2164611.5163979.43 163461.6NxRx33937212.911344494.732937212.911172231.631964269.411002634.931016898.810834880.530093974.910668466.429194574.310503065.228317900.110338453.727463240.210174474.3Sxiv926301442.70.0250.97561892364229.8859427016.9827462747.5796445848.7766351873.8737157299.5708839399.4三、生命表的应用

3.1 应用一

某人现在20岁，试求A20:15、5|A20及(IA)20。 根据两全保险公式有：

A20:15=根据延期的生命保险公式有:

M20?M35?D35；

D20M255|A20?D20根据标准永久递增年金公式有：

；

R20(IA)20=D20；

所以通过查询附件2中的生命表，易求得以上各值，结果分别如下：

A20:15=0.6923；5|A20=0.2595；(IA)20=13.4647

3.2 应用二

现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。采用生命表6（1990-1993）养老业务男表计算，i=0.025。 求解：趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35

1A135:10??vk?09k?1kp35q35?k??vk?09k?135?kll35d35?k1?k?1??vd35?kl35?kl35k?0?1d)1044(1.025) ? ?1111(d35?d?d?236337l351.025(1.025)(1.025)M35?M45151561.6-145175.1??0.01563D35408607.5

4

10|A35??vk?1070k?1kp35q35?k??vk?1070k?135?kll35d35?k1?l35?kl35k?10k?1v?d35?k701111 ?(d?d?d?114512461347l35(1.025)(1.025)(1.025)M45145175.1 ???0.35529D35408607.51?d)71105(1.025)所以泵交纯保费为：。

5

15000*0.01563+20000*0.35529=7340.25

四、参考文献

[1]李晓林，寿险精算原理，北京：中国财政经济出版社（第二版），2012年。

[2]吴岚，黄海，何洋波，北京：金融数学引论（第二版），2005年。

6

五、附件

附件1：完善的生命表

年龄 死亡率qx 生存率px 生存人数lx 死亡人数dx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0.002733 0.001941 0.001450 0.001125 0.000900 0.000739 0.000621 0.000534 0.000468 0.000421 0.000393 0.000389 0.000412 0.000464 0.000543 0.000635 0.000731 0.000816 0.000883 0.000925 0.000944 0.000943 0.000927 0.000903 0.000875 0.997267 0.998059 0.998550 0.998875 0.999100 0.999261 0.999379 0.999466 0.999532 0.999579 0.999607 0.999611 0.999588 0.999536 0.999457 0.999365 0.999269 0.999184 0.999117 0.999075 0.999056 0.999057 0.999073 0.999097 0.999125 1000000 997267 995331 993888 992770 991876 991143 990528 989999 989536 989119 988730 988346 987939 987480 986944 986317 985596 984792 983922 983012 982084 981158 980249 979364 7

Lx Tx ex ex 。2733 998634 75411846 74.41185 74.91185 1936 996299 74411846 73.61577 74.11577 1443 994610 73414579 72.75894 73.25894 1118 993329 72419247 71.86459 72.36459 893 992323 71425359 70.94553 71.44553 733 991510 70432589 70.00944 70.50944 616 990836 69440713 69.06121 69.56121 529 990263 68449570 68.10413 68.60413 463 989767 67459042 67.14051 67.64051 417 989327 66469043 66.17195 66.67195 389 988925 65479507 65.19982 65.69982 385 988538 64490388 64.22545 64.72545 407 988142 63501657 63.25045 63.75045 458 987709 62513312 62.27652 62.77652 536 987212 61525373 61.30543 61.80543 627 986631 60537893 60.33873 60.83873 721 985957 59550949 59.37707 59.87707 804 985194 58564632 58.42051 58.92051 870 984357 57579035 57.46822 57.96822 910 983467 56594243 56.51901 57.01901 928 982548 55610321 55.57134 56.07134 926 981621 54627309 54.62385 55.12385 910 980703 53645224 53.67541 54.17541 885 979806 52664066 52.72521 53.22521 857 978935 51683817 51.77286 52.27286

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 0.000851 0.000833 0.000824 0.000826 0.000840 0.000867 0.000906 0.000958 0.001022 0.001100 0.001189 0.001292 0.001409 0.001539 0.001685 0.001846 0.002025 0.002223 0.002442 0.002683 0.002948 0.003241 0.003562 0.003917 0.004306 0.004734 0.005205 0.005722 0.006292 0.999149 0.999167 0.999176 0.999174 0.999160 0.999133 0.999094 0.999042 0.998978 0.998900 0.998811 0.998708 0.998591 0.998461 0.998315 0.998154 0.997975 0.997777 0.997558 0.997317 0.997052 0.996759 0.996438 0.996083 0.995694 0.995266 0.994795 0.994278 0.993708 978507 977674 976859 976055 975248 974429 973584 972702 971770 970777 969709 968556 967305 965942 964455 962830 961053 959107 956975 954638 952077 949270 946193 942823 939130 935086 930659 925815 920518 8

833 978090 50704454 50.8182 51.3182 814 977267 49725947 49.86149 50.36149 805 976457 48748273 48.90306 49.40306 806 975651 47771414 47.94339 48.44339 819 974839 46795359 46.98302 47.48302 845 974007 45820111 46.02252 46.52252 882 973143 44845682 45.06245 45.56245 932 972236 43872098 44.10332 44.60332 993 971274 42899395 43.14561 43.64561 1068 970243 41927625 42.18975 42.68975 1153 969133 40956848 41.23621 41.73621 1251 967931 39987138 40.2853 40.7853 1363 966624 39018582 39.33741 39.83741 1487 965199 38051277 38.39292 38.89292 1625 963643 37085335 37.4521 37.9521 1777 961942 36120879 36.51531 37.01531 1946 960080 35158049 35.58284 36.08284 2132 958041 34196996 34.65504 35.15504 2337 955806 33237889 33.73225 34.23225 2561 953357 32280914 32.81483 33.31483 2807 950673 31326276 31.90311 32.40311 3077 947732 30374200 30.99744 31.49744 3370 944508 29424930 30.09822 30.59822 3693 940976 28478737 29.20582 29.70582 4044 937108 27535914 28.32067 28.82067 4427 932873 26596784 27.44314 27.94314 4844 928237 25661698 26.57368 27.07368 5298 923166 24731039 25.71272 26.21272 5792 917622 23805224 24.86069 25.36069

54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 0.006917 0.007604 0.008359 0.009189 0.010100 0.011100 0.012198 0.013403 0.014725 0.016175 0.017766 0.019509 0.021420 0.023513 0.025804 0.028311 0.031054 0.034052 0.037327 0.040901 0.044801 0.049051 0.053680 0.058714 0.064185 0.070124 0.076562 0.083532 0.091066 0.993083 0.992396 0.991641 0.990811 0.989900 0.988900 0.987802 0.986597 0.985275 0.983825 0.982234 0.980491 0.978580 0.976487 0.974196 0.971689 0.968946 0.965948 0.962673 0.959099 0.955199 0.950949 0.946320 0.941286 0.935815 0.929876 0.923438 0.916468 0.908934 914726 908399 901491 893956 885741 876795 867063 856486 845007 832564 819097 804545 788849 771952 753801 734350 713560 691401 667857 642928 616632 589006 560115 530048 498927 466903 434162 400922 367432 9

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附件2：替换函数表示的生命表 i=0.025

年龄 0 1 死亡率qx Cx Dx Mx 172263.1 169596.8 10

Nx 33937212.9 32937212.9 Rx 11344494.7 11172231.6 Sx 926301442.7 892364229.8 0.002733 2666.3 1000000.0 0.001941 1842.4 972943.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.001450 1340.2 0.001125 1013.0 0.000900 0.000739 0.000621 0.000534 0.000468 0.000421 0.000393 0.000389 0.000412 0.000464 0.000543 0.000635 0.000731 0.000816 0.000883 0.000925 0.000944 0.000943 0.000927 0.000903 0.000875 0.000851 0.000833 0.000824 0.000826 0.000840 0.000867 789.7 632.1 517.8 434.1 371.0 325.4 296.3 286.0 295.4 324.4 370.2 422.2 473.8 515.7 543.9 555.4 552.5 537.9 515.4 489.4 462.2 438.2 418.1 403.2 394.0 390.6 392.9 947370.7 922923.9 899400.6 876674.3 854659.9 833296.7 812538.3 792349.3 772698.3 753555.7 734890.3 716670.8 698866.6 681450.8 664407.9 647729.0 631415.1 615470.8 599903.8 584719.5 569920.2 555504.2 541466.0 527797.3 514485.9 501519.4 488884.0 476566.1 464552.0 167754.3 166414.2 165401.2 164611.5 163979.4 163461.6 163027.5 162656.5 162331.0 162034.8 161748.8 161453.4 161129.0 160758.8 160336.6 159862.8 159347.1 158803.2 158247.7 157695.2 157157.3 156641.9 156152.5 155690.3 155252.1 154833.9 154430.8 154036.8 153646.2 11

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