人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析

第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式

A级 基础巩固 一、选择题

a1

a2

a3

1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则值为( )

A．3 C．9

B．6 D．12

＋＋的最小a1′a2′a3′

111

解析：a1≥a2≥a3＞0，则≥≥＞0，

a3a2a1由乱序和不小于反序和知， a3a1a2a3

所以＋＋≥＋＋＝3，

a1′a2′a3′a1a2a3

a1

a2

a3

a1

a2

所以

＋＋的最小值为3，故选A. a1′a2′a3′

答案：A

2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )

A．420 元

B．400 元

C．450 元 D．570 元

解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．

答案：A

3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )

A．M≥N C．M＜N

解析：不妨设a≥b≥c＞0， 则a4≥b4≥c4， 运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4， 又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，

所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab， 即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N. 答案：A

4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则aA．1

B．2

33

b＋b

c＋c

a的最大值是( )

B．M＝N D．M＞N

C．3 D. 解析：设a≥b≥c≥0，所以由排序不等式可得a

b＋b

a ≥c＋c

b ≥ a≤a

c. a＋b

b＋c

c.

而(a＋b

b＋c所以a

a＋bc≤3. b＋b

b＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aa

c＋ca≤3.

答案：C

5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )

A．大于零 C．小于零

B．大于等于零 D．小于等于零

解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，

根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，

所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题

6．设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．

答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1

ab＋c

b

c

7．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________． c＋aa＋b

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