统计学综合练习二答案

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综合练习二 ：相关与回归分析复习提纲

相关分析

A. 变量之间的依存分为两种：

a) 确定的关系——函数关系 b) 不确定的关系——相关关系 B. 相关关系可以用散点图直观的描述 C. 相关关系有若干种类，它们是哪些？

D. 相关分析用来测度变量之间是否存在相关关系，并确定它们相关的方向和程

度的一个分析方法，两个变量在关系上是对等的。 E. 总体相关系数总是客观存在但又未知的，而样本相关系数是随着样本而变化

的可测得数值，对样本相关是否能够很好估计总体相关系数，我们可以通过t统计量进行显著性检验。

回归分析

? 回归分析的目的是要根据已知的或者固定的自变量的数值，去估计因变量的

总体平均值。根据变量个数的多少，它可以分为一元回归和多元回归；根据模型的形状可以分为线性回归和非线性回归。

? 线性回归模型在各项基本假设满足的条件下，用普通最小二乘法去估计的参

数是总体回归系数的最佳线性无偏估计。

? 一元线性回归分析

? 一元线性回归的模型是什么？普通最小二乘法估计的参数怎样运算？

? 样本回归系数的估计量是随着样本而变动的随机变量，因此，需要对样本回归系数的显著性进行检验。

? 可决系数是衡量回归方程拟合优劣的指标，它是通过对因变量离差平方和的分解计算而来的，其公式是什么？

? 修正的可决系数的公式是什么？

? 利用回归模型可以进行点预测和区间预测，一元回归中，置信度为（1-α）的预测区间是什么？

? 多元线性回归分析

要求可以读懂EXCEL输出的结果，能做出正确的结论。

? 非线性回归分析

要求学会几种常用的非线性模型化为线性模型的方法，并能够做出回归模型。

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一、 单项选择题

1、在线性回归模型中，随机误差μ被假定服从 （ A ） A、 正态分布 B、 二项分布 C、 指数分布 D、 t分布

2、两变量x与y的相关系数为0.8，则其回归直线的判定系数为 （ C ） A、0.5 B、0.8 C 、0.64 D、0.9

3、两变量间的线性相关系数为0，表示： （ D） A、完全相关 B、无关系 C、不完全相关 D、不存在线性关系

??77?2x，表明产量每提高4、产量x（千件）与单位成本y(元)的回归方程为y1000件，单位成本平均 （ D ）

A、增加2元 B、增加2000元 C、减少2000元 D、减少2元

5、对两变量的散点图拟合最好的回归线，必须满足一个基本条件是 （C ） A、?(y?C、?(y??)最大 B、?(y?y?)最小 y?)2最小 D、?(y?y?)2最大 y6、两组数据，如果相关系数很大，那么 （ B/D ） A、 一定存在相关关系 B、不一定存在相关关系 C 、一定存在因果关系 D、不一定存在因果关系

7、评价回归直线方程拟合优度如何的指标有 （ C ） A、 回归系数 B、 直线截距 C、判定系数 D、相关系数 8、回归直线方程x?c?dy，其中，y 为自变量，则 （ A ） A、 可根据y推断x B、可根据x 推断y C、可相互推断 D、不能进行推断

9、已知回归直线方程的判定系数R=0.81, 则相关系数为 （ C ） A 、0.9 B、 –0.9 C、-0.9或0.9 D、无法计算 10、下列中属于负相关关系的是 （ C ） A 、身高和体重 B 、正常商品的价格与供给量 C、 产量与单位成本 D、广告费用与销售收入 二、 多项选择

1、简单线性回归分析的特点是 （ ABE ） A 、两个变量之间不是对等关系 B、回归系数有正负号

C、两个变量都是随机的 D、利用一个回归方程，两个变量可以互相推算 E、有可能求出两个回归方程

2??a?bx?好坏的指标有 （ ABC ） 2、 反映一元线性回归方程yA 、相关系数 B、判定系数 C、标准误差 D、回归系数 E、其它 3、 对相关系数r进行显著性检验，H0:??0 ,结果拒绝原假设，说明

（ CD ）

A 、两变量不相关 B、事实上两变量一定相关

C、不能否认两变量存在线性相关 D、两变量相关 E 无正确选项

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4、 一元线性回归分析中，回归系数b可以表示 （ BC ） A、两个变量之间相关关系的密切程度 B、两个变量之间的相关关系的方向

C、当自变量增减一个单位时，因变量平均增减的量

D、当因变量增减一个单位时，自变量平均增减的量E 回归模型的拟合程度 5、 关于相关分析和回归分析，下列说法正确的是 （ ABE ） A、 回归分析可用于估计和预测

B、相关分析研究的是变量之间的相互依存关系的密切程度 C、回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测 D、相关分析需区分自变量和因变量 E、 相关分析是回归分析的基础 三、 计算题

1、 两变量：温度X和冷饮销售量Y,已知：

.8 ?X?9.4 ?Y?959 ?X2?9.28 ?XY?9242Y??93569 n=10

（一）计算相关系数，并进行显著性检验； （二） 用最小平方法拟合线性回归方程； （三）评价拟合优度；

（四）计算标准误差并对回归系数进行检验；

（五）预测温度为1摄氏度时，冷饮销售量的95%的预测区间；

解：（1）r?n?xy??x?yn?x?(?x)22n?y?(?y)22

?10*924.8?9.4*95992.8?9.42935690?9592?233.44.4411.009?233.4?0.8755 266.6H0:??0,H1:??0 n?2T?r~t(n?2)21?r???0..05,t0.025(8)?2.3068 ?5.125?2.3060.2335?拒绝H0,认为两变量之间存在显著的线性相关关系。此处，T?0.8755*(2)

?x??????设样本回归模型为：y?)大到最小利用最小二乘法进行估计，使得Q??(y?yn?xy??x?yn?x?(?x)222

????x ??y?? ? 3

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233.4??95.9?52.568*0.94?46.486?52.568,? 4.44??46.486?52.568x?y???R2?r2?0.87552?76.65%(3)说明温度这个变量解释了冷饮销售量变动的76.65%，还有23.35%的变动由

其他因素引起。(4)Sy?

?)?(y?yn?22??y2???y???xyn?2

Sy?6.838

对回归系数进行检验不要求掌握

（5）当x=1时，y=46.486+52.568*1=99.054 预测区间为：

1(1?0.94)2(99.054?2.306?6.838?1??)

100.444(99.054?16.5989)?(99.054?16.60)?(82.454,115.654)

2、已知12户居民家庭收入与储蓄的有关数据。 X：月收入（百元）；Y：月储蓄（百元）。ΣX=254，

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ΣY=92，ΣX=5950，ΣY=794，ΣXY=2164。 要求：

（1）计算相关系数；

（2）用最小二乘法求回归模型并解释经济含义； （3）计算可决系数；

（4）计算回归估计标准差；

（5）对回归系数的显著性进行检验（显著水平5%）； （6）若x0=40（百元），置信度为95%时，其预测区间是多少？

解：（1）r?n?xy??x?yn?x?(?x)22n?y?(?y)22

r?12?2164?254?9268841064?2600?0.9607

2706.4（2）

?x??????设样本回归模型为：y?)大到最小利用最小二乘法进行估计，使得Q??(y?y2

4

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???n?xy??x?yn?x?(?x)22?x ??y?? ???0.3777???0.328?,????0.328?0.3777xy

（3）R2?r2?0.96072?0.9229 （4）Sy??)?(y?yn?22??y2???y???xyn?2

Sy?0.8266

（5）对回归系数的显著性检验不要求掌握。

x0?40,1???95%,t0.025(10)?2.2281?0??0.328?0.3777*40?14.78（6）y

122(x?x)?x???n(?x)2?573.67预测区间为：

1(40?21.17)214.78?2.2281?0.8266?1???(14.78?2.4019)?(12.3781,17.1819)12573.67

4、某市10家企业的月人均销售额与利润率的资料如下， 公司编号 月人均销利润率（%） 售额（万元） 1 3.0 12.6 2 2.5 10.4 3 4.0 18.5 4 0.5 2.0 5 1.0 8.1 6 2.5 16.3 7 3.0 12.3 8 1.5 6.2 9 1.5 6.6 10 3.5 16.8 （1）计算月人均销售额与利润率的相关系数

（2）用最小二乘法求出利润率对于月人均销售额的回归直线方程； （3）计算估计的标准误和判定系数；

5

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（4）在5%的显著性水平下对回归系数进行显著性检验；

（5）如果某公司月人均销售额为2万元，用此回归模型对其销售利润率进行点估计和区间估计，要求置信度为95%

解：?x?23,?y?109.8,?xy?3.0255,?x2?64.5,?y2?1460?10?4 （1）r?r?n?xy??x?yn?x?(?x)22n?y?(?y)22

30.255?25.254?0.9206

10.77?0.50438(2)

?x??????设样本回归模型为：y

?)大到最小利用最小二乘法进行估计，使得Q??(y?y2???n?xy??x?yn?x?(?x)22?x ??y??,???1.067?4.31x y(3)

R2?r2?0.92062?0.8475

Sy??)?(y?yn?22??y2???y???xyn?2=2.20

(4) 对回归系数的显著性检验不要求掌握。

(5)

?0?1.067?8.62?9.68 x0?2,y预测区间为：

1(2?2.3)2(9.68?2.306?2.20?1??)?(9.68?5.3395)?(4.34,15.0195)

1011.6

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（4）在5%的显著性水平下对回归系数进行显著性检验；

（5）如果某公司月人均销售额为2万元，用此回归模型对其销售利润率进行点估计和区间估计，要求置信度为95%

解：?x?23,?y?109.8,?xy?3.0255,?x2?64.5,?y2?1460?10?4 （1）r?r?n?xy??x?yn?x?(?x)22n?y?(?y)22

30.255?25.254?0.9206

10.77?0.50438(2)

?x??????设样本回归模型为：y

?)大到最小利用最小二乘法进行估计，使得Q??(y?y2???n?xy??x?yn?x?(?x)22?x ??y??,???1.067?4.31x y(3)

R2?r2?0.92062?0.8475

Sy??)?(y?yn?22??y2???y???xyn?2=2.20

(4) 对回归系数的显著性检验不要求掌握。

(5)

?0?1.067?8.62?9.68 x0?2,y预测区间为：

1(2?2.3)2(9.68?2.306?2.20?1??)?(9.68?5.3395)?(4.34,15.0195)

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