国中考数学四边形解答题（学生版）

2008 年中考数学四边形解答题（学生版）

（08黑龙江鸡西23题）23．（本小题满分6分）

有一底角为60的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．

223．解：当BE?15cm时，△ABE的面积是50cm；

?2当CF?15cm时，△BCF的面积是75cm；

A B

2当BE?15cm时，△BCE的面积是255cm．

（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）

（08黑龙江鸡西26题）26．（本小题满分8分）

?D F E C 已知：正方形ABCD中，?MAN?45，?MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．

当?MAN绕点A旋转到BM?DN时（如图1），易证BM?DN?MN． （1）当?MAN绕点A旋转到BM?DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当?MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

A D A D A D

N

N

M B

C B B C C M M

图1 图2

N 图3

（08黑龙江大庆）20．（本题5分）

如图，在ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点且BE?DF，则线段AE与线段CF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论． F ．．．．．．．．A D B C E

（第20题）

? 1

(08北京市卷18题)18．（本小题满分5分）

?如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?AC，?B?45，AD?2，BC?42，求DC的长．

解：

A A D D

B B C C E F

图1

(08北京市卷22题)22．（本小题满分4分）

已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE?BC于点E，过点G作GF?BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A?，B?，C?处．若点A?，B?，C?在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A?B?C?（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

A A

D G D G

A? A? C B E C?B ?F C 图1 B E C? B? F

图2

（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A?B?C?的面积； （2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A?B?C?存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A?B?C?的面积，并写出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． A A

C C B B

备用图 备用图

解：（1）重叠三角形A?B?C?的面积为 ；

（2）用含m的代数式表示重叠三角形A?B?C?的面积为 ；m的取值范围为 ．

2

(08北京市卷25题)25．请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若?ABC??BEF?60，探究PG与PC的位置关系及

?PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D C D

P G

P F

G

F

B A E A

B

图1 图2 E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中?ABC??BEF?2?(0????90?)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG的值（用含?的式子表示）． PC

（08河北省卷26题）26．（本小题满分12分）

?如图15，在Rt△ABC中，?C?90，AB?50，AC?30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点

P从点D出发沿折线DE?EF?FC?CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方

向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK?AB，交折线BC?CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t?0）． （1）D，F两点间的距离是 ；

（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF?FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值． ．．

C D A 3

F P E 图15

G Q B K

（08内蒙赤峰）20．（本题满分10分）

如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由． A D B C

（08山西省卷）25．（本题12分）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。 （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。 （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

（08山东滨州21题）21．（本题满分10分）在梯形ABCD中，AB∥CD，?A?90，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。

0

（08山东聊城22题）22．（本题满分8分）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F． （1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． F

D A

O

4

B E

C

（08山东临沂21题）21．（本小题满分7分）

如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE?D⑴求证：△ABF∽△CEB;

⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。 B第21题图 C

（08山东青岛21题）21．（本小题满分8分）

E?CG，连接BG并延长交DE已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使C于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE； A D

1CD。 2EAF（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90得到△DAE?， 判断四边形E?BGD是什么特殊四边形？并说明理由．

?E? G B

F E

C

（08山东潍坊21题）21．（本题满分10分）

如图，ABCD为平行四边形，AD?a，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点． （1）求证：DF?FE；

A ?D （2）若AC?2CF，∠ADC?60，AC?DC，求BE的长；

B C F （3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积．

E

（08山东潍坊23题）23．（本题满分11分）

如图，矩形纸片ABCD中，AB?8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG?10．

（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（1），求△EFG的面积； （2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（2），证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

H(A)

E(B) E(B) F D

A A D

F B C B C

G G

图（1） 图（2）

5

（08山东烟台25题）25、（本题满分14分）

如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

（08年江苏常州）已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD.

E BC

F

AD（第23题）

（08年江苏常州）如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意．．图,并写出它们的周长. ．

（08年江苏连云港20题）（本小题满分8分）

2224?如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，?A?90，CD?AD，将纸片沿过点D的直线折叠，

使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF．连接EF并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF是正方形；

（2）取线段AF的中点G，连接EG，如果BG?CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．

E C D B A

G F

（第20题图）

6

（08年江苏南京21题）（6分）如图，在ABCD中，E，F为BC上两点，且BE?CF，AF?DE． 求证：（1）△ABF≌△DCE；

A D

（2）四边形ABCD是矩形．

B C

E F

（第21题） （08年江苏南京22题）（6分）如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大小完全相同．

（1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写；

①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F．

D H

A C E G

B F

图1 图2

（第22题）

如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是 ； 如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是 ； 如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是 ； （2）①图1，图2关于点O成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）； ②写出两个图形成中心对称的一条性质： ．（可以结合所画图形叙述） ．．

?

（08年江苏宿迁21题）（本题满分8分）

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． (1)求证：AB?CF；

(2)当BC与AF满足什么数量关系时，

A四边形ABFC是矩形，并说明理由．

C EB

F

第21题

7

D

（08年江苏泰州27题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3。

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分）

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F。 ①求证：点B平分线段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由。（4分）

DCPAB

（08年江苏无锡20题）（本小题满分6分）如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF?AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．

（08年江苏无锡21题）（本小题满分7分）

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分?BAD，CE∥AD交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

8

（08年江苏无锡28题）（本小题满分8分）

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

（08年江苏徐州26题）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断 ① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC

请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题： ①构造一个真命题．．．，画图并给出证明； ②构造一个假命题．．．

，举反例加以说明.

（08浙江湖州20题）20．（本小题8分）

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE． （1）求证：△BDE≌△CDF．

（2）请连结BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．

（08浙江淮安24题）24．(本小题9分)

已知；如图．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E， 连结AE、DE．

(1)试判断四边形AODE的形状,不必说明理由； (2)请你连结EB、EC．并证明EB=EC．

9

1 图

（08浙江嘉兴23题）23．小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决： （1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF?AE交AB于F，求证：AE?DF； （2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF?GH，求

EF的值； GHEFGH（3）如图3，矩形ABCD中，AB?a，BC?b，点E，F分别在AD，BC上，且EF?GH，求的值．

（第23题图3） （第23题图1） （第23题图2）

（08浙江丽水18题）18．如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD、BC上一点．

在①AE?CF、②BE∥DF、③?1??2中，请选择其中一个条件，证明BE?DF． （1）你选择的条件是 （只需填写序号）； A E D

1 （2）证明：

2

C B F （第18题）

（08浙江衢州20题）20、(本题8分)如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但AD?CD，我们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

D

A C

B 10

（08浙江宿迁）21．（本题满分8分）

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． (1)求证：AB?CF； D(2)当BC与AF满足什么数量关系时， A四边形ABFC是矩形，并说明理由．

C

EB

F 第21题

（08浙江义乌）23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a?b，k?0)，第(1)题

①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=

11

1，求BE2?DG2的值． 2

（08上海市卷）23．（本题满分12分，每小题满分各6分）

如图11，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形； E （2）若?AED?2?EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

A D O

B C 图11

(08安徽省卷20题)20.（本题8分） 如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)； (2)求BP∶PQ∶QR

（08安徽芜湖21题）21． （本小题满分8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?DC?AD，?C?60°，AE?BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高． （1）求证:四边形AEFD是平行四边形;

（2）设AE?x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．

（08江西省卷）20．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B?处，点A落在点A?处． （1）求证：B?E?BF；

（2）设AE?a，AB?b，BF?c，试猜想a，b，c之间有何等量关系， 并给予证明．

12

C

F

B

D

A?

B? E

A

(08福建龙岩25题)25．（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长；

（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不

存在，请说明理由.

（第25题图）

（备用图）

(08福建厦门25题)25．（本题满分12分）

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD?AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

E D A 2（2）若AE?10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE?AC?AP？

2B

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

（08湖北恩施18题）18.（本题满分8分）如图7，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由. D E C

A B F

图7

13

F

（第25题）

C

（08湖北恩施20题）20. （本题满分8分）如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥

BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?

22(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式x?4?(12?x)?9的最小值.

A D E B C 图8

（08湖北黄冈）12．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?AD，AC，BD相交于O点，

?BCD?60?，则下列说法正确的是（ ）

A D

A．梯形ABCD是轴对称图形 B．BC?2AD O C．梯形ABCD是中心对称图形 D．AC平分?DCB

B C

（08湖北黄冈）14．（本题满分7分）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF?DE交BC的延长线于点F．求证：DE?DF．

D A

1 3

E 2

B

F C

（08湖北黄石26题）26．（本小题满分9分）

?ABM为直角，如图，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BE?AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF?CE，交BD于F． （1）求证：BF?FD；

（2）?A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由； （3）?A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG?

1DA，并说明理由． 4A

E C B 14

F

D M

（08湖北荆州19题）19．（本题6分）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连

A D 结DE，求证：DF＝DC．

F C B E

（08湖北十堰22题）22．(7分)如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE

与AD交于点F．

⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；

⑵若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由． E FAD CBM

第22题图（08湖北武汉）24.（本题10分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF.（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A，O重合），PE⊥PB且PE交CD点E. ①求证：DF＝EF，

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论：（2）若点P在线段OC上（不与点O，C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）.

15

(08湖北咸宁19题)19．（本题满分8分）

如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． A（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论． MOFNE

B(第19题图）C

（08湖北襄樊20题）20．（本小题满分7分） 如图12，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE． （1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

（08湖北孝感20题）20．（本题满分8分） 宽与长的比是5?1的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀2称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD；

第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；

第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E； 第四步：过B作EF?AD交AD的延长线于F，

16

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB?2）

M F D A

B E N C

（第20题图）

（08湖北孝感25题）25．（本题满分12分）

锐角△ABC中，BC?6，S△ABC?12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y?0)． A A

M N M N

C B D

C B P D Q

P Q

（第25题图1） （第25题图2）

（1）△ABC中边BC上高AD? ；（2分） （2）当x? 时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；（4分）

（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？（6分）

（08湖北宜昌23题）23．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂

线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上． （1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由； （2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大

值． B RTS E

17

CFPA(第23题)

（08湖南长沙24题）24、（本题满分8分）如图，在□ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.

（1）求证：△ABE≌△CDF； F A D （2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

B E C

（08湖南常德23题）23．如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？ （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． D C ① 解（1）

② Ｏ ④

③

A B

图7

（08湖南常德26题）26． 如图9，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：

O0O

∠C＝90，∠A＝30，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90 ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG

0

＝60。解答下列问题：

0

（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90，请你在图中作出旋转后的对应图形 △A1B1C，并求出AB1的长度；

（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形 △A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；

（3）平移：将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？ F E

B

lA D G C 图9

18

（08湖南郴州24题）24．如图8，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断

四边形ABDC的形状，并说出你的理由．

ABCD图8

（08湖南怀化24题）24．（本题满分7分）

如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE?CG；

（2）AN?DN?CN?MN.

（08湖南怀化25题）25．(本题满分7分)

如图11，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA． （1）求四边形CEFB的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若?BEC?15，求AC的长．

（08湖南湘潭20题）20.（本题满分6分）

19

?

如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F. （1）猜想：AD与CF的大小关系； （2）请证明上面的结论.

D

C

A F EB （08湖南益阳22题）22. △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.

A Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

G F B C D E 图10(1)

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱab. ．．．．．和Ⅱ．．．的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如．

果两题都解，只以Ⅱa的解答记分. ．．．．．．．．．．．．．．．

Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定

D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

A G F B

D

图10(2)

E

C Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由. A

G G′ B

F′ C F E D′ D E′

图10(3)

20

（08湖南益阳23题）23. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

(1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

C F

A B E D 图11(1)

(2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.

F C

A D B E 图11(2)

(3)如图11(3)，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值. (F) C

(F) A (E) D B α

图11(3) E

（08湖南永州22题）22．（8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

21

（08湖南邵阳19题）19．学生在讨论命题：“如图（十二），梯形ABCD中，AD∥BC，?B??C，则AB?DC．”的证明方法时，提出了如下三种思路．

思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形； D A 思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形； 思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．

C B 请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．

图（十二）

(08广东东莞/中山市15题)15．（本题满分6分）如图4，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去

四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

（08广东广州20题）20、（10分）如图7，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形

（08广东茂名23题）23.（本题满分10分）

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD．

（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（5分）

（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．（5分）

解：

22

图7

图4

A D B F C E

(08广东梅州18题)18．本题满分8分．

如图8，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．

（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；

（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．

图8 (08广东梅州21题)21．本题满分8分．

如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC 于点F．

（1）求证： ?ADE∽?BEF；

（2）设正方形的边长为4， AE=x，BF=y．当x取什么值时， y有最大值?并求出这个最大值．

（08广东深圳18题）18．如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的

延长线于点E，且∠C＝2∠E． AB（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．

（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．

EDC 图 5

(08广东肇庆21题) 21.（本小题满分7分）

如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.

（1）求证AE=BF；

（2）若BC=2cm，求正方形DEFG的边长.

23

（08广东佛山21题）21. 如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.

(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外两点不需要用

尺规作图确定，作草图即可)；

(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长. C

B A

第21题图

（08广东佛山23题）23. 如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.

(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和

相应的条件.

（08广东湛江）23． 如图7所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图

中找出一对全等的三角形，并加以证明．

A D

（08云南省卷）23．（本大题满分12分）如图11，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、

C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F.

A D （1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）求证：AE=FC+EF.

E

F B C G

图11

B 图7 O C E

D

A B

第23题图

C

F

CE?AF．（08云南双柏）19．（本小题8分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点， 请

24

A

E F

D

你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． ．．．．猜想：

证明：

（08贵州贵阳21题）21．（本题满分10分）

如图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD． （1）求证：△ADE≌△CBF．（5分）

（2）若AD?BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）

F

D C

A B E

（图8）

（08贵州遵义22题）22．（10分）在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块

三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向 旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M，N时， 观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？ 并证明你的结论。

（08四川巴中）24．已知：如图9，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．

（1）求证：△BCD≌△FDE．

（2）连结BD，CF，判断四边形BCFD的形状，并证明你的结论．

（08四川广安）20．如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于

点F．

（1）求证：CF=AD；

（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？

D A

E

?

B 图

C

F

25

A （08四川乐山）22．如图（11），E，F分别是等腰△ABC的腰AB，AC的中点． （1）用尺规在BC边上求作一点M，使四边形AEMF为菱形； F E （不写作法，保留作图痕迹）

D C （2）若AB?5cm，BC?8cm，求菱形AEMF的面积．

图（11）

（08四川乐山）25．从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．

题甲：如图（13），梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G．

G

GEAE?（1）求证：； E A D GBBC（2）若GE?2，BF?3，求线段EF的长． F

C B

图（13）

（08四川凉山）18．（6分）如图，点E，F分别是菱形ABCD中BC，CD边上的点（E，F不与B，C，D重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AE?AF．

A

D B

求证：DE=BF 。

F C 第18题图

（08四川泸州）15．如图4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，

ADEFBC

（08四川南充）15．如图，ABCD的对角线相交于点O，过点O任引直线交AD于E，交BC于F，则OE OF（填“?”“?”“?”），说明理由．

A E D

O

B F C

（第15题图） 26

?

（08四川宜宾）23、(本小题满分8分)

已知:如图,菱形ABCD中, E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF. (1)求证:AE=AF.

(2)若∠B=60°,点E，F分别为BC和CD的中点，求证:△AEF为等边三角形.

（08四川资阳）18．（本小题满分7分）

如图7，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F． （1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形．

图7

（08四川自贡）22如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。

请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

22．解：DE＝DF 证明如下： 连结BD

∵四边形ABCD是菱形

∴∠CBD＝∠ABD(菱形的对角线平分一组对角) ∵DF⊥BC，DE⊥AB

∴DF＝DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)

（08重庆市卷）26、（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。 DA求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE

E

F

CB

26题图

27

AB?1，AB?AC，(08甘肃兰州25题)25（．本题满分9分）如图15，平行四边形ABCD中，对BC?5．

角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

F A D O B C E 图15 (08甘肃白银等22题)22．（8分）如图13，在ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长

线相交于点F．

(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)连结AC、DF，则四边形ACFD是下列选项中的（ ）． A．梯形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形

(08甘肃白银等26题)26．（10分）如图18，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=（1）求点D到BC边的距离； （2）求点B到CD边的距离．

（08宁夏区卷）26． (10分)

图18

图13

?4． 3如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q． （1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1； 6（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么

位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

28

（08青海省卷）25．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF?DC，连接CF． A F （1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB?AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

E B C D 第25题图

（08青海西宁）23．如图10，已知：ABCD中，?BCD的平分线CE交边AD于E，?ABC的平分线BG 交CE于F，交AD于G．求证：AE?DG．

G E

A D

F

B C

图10

（08新疆区卷）23．（10分）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹） （2）写出你的作法．

?

（08新疆乌鲁木齐）21．如图8，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．

（1）证明四边形EGFH是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若EF?BC，且EF?A G B

E

H

D

1BC，证明平行四边形229

EGFH是正方形．

F 图8

C

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