第一章 矢量分析
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第一章 矢量分析 1.1 标量 具有大小特征的量称为标量 1.2 矢量 A, A 1.2.1 矢量的表示 习惯上用黑体符号或在符号上加单向箭头表 示矢量,如矢量 A可记为 A 或是A。大小(又称 为模值)为1的矢量称为单位矢量,他没有量刚。 矢量的单位矢量用 ea表示,即 A ea A. 在直角坐标系中,矢量 A 可表示为A ex Ax ey Ay ez Az2014-6-20
(1.1)
第一章 矢量分析 矢量的模值为A Ax 2 Ay 2 Az 2
矢量 A 单位矢量 ea为ea A A ex Ax A ey Ay A ez Az A
A ex Ax ey Ay ez Az
ex cos ey cos ez cos (1.2)
Az
zA
Ay
x2014-6-20
Ax
y
图1.1 直角坐标系下的矢量
A
2014-6-20
2014-6-20
第一章 矢量分析 1.2.2 矢量的代数运算 1 矢量加法 设矢量 B ex Bx ey By ez Bz ,则 A B为A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )(1.3)
矢量的加法满足交换律和结合律,即 (1.4) (a)交换律: A B B A (b)结合律: ( A B) C A (B C) (1.5)A B2014-6-20
A B
A B B
A B
A B
图1.2 矢量加减
第一章 矢量分析2 矢量减法 矢量 A 与矢量 B相加称为矢量 A与B 的差,记为 A B,即A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
(1.6)
3 矢量的乘积1)矢量的数乘 设k为任意常数,则kA ea (kA) 2)矢量的标量积(标积或内积)
矢量 A 与矢量B 的标量积记为 A B,其大小等于 A 和 B 的模与它们之间夹角的余弦的乘积,即2014-6-20
A B A B cos AB
(1.7)
第一章 矢量分析0 180 式中 AB 是 A 和 B 之间较小的夹角,即 AB 两矢量的标量积满足交换律和分配律,即
(1 ) A B B A
( 1.8 )
(2) A ( B C) A B A C
( 1.9 )
但结合律不适用于标量积,因为 A B C 这样的表达式无意义。 在直角坐标系下
A B Ax Bx Ay By Az Bz
( 1.10 )
3)矢量的矢量积(矢积) 矢量 A与 B 的矢量积记为 A B,它是一个矢量,即A B en A B sin AB2014-6-20
( 1.11 )
第一章 矢量分析矢量积不满足交换律,即A B B A
1.12
矢量积满足分配律,即A ( B C) A B A C
1.131.14
矢量积不满足结合律,即A ( B C) ( A B) C 在直角坐标系下,ex A B Ax Bx2014-6-20
ey Ay By
ez Az Bz
1.15
第一章 矢量分析3)三个矢量乘积 三个矢量的乘积有两个,即三重标量积和三重矢量积。 (1)三重标量积公式:A (B C) B (C A) C ( A B)
1.16
式中 A , B 和 C 的次序满足循环交换律。
(2)三重矢量积公式:A (B C) B( A C) C( A B)
1.17
此式被称为“back-cab”规则
2014-6-20
Example 2-1 Prove the l
aw of cosines for a triangle Solution:Referring to Fig.2-7,the law of cosines states thatC A2 B 2 2 ABcos Considering the sides as vectors:that isC A B
Taking the dot product of C with itself, we have:
C C C ( A B) ( A B) A A B B 2 A B A B 2 A B cos AB2 2
2
CBB AB
AB 180 C A B 2 A B cos 180 2 2 2
C
OA
A B 2 A B cos 2014-6-20
2
2
A
Fig.2-7 Illustrating Example2-1
C A2 B2 2 AB cos
Review questions R2-1 Which of the following products of vectors do not make sense? Explain.(a)
A B C
(b) A B C
(c ) A B C
(d ) A B
( e) A a A
(f)
A B C
R2-2 Is ( A B)C equal to A( B C) ? R2-3 Does A B A C imply B C ? Explain. R2-4 Does A B A C imply
B C
? Explain.
2014-6-20
第一章 矢量分析1.3 标量场与矢量场 场的定义叙述为,若对于空间域Ω 上每一点都对应着 某个物理量的一个标量(数量)或是一个矢量,则称此空 间域确定了这个物理量的场。若所讨论的物理量是标量, 则称这个场为标量场;若所讨论的物理量是矢量,则称这 个场为矢量场。例如,若所研究的物理量是温度、压力、 密度、电位等时,这些物理量的状态可以用标量函数 A(x,y,z,t)来描绘;反之,当所研究的物理量时力、速度、 电场强度等时,这些物理量的状态可以用矢量函数 A (x,y,z,t) 来描绘。若一个场中的每一个点所对应的量与该点的位置 有关,还与时间有关,则称这种场为动态(时变)场。如 果场中的每一点所对应的量与时间无关,则称这种场为静 态场。 2014-6-20
第一章 矢量分析1.4.1 方向导数lP
方向导数
在实际应用中不仅需 要宏观上了解场在空 间的数值,还需要知 道场在不同方向上场 变化的情况。应用方 向性导数可以描述标 量场在空间某个方向 上变化的情况。2014-6-20
P
图1.4 方向导数
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
第一章 矢量分析方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一 方向上的变化率。例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导 数
定义为 l P
l
limP
( P ) ( P)Δl
Δl 0
(1.18)
1.4.2
梯度: 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,梯 度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见,梯度是一 个 矢量。
2014-6-20
图 标量场梯度的图示
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第一章 矢量分析在直角坐标系中,标量场 的梯度可表示为
grad ex ey ez x y z式中grad
是英文字母 gradient 的缩写。 若引入算符 ,它在直角坐标系中可表示为
(1.20)
ex ey ez x y z则梯度可表示为
(1.21) (1.22)
grad
1.4.3
方向导数与梯度的关系式: el l
(1.23)
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第一章 矢量分析1.4.4 梯度的基本公式 C 0
(C为常数) (C为常数)
(1.24) (1.25)
(C ) C
( ) ( ) 2
(1.26)(1.27) (1.28)
F ( ) F '( )
(1.29)
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Example Find the gradient of a scalar field f ( x, y, z) 6 x2 y3 e z at the point P(2,1,0). Solution: Since f(x,y,z) is given in rectangular coordinates, then f f f f ax a y az x y z 2 3 z 2 3 z 2 3 z 6 x y e ax 6 x y e a y 6 x y e az x y z 12 xy 3ax 18 x 2 y 2 a y e z az
At the given point P(2,1,0).the gradient of f(x,y,z) is f 24ax 72ay az
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第一章 矢量分析1.5 矢量场的通量、散度与高斯定理 1.5.1矢量场的通量 一个面元除了其大小以外,在空间还有一定的取向。如图1.5 所示,可以用一个矢量来表示面元。取一个与面元垂直的单位矢 量 en ,面元的大小为dS,则面元矢量为dS en dS
(1.30)
其中面元取向有两种情形 (1)对于一个开曲面,设此开曲面由一个 闭曲线围成如图1.5所示,则当开曲面上的 面元选定绕行方向后,沿绕行方向按右手 螺旋的大拇指方向就是 en 的方向;
图1.5 开曲面上的面元
(2)当 dS 是封闭曲面上的面元,则取为封闭面的外法向方向。若 位于矢量场 A 中,A 和dS 的标量积 A dS 便称为 A 穿过dS 的通量。2014-6-20
第一章 矢量分析将曲面S各面元上的通量 A dS 叠加即的穿过整个面元S的通量,记为 ,可见通量是一个标量。 S
A dS
(1.31)
通量: 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲
面 S 的通量。通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时,认为
该闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向 通常规定为闭合面的外法线方向。因此,当闭合面中有源时,矢量通
过该闭合面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以,前述的源称为正源,而洞称为负源。2014-6-20
2014-6-20
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