大学物理答案 北京邮电大学出版社 主编：罗益民 余燕

第9章波动习题解答

9-1 解：首先写出S点的振动方程 若选向上为正方向，则有：

?0.01?0.02co?s0 cos?0??1 2 ?0??A?sin?0?0, sin?0?0

24332初始相位 ?0???

3即 ?0???或?

习题9-1图

则 ys?0.02cos(?t?2?)m 3再建立如图题9-1(a)所示坐标系，坐标原点选在S点，沿x轴正向取任一P点，该点振动位相将落后于S点，滞后时间为： ?t?则该波的波动方程为：

y?0.02cos??(t?)?x u??xu2??m 3??若坐标原点不选在S点，如习题9-1图（b）所示，P点仍选在

S点右方，则P点振动落后于S点的时间为：

x?L ?t?

u则该波的波方程为：

y?0.02cos??(t?习题9-1图

??x?L2?)???m u3?L?x,如习题9-1图(c)所示，则 u若P点选在S点左侧，P点比S点超前时间为 y?0.02cos??(t???L?x2?)??? u3?x?L2?)??? u3? ?0.02cos??(t???∴不管P点在S点左边还是右边，波动方程为： y?0.02cos??(t?9-2 解（1）由习题9-2图可知， 波长 ??0.8m

??x?L2?)??? u3? 振幅 A=0.5m 频率 v? 周期 T?u??100Hz?125Hz 0.81?8?10?3s ??2???250? v （2）平面简谐波标准波动方程为：

y?Acos??(t?)??? 由图可知，当t=0,x=0时，y=A=0.5m，故??0。 将A、?(??2?v)、u、?代入波动方程，得：

??xu??x??y?0.5cos?250?(t?)?m

100?? (3) x=0.4m处质点振动方程.

y?0.5cos?250?(t???0.4?) 100???t??)m ?0.5cos(2509-3 解（1）由习题9-3图可知，对于O点，t=0时，y=0，故

??? 再由该列波的传播方向可知，

?2

?0?0

取 ???2

由习题9-3图可知，??OP?0.40m,且u=0.08m/s，则

??2?v?2?可得O点振动表达式为：

u??2?0.082rad/s?? rad/s 0.4052?y0?0.04cos(?t?)m

52(2) 已知该波沿x轴正方向传播，u=0.08m/s,以及O点振动表达式，波动方程为：

x???2y?0.04cos??(t?)??m

0.082??5(3) 将x???0.40代入上式，即为P点振动方程：

1??2y0?yp?0.04cos??t???m

2??5(4)习题9-3图中虚线为下一时刻波形，由图可知，a点向下运动，b点向上运动。 9-4 解（1）平面谐波标准波动方程为：

x??y?Acos??(t?)???

u??由图可知，A=0.2m

对于图中O点，有：

x?0,y?0.2m,t?代入标准波动方程:

3T 4?2?3?0.2?0.2cos?(T)????T4?

3cos(???)?12故 ??对于O点，t=0时的初始相位

?2

?0?图中P点位相始终落后O点

?2

T?时间，即相位落后，故t=0时，P点初相位?p?0。 42 （2）由u?36m/s,??0.4m知，

??2?v?2?u??180?rad/s

故根据平面谐波的标准波动方程可知，该波的波动方程为：

x???y?0.2cos?180?(t?)??m

362??9-5 解习题9-5图(a)中，根据波的传播方向知，O点振动先于P点，故O点振动的方程为：

L) uxL则波动方程为： y?Acos?(t??)

uuy0?Acos?(t?习题9-5图(b)中，根据波的传播方向知，O占振动落后于P点，故O点振动的方程为：

y0?Acos?(t?则波动方程为：

L) uy?Acos?(t?xL?) uuL) u习题9-5图(c)中，波沿x轴负方向传播，P点振动落后于O点，故O点振动的方程为：

y0?Acos(t?则波动方程为：

y?Acos?(t?此时，式中x与L自身为负值。 9-6 (1) y?Acos?(4t?2x) ?Acos(4?t?2?x) ?Acos4?(t?xL?) uux) 2u??2m/s??4? 2?T??0.5s???2Hz ??1m

（2）y?Acos4?(t?波峰：cos4?(t? 4?(t?x) 2x)?1 2x)?2k?2xkt=4.2s代入(4.2??)

22k?0,?1,?2,?

x?k?8.4m

x??8.4m,?7.4m,?,?0.4m,0.6m,?t?x0.6??0.3 u29-7 y?3cos(4?t??) (1) y?3cos?4?(t???x?)??? u?x?)??? 20?9?)??? 20? ?3cos?4?(t??? yB?3cos?4?(t??? ?3cos?4?t???914?4?????????3cos?4?t????3cos?4?t??? 55?5???? ?3cos?4?t? (2)

??4??? 5? A:yA?3cos(4?t??)

任取一点P(如图)AP?x?5，则P点落后A点时间故波动方程

x?5 ux?5??y?3cos?4?(t?)???

u??x?5?? ?3cos?4?(t?)???

20?? ?3cos?4?(t?习题9.7图

??x?)? 20?14??yB?3cos?4?(t?)?

20??14?)5

4?3cos4(?t??)5?3cos(4?t?9-8 解（1）由题可知，垂直于波传播方向的面积为：

d0.1422S??()2?3.14?()m?1.54?10?2m2

22据能量密度???A2?2sin2??(t?)???

122?A? 2??xu?? 平均能量密度 ?? 波的强度 I??u 得：

I9?10?3???J/m3?3?10?5(J/m3)

u300最大能量密度为：

?m??A2?2?2??6?10?5(J/m3)

(2) 两相邻同相面间，波带中包含的能量就是在一个波长的距离中包含的能量，因

能量密度

???A2?2sin2?(t?)??msin2?(t?) ??故 ???xuxudE dV??0?Sdx??S?msin2?(t?)dx

0?xu11u??mS???mS22v

6?10?5300??0.0154?J?4.62?10?7(J)23009-9 (1) P为单位时间通过截面的平均能量，有：

W2.7?10?2P??J/s?2.7?10-3(J/s)

?t10(2) I为单位时间通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量，有：

P2.7?10?3I??J?s?1?m?2?9?10?2(J?s?1?m?2) ?2s3.00?10(3) 据平均能量密度和I与u的关系，有：

I9?10?2J?m?2?2.65?10?4(J?m?2) ???u340

9-10 解 设P点为波源S1外侧任意一点，相距S1为r1，相距S2为r2，则S1、S2的振动传到P点的相位差为：

????2??1??20??10? ??或由课本(9-24)，知

2??(r1?r2)

?2?2?(?)??? ?4????2?合振幅 A?|A1?A2|?0

r2?r1???10??20

故 Ip=0

设Q点为S2外侧的任意一点，同理可求得S1、S2的振动传到Q的相位差为：

????2??1???2?2????4?0,

合振动 A?A1?A2?2A1 合成波的强度与入射波强度之比为：

IQ4A12?2?4, I0A1即 IQ?4I0 9-11 解（1）因合成波方程为： y?y1?y2

?[0.06cos?(x?4t)?0.06cos?(x?4t)]m?(x?4t)??(x?4t)?(x?4t)??(x?4t) ?2?0.06cos?cosm

22?0.12cos?x?cos4?tm故细绳上的振动为驻波式振动。

(2) 由cos?x?0得： ?x?(2k?1)故波节位置为： x??2

1(2k?1)(m)2(k?0,?1,?2?)

由|cos?x|?1得： ?x?k? 故波腹位置 x?k(m)(k?0,?1,?2?)

A?0.12m

(3) 由合成波方程可知，波腹处振幅为： 在x=1.2m处的振幅为：

Ax?|0.12cos1.2?|m?0.097

9-12 (1) y入?Acos?10?(t???x????)???Acos(10?t?x?) 402?4228?x??)???? 402?28?x???3?)???Acos(10?t?x?) 402?42 y反?Acos?10?(t??? ?Acos?10?(t?(2) 驻波方程

??y?y入?y反?Acos(10?t? ?2Acos(10?t??4x??2)?Acos(10?t??3x??) 42?2)cos(???4x)

?2Acos(??

?4x)sin10?t

??2Acos (3) 波节cos 波腹cos?4xsin10?t?4x?0?4x?2k?1??x?2(2k?1)?4k?2 2?4x?1?4x?k?x?4k

∴ 波节：x=2,6,10,14 波腹：x=0,4,8,12

9-13 解（1）据题意可知，S点的振动表达式为： y0?Acos?t 故平面波的表达式为：

xy??Acos?(t?)

u (2) 反射点的振动表达式为：

y?P?Acos?(t?D) u考虑反射面的半波损失，则反射面的振动表达式为：

yP?Acos(?t?故反射波的表达式为：

y反?Acos???t??Du??)

????D?x???D?????? ???u??u????x??2?D???Acos???t????????

????u??u（2）另解：设SP之间有任一点B，波经过反射后传到B点，所经过的距离为（2D-x），则反射波在B点落后于O点的时间为∴ y反?Acos??(t?2D?x,并考虑半波损失。 u??2D?x?)??? u?习题9-13图

?Acos??t? (3) 合成波的表达式为：

??2D?ux????? uu? y合?y??y反

?Acos???t???????x??2?Dx???????? ???Acos???t????u??????u??u ?2Acos?(4) 距O点为

??D??x????D??????cos??t????? 2u??2???u?uD处的一点的合振动方程为： 3??2?D????D???yD?2Acos????cos??t?????

2?2???3u?u?39-14 解（1）由第一列波在Q点的振动yQ?Acos?t和第二列波在O点振动的相位比，第一列波Q的相位超前?，得到第二列波在O点的振动为：

yo?Acos(?t??)

由两振动方程可得同一坐标下的波动表达式为：

l?x??yQ?Acos??(t?)?u??x??yO?Acos??(t?)???

u??u?习题9-14图

?T??????2?2?2?xp将l=1,x=xp代入，得到两列波在P点处的振动表达式为：

yP1?Acos(?t?yP2?? 2?xp?Acos(?t???)??)上述两个振动在P点引起的合振动为：

yp?yp1?yp2

?Acos(?t?2?????2?xp?)?Acos(?t?2?xp???)

??2Asin(?t?)sin(2?xp??)??(1)

(2) 当波的频率?=400Hz,波速u=400m/s时，由u=?λ可知，波长??u?1m。

v将??1m代入（1）式，（1）式中的xp换成变量x，得驻波方程为： y??2Asin(?t??)?sin(2?x??)

??2Asin?tsin2?x 为得到干涉静止点位置,使y=0,于是有:

sin2?x?0 即 2?x?k?得 x?(k?0,1,2?)

k 21, m, 1m 2在O与Q之间(包括O、Q两点在内)，因干涉而静止的点的位置为：

x=0,

9-15 解（1）因为波源的振动方程为：y?Acos?t 故波源向反射面发出的沿x轴负方向的行波波动表达式为：

y负?Acos(?t?沿x轴正方向传播的行波表达式为：

2??2?x)

y正?Acos(?t??2?xx)

(2) 因为沿x轴负方向的波入射到反射面上引起的振动之表达式为：

y??Acos(?t?将x???)

3?代入上式，得： 4y??Acos(?t?3?) 2因为反射面有半波损失，故作为反射波波源的振动表达式为：

y?Acos(?t?故反射波的行波波动方程分别为： 在MN-yO区域内

3????)?Acos(?t?) 22 YMN?yO?Acos??t????2??2?3??[?(?x)]? ?4?2??3x] 2 ?Acos[?t??2?2?x?2?] ?Acos[?t??或 yMN?yO?Acos(?t?在x>0区域内

yx?0?Acos[?t?2?x??)

? ?Acos(?t?22?x2?3?(?x)] ?4)

?

由此可见，反射波波源所发生的沿x轴正方向传播的行波，无论在MN-yO区域，还是在x>0区域，其波动议程皆可表示为：

y反?Acos(?t?

2?x?)

(a) (b) 习题9-15图

另解：在MN?y0区域内波从O点经过MN传播到P点所经过的距离为点落后于O点的时间

3??2?x,则P43??x2 u3??x故y反?Acos[?(t?2)??]

u?Acos?(t?2??

2??x)

?Acos?(t?在x>0区域内

2??x)3??2?x4P点落后于O点的时间

u则同理可证

y反?Acos(?t?

(3) 在MN-yO区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为： y合?y负?y反 ?Acos(?t? ?2Acos这是驻波方程。

干涉极大条件为：|2Acos2??x)

2?x?)?Acos(?t?2?x?)

2?x??cos?t

2?x?|?2A （波腹）

即干涉极大的坐标为：

x=0, ?干涉极小条件为：|2Acos即干涉极的坐标为：

? 22?x?|?0 (波节)

x???3, ??

44 (4) 在x>0区域内，入射波与反射波叠加后的波动表达式为：

y合?y正?y反

?

2?x?2Acos(?t?)?这是振幅为2A的沿x轴正方向传播的行波。 9-16 解（1）由波源的振动表达式：

?Acos(?t?2?x)?Acos(?t?2?x?)

y?0.5cos(2?t?知，入射波的波动表达式为：

y??0.5cos(2?t??2)m

2?x???2)m

?0.5cos(2?t?4?x??2)m

因反射点有半波损失，将x=2m入射波动表达式，则反射波的振动表达式为：

y?0.5cos(2?t?反射波的波动表达式为：

13?)m 2 y反?0.5cos?2?t???2?(2?x)13???m ?2??29????0.5cos?2?t?4?x?m?2?? ?0.5cos(2?t?4?x?)m2另解：反射波

从O点经过墙反射到P点经过的距离为4－x，则落后的时间为

?4?x u习题9-16

∴ y反?Acos?2?(t???4?x??)???? 22?4?x????Acos?2?t?2????2??

????Acos?2?t?4?x??2?? y反?0.5cos(2?t?4?x??2)m

(2) 入射波与反射波在叠加区域内叠加形成驻流，波动表达式为：

y合?y??y反

?29??0.5cos(2?t?4?x?)?0.5cos(2?x?4?x?)m2215? ?0.5cos(4?x? )cos(2?t?7?)m2?cos2?tsin4?x即为驻波的波动表达式。 (3) 因 sin4?x?0,则4?x?k?x?k 4因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2,…,8

12345678,,,,,,, 44444444113113 ?0,,,,1,1,1,1,2m?0,0.25,0.5,0.75,1,1,1.25,1.5,1.75,2m

424424 则波节为x?0,波腹：sin4?x?1

2k?1?2

2k?1x?84?x?因波源与反射点之间距离为2m，故k只能取k=0,1,2, …,7 波腹：x?13579111315,,,,,,,m 88888888波腹坐标为：

即波腹坐标为x=0.125m,0.375m,0.625m,0.875m,1.125m,1.375m,1.625m,1.625m,1.875m 9-17 解（1）波源远离观察者运动，故?s应取负值，观察者听到的声音频率为：

v??u340v??100Hz?971.4Hz u??s340?10 (2) 波源向着悬崖运动，?s应取正值，从悬崖反射的声音频率为：

v???u340v??100Hz?1030.3Hz u??s340?10.3?971.4)Hz?58.9Hz （3）拍频?v?v???v?(1030现论上应有58.9拍，但因为强弱相差太悬殊，事实上可能听不出拍频。

第10章 波动光学

10-1 （1）由x?kD?得 d?xd6?10?3?0.2?10?3?7????6?10m?6000A

kD2?1.0D6?10?7?3?3?10?3(mm ) （2） ?x????3d0.2?1010-2 若在下缝处置一折射率为n厚度为t的透明薄膜，则光从下缝到屏上的光程将增加

(n-1)t，屏上的条纹均要向下移动。依题意中央明条纹多到屏中心下方原来第3级明条纹位置，则从双缝到该位置的光程差

???r2?(n?1)t??r1?(r2?r1)?(n?1)t

??3??(n?1)t?0

3?3?6.328?10?7??3.16?106m?3.2?m 故 t?n?11.6?110-3 屏上?1的经三级明绿纹中心的位置

x3?kD1.2??3??550?10?9?3.3?10?3m ?3d0.6?10 依题意屏上?1的第六级明条纹和波长为?的第五级明条纹重合于x处 则有 x?k6DD?1?k5? 即 k6?1?k5? dd??10-4 由x?kk66?1??550?10?9?6.6?10?7m k55D?得 dD50?10?2x红?x紫?k(?红??紫)?1?(7.6?4.0)?10?7 ?3d0.25?10 ?7.2?10m

10-5 光源S0和其在镜中的虚光源等价一对相干光源，它们在屏上的干涉条纹的计算与杨

氏双缝条纹基本相同，只是明暗条纹分布完全相反，故屏上第一条明纹位置就是双缝干涉的零级暗条纹位置. 即

?4D?D?(0.2?0.3)7.2?10?7x?(2k?1)???

d2d24?10?32 ?4.5?10?5(m)

上面表达式也可直接由光程差推导而得.

10-6 （1）由题10-6图可以看出

SC?S1C?S2C?r2??2??2?

∴ ?????

又?????

∴ ???

等效双缝间距

d?2rsin?

习题10-6图

DL?rcos???? d2rsin?2x2Ltg?2Ltg??2rsin? （3） ???xL?rcos??(L?rcos?)?2rsin? （2）?x?2?1.5?10?3?2?0.5?10?3 ??3

(1.5?0.5?1)?5?10?7 屏上共可看到3条明条纹，除中央明条纹外，在其上、下侧还可看到一级明条纹. 10-7 ∵ n1?n2?n3,故有 ??2n2e?(2k1?1) ??2n2e?2k2?12k1?0,1,2,3,? ① k2?1,2,3 ②

?22由上两式?2k1?1?3k2

习题10-7图

当k1?3n?2时满足上式 n=1,2,3,…

但由于λ是连续可调的，在?1和?2间无其他波长消失与增强，所以取k1?1,k2?1,把

k1?1或k2?1代入①式或②式

790?10?9e???3?10?7(m)

2n22?1.33?210-8 在反射光中产生干涉加强的波长应满足

24n2e4?1.33?380020216?? 故 ?? 2k?12k?12k?1 当k=2时，?2?6739A （红光）；k=3时，?3?4043A（紫光）

故肥皂膜正面呈紫红色

在透射光中产生干涉加强的波长应满足

?2n2e???k?

?2n2e?k?

???2n2e2?1.33?380010108?? kkk 当k=2时，?2?5054A（绿光），故肥皂膜背面呈绿色. 10-9 ∵ n1?n2?n3透射光中产生干涉加强的条件应满足

2n2e??2?k?

?(k?1/2)(k?1/2)?5460 故冰层厚度e???(k?1/2)?2053A

2n22?1.33? 令k=1，可得冰层的最小厚度为emin?1027A

10-10 根据题中折射间的关系，对??5500A黄绿光的增透膜应满足关系

?2n2e??/2?k?

?(k?1/2)?(k?1/2)?5500??(k?1/2)?1992A 增透膜厚度e?2n22?1.38? 令k?1,e?996A即为增透膜的最薄厚度.

另解：要使透射光增强，必须的射光干涉减弱. ∵n1?n2?n3

∴??2n2e?(2k?1) ?e??2

2k?1??(2k?1)996 4n2?k?996)A, k=0,1,2, … ?(1992 emin?996A 10-11 由l?sin????2n2得

5.893?10?7?5sin????3.88?10 2n2l2?1.52?5?10?3???3.88?10?5rad?8??10-12 ∵ek?1??ek??2n2,∴ 20条明条纹对应平晶厚度差为

19?19?6.328?10?7 ?d?19(ek?1?ek)??2n22?1.5 ?4.0?10?6(m)

d0.048?10?1310-13 （1）??tg???

L0.12 ?4?10(rad)

?4680?10?9 （2）ek?1?ek???3.40?10?7m

2n22?1?680?10?9 （3）l? ??8.5?10?4m?0.85(mm)?42n2?2?1?4?10? （4）N?0.12?141 ?48.5?1010-14 （1）∵ n1?n2?n3

∴ 反射光中明条纹的条件为：2n2e?k? 油膜边缘 e=0 ∴ k=0 油膜中心 e?h?1.2?10m

?62?1.2?1.2?10?6??4.8 ∴ k??6?10?72n2e 故共可看到五条明条纹(k=0,1,2,3,4) （2）对应各明条纹中心油膜的厚度e?k? 2n2???? 当k=0,1,2,3,4时，对应油膜的厚度分别为：0，2500A,5000A,7500A,10000A. （3）油膜逐渐展开时，圆条纹向外扩展，条纹间间距增大，条纹级数减小，油膜中

心由半明半暗向暗、明、暗、明……依次变化，直至整个油膜呈现一片明亮区域. 10-15 依题意 r4?r1?4R??R??d1

??r4?r1?4R???R???d2

由上两式可解得未知单色光波长

??d2??3.85?10?3??????4?10?3???5893?5459A ?d????????1?210-16 依题意有

r10?(10?1/2)R??D1/2

?r10?(10?1/2)R?/n?D2/2 由上两式可解得液体折射率

?D1??1.4?10?2?n???1.27?10?2???1.22 ?D??????2??10-17 由d?N

?2d2?0.322?10?3?7????6.29?10m?6290A

N102422?2得

10-18 设放入厚度为d玻璃片后，则来自干涉仪两臂相应的光程差变化为

2(n?1)d?N?

N?150?5?10?7d???5.93?10?5m

2(n?1)2?(1.632?1)10-19 ∵衍射角?0很小，∴中央明条纹的半角宽度

5?10?7?0???5?10?3rad ?3a0.1?10? 中央明条纹的宽度

?x?2ftg?0?2f?3?a

?5?10m?5mm 若单缝装置浸入水中，中央明条纹的半角宽度

5?10?7?0???3.76?10?3rad ?3na1.33?0.1?10?10-20 （1）设入射光波长为?，离屏中心x=1.4mm处为明条纹，则由单缝衍射明条纹条件，x应满足

asin??(2k?1)?2

x?f?tg? ∵sin?很小

∴x?ftg??fsin??f(2k?1)? 2a2ax2?0.6?10?3?1.4?10?3 ???f(2k?1)0.4?(2k?1)4.2?10?6m ?2k?1 当k?3,?3?6?10m恰在橙黄色波长范围内，所以入射光波长为6000A. （2）p点的条纹级数为3

（3）从p点看，对该光波而言，狭缝处波阵面可分成(2k+1)=7个半波带. 10-21 由单缝衍射明条纹条件，asin??(2k?1)明条纹离屏中心的距离分别为

?7??2，可分别求得?1、?2两单色光第一级

(2k?1)?13?4?10?7x1?ftg?1?f?0.5? ?42a2?10 ?3?10m?3(mm)

?3(2k?1)?23?7.6?10?7x2?ftg?2?f?0.5?

2a2?10?4 ?5.7?10m?5.7(mm)

这两条明条纹之间的距离

?3?x?x2?x1?(5.7?3)?10?3?2.7?10?3m?2.7(mm)

若用光栅代替单缝，光栅常数a?b?1cm?10?5(m) 1000 则由光栅方程(a?b)sin??k?，可分别求得?1,?2两单色光的第一级明条纹离屏中心的距离分别为

k?14?10?7?2x1?ftg?1?f0.5??2?10m?2(cm) ?5a?b10k?27.6?10?7x2?ftg?2?f0.5??3.8?10?2m ?5a?b10 ?3.8(cm)

?x?x2?x1?3.8?2?1.8(cm) 10-22 光栅常数a?b?1mm?2?10-6m,由光栅方程(a?b)sin??k? 500k?(a?b)sin??2?10?6?1??3.4 ?75.9?10 即最多可看到第3级明条纹. 10-23 光栅常数a?b?1mm?5?10-6m 200 （1）由光栅方程(a?b)sin??k?可得第一级明条纹与中央明条纹的距离，即第一级明条纹离屏中心的距离

k?1?5?10?7?2x?ftg??f?0.6??6?10m?6(cm) ?6a?b5?10 （2）当光线与光栅法线成30°斜入射时，光栅方程为

(a?b)(sin??sin?0)?k?

上式取负号，且当k=0,可得中央明条纹的衍射方向；即???0，所以中央明条纹离屏中心距离为

x?ftg??0.6tg30??0.35m

10-24 （1）由光栅方程(a?b)sin??k?,对应于sin?1?0.20与sin?2?0.30处满足

0.20(a?b)?2?6?10?70.30(a?b)?3?6?10 ? a?b?6?10m

?6?7

?（3）?N?v002v0a32 vdv??adv?av0?1?a?v0v023v0?v0v0/2Nf(v)dv???aN??vv0/2?0v0?Nv?dv? ?4?（4）从图中可看出最可几速率为v0~2v0各速率. （5）v? ???0v0?avf(v)dv??v??v0?0v0?v?dv?vadv ??v0/2?11112av0?v0 69v2v0?av??v?dv???vf(v)dvv/20?v17?v0?v???v0 （6）v29v0?a?f(v)dv?v1?v0/2??vv??dv?0?11-5 氧气未用时，氧气瓶中V?V1?32L,p1?130atm,T1?T m1?Mp1Mp1V1?V ① RT1RT氧气输出压强降到p2?10atm时 m2?氧气每天用的质量 m0?Mp2Mp2V2?V ② RT2RTMP0V0 ③ RT P0?1atm,V0?400L

设氧气用的天数为x,则xm0?m1?m2?x?由(1)(2)(3)知

x?m1?m2 m0m1?m2(p1?p2)V ?m0p0V0130?10?32?9.6(天)

1?400 ?p10511-6 （1）n???2.41?1025(m?3) ?23KT1.38?10?300M32?10?3?26 （2）????5.3?10(kg) 23N06.02?10 （3）??n??2.41?1025?5.3?10?26?1.3(kg/m3) （4）l?13n?132.41?1025?3.46?10?9(m)

（5）认为氧气分子速率服从麦克斯韦布，故 v?1.6RT8.31?3002-1?1.6?4.46?10(ms) ?3M32?103RT?4.83?102ms?1 M （6）v?（7）??2i5KT??1.38?10?23?300?1.04?10?20(J) 2211-7 ?p?nkT5p4?10?10?n???1.06?1011m?3 ?23kT1.38?10?237?3 ?1.06?10(cm) 故1cm3中有1.06?10个氮气分子.

5d?13n?131.06?1011?2.1?10?4m

11-8 由课本例11-4的结论知 h?pRTln(0) Mgp8.31?30013ln()?1.96?10(m) ?329?10?9.80.833KT??1.38?10?23?300?6.21?10?21(J) 22 ?11-9 (1) ?t? （2）看作理想气体，则

v?1.6KT1.28?300?10?23 ?1.6?13?3?10?10?2?1 ?1.03?10ms

11-10 E平动?33RT??8.31?300?3.74?103(J) 22 E转动?RT?8.31?300?2.49?103(J)

55RT??8.31?300?6.23?103(J) 22p?n?11-11 （1）由p?nKT

KT 内能E? ∵是等温等压 ∴ n1:n2?1:1 （2）v?1.6RTM?是等温，∴v1:v2?M2:M1?2?32?1:4

P1.33?10?317?3??3.2?10m11-12n? ?23KT1.38?10?300??11-13 (1)

KT2?dp2?1.38?10?23?3002??9?10?20?1.33?10?3?7.8(m)

??z?2?d2nv??p0?8n???z0?5.42?10

KT0?RT0??v?1.6M?? （2）由公式z?2?d2nv?2?d2ppRT1.6?2?d2KTMKR知 MT z与T和P有关，由于T不变，故z只与P有关. 则

p?1.33?10?48?1 z?:z0?p?:p0?z?? z0??5.42?10?0.71s5p01.013?1011-14 （1）如图

?

∴

v2?3RT M2vc2:vA?Tc:TA

又?B?C等温过程，故TB?TC.

题11-14图

由pV?mMRTPB?2PAVA?VB

则TB?2TA ∴

V22c:VA?2:1

（2）??KTTcTA2?d2p?c:?A?P: cPA B?C等温过程 pCVC?pBVB?pC?2VA?2pAVA ??C:?A?2:1

11-15 （1）

v2?1.73RTM 8.31?4000 ?1.732?10?3

?7.0?103(ms?1) （2）d?d1?d22?12(1?3)?10?10?2?10?102m （3）z?2?d2n2v?2??4?10?20?40?1025?7?103

?5?1010s?1 11-16 （1）

z?2?d2nv?? v?8RT???M??z?2?d2p8R ①?k?MTn?p?KT?? 又由E?6mm2MRT?3MRT?T?EM3mR ② 把②代入①知

z?4d2pR3?m4d2pKN03?mkME?kME ?4d2pN03?mME ?pC?pA

（2） vP?2RT 把②代入得 M2REM2E ??M3mR3m3232EMEM ?3mR2mN0

VP?（3）平均平动动能

?t?kT?k?第12章 热力学基础

12-1 Q??E?W

?Eacb?Qacb?Wacb?350?126?224(J)

（1）∵内能是态函数，故?Eabd??Eacb

故 Qadb??Eadb?Wadb?224?42?266(J) （2） Qba??Eba?Wba???Eacb?Wba ??224?84??308(J)放热 （3） Qad??Ead?Wad?(Ed?Ea)?Wadb ?168?42?210(J) Qdb??Edb?O?Eb?Ed ?(Eb?Ea)?(Ea?Ed)

?(Eb?Ea)?(Ed?Ea)??Eab?168 ??Eacb?168?224?168?56(J) 12-2 1 mol单原子理想气体 i=3

?E?i3R?T??8.31?(350?300)?623.25(J) 22 （1）等容 Qv??E?623.25(J),Wv?0

（2）等压 Qp?Cp?T?i?25R?T??8.31?50 22(J) ?1039Wp?Qp??E?1039?623.25?415.8(J)

12-3 Pa?P,0?1atmTa?T0?293K,Va?V0

Tb?Tc?80?353(K),Vc?Vd?2V0

∵ 两过程的初末态相同，∴ 内能增量相同

i5R?Tac??8.31?(Tc?Ta) 225 ??8.31?(353?293)?1246(J)

2?E?题12-3图

（1）Wabc?Wbc?RTbln(Vc2V)?kTbln(0) VbV0(J) ?8.31?353?ln2?2033 Qabc?Wabc??Eabc?2033?1246?3296(J) （2） Wadc?Wad?JTaln(Vd)?KTaln2 Va(J) ?8.31?293?ln2?1687 Qadc??Eadc?Wad?1246?1687?2933(J)

12-4 （1）N2体积

等温：p1V1?p2V2?V2?p1V10.1?0.01??10?4(m3) p210 绝热：p1V1?p2V2?V2?(（2）N2温度

等温：T2?T1?300K 绝热：p1T1r?1?rr?1?r?p2T2

rrp11/r0.1)V1?()1/1.4?0.01?3.73?10?4m3 p210p ?T2?T1(2)p1r?1r?1118K

（3）N2对外做功 等温： WT?QT? 又p1V1?pmRTln(1) Mp2mRT?p2V2 M ∴ WT?p1V1ln(p10.1)?1.013?105?0.01?ln()??4.67?103J p210miCv,m(T2?T1)?(p1V1?p2V2)R M2 绝热：Ws???E??5?(1.013?105?0.01?100?1.013?105?3.73?10?4)??8.31 2??6.9?103(J)12-5 Ws???E??

∵ r?mmCv,m(T?T0)?Cv,m(T0?T) MM2 r?1Cp,mCv,m?i?2i?2i/2?22 ∴ i? 又∵pV?12-6 由pv?程.P?pV?pVm1mmRT, ∴ Ws?(RT0?RT)?00 Mr?1MMr?1TmmTRT?p?R(),由图知为恒量，故a?b为一等压过

VMMVRT0 2V0W??2v0v0(2V0?V0)?RT0 212-7 设状态A的温为 TA=T1 ∵AB为等容线，故TB?pBT1?2T1 pApC?pAVApV2?11?P1 VC3V1/23题12-7图

AB为等温线，故TC?TA?T1 QAB??EAB?O?i6R(TB?TA)?R(2T1?T1)?3RT1?3P1V1 吸热 22 QBC??EBC?WBC

?EBC?i6R(TC?TB)?R(T1?2T1)??3RT1??3p1V1 22WBC等于图中阴影部分的面积值.

(pB?pC)?(V2?VA)?22 ?p1V1

327 ∴ QBC??3p1V1?p1V1??p1V1 放热

33 WBC? QCA?WCA?O?RTAln((2p1?23p1)(V1?V1)32

2VA23)?RT1ln??p1V1ln 放热 VC3273(?ln)p1V1|2?1?3?8.7%

3p1V1 ??1?|Q|?|QCAQ2?1?BCQ1QAB12-8 （1）AB等温膨胀 ?EAB?0,WAB?QAB?0 吸热 BC等容降温 ?EBC?0,WBC?0,QBC??EBC?0 放热

（2）CA绝热过程 T1V1 （3）不是卡诺循环

（4）AB过程 QAB?WAB?r?1?TCV2r?1?TC?T1(V1r?1) V2VmRT1ln(2) MV1 BC过程 QBC???VmmCv,m(TC?TB)??Cv,mT1?1?(1)r?1? MMV2?? CA绝热过程 QCA?0

Cv,m[1??V1V2?]|QBC|Q2?1??1? ??1? Q1QABRln(V2/V1)r?112-9 （1）1?2等温线的熵变为 ?S12?S2?S1?21dQQTRT1ln(V2V1)???Rln(V2V1) TT1T1 ?Rln2?8.31?0.693?5.76(J/K) （2）1?4绝对热线和4?2等压线

?S12??S14??S42?0??S42? ???24(dQ)p T?2CpdTT4TV2V7?Cpln(2)?Cpln(2)?Rln(1)

T4V42V4p1V1?p2V2

又p1V1r?p4V4r?V1??p4? ???V?????p???4??1?1/r?p2????p???1?1/r?V1????V???2?1/r?1?????2?1/r

??1?1/1.4?7 ∴ ?S12?Rln?2????Rln2

22??????（3）1?3等压线，3?2等容线的过程.

?S12?2dQ3CpdT2CdTdQ ??()??()????V1313TpTVTT3 ?Cpln???T2??T3???? ?Clnv????T1??T3? ∵ 1?3等压过程，故 T3T1?V3V1?V2V1 3?2等容过程，故

∴ ?S12?T2T3?p2P3?P2P1?V1V2

?VV75Rln(2)?Rln(1)?Rln2 2V12V2?? ∴ ?S12??S12??S12

因为熵是状态函数，熵变只与初末态有关，而这三个过程的初末态相同，所以自然熵变

也相同.

12-10 Q放?Q吸，设最后其同温度为T

Cm(T1?T)?Cm(T?T2)?T? ?S??S1??S2? ?TTdQdQ??T1T?T2T TT1?T2 2TCdTCmdTm??T1T?T2T

?T(T1?T2)2T?T2?Cmln ?Cm?ln()?ln()??Cmln

T2?T1T24T1T2?T112-11 （1）冰的溶解热C?335.2?103J/kg (水吸热，Q>0)

dQCm335.2?103?S1?????0.5?613J/K

TT273?Q?335.2?103??0.5??571J/K （2）?S2?T293（3）?S??S1??S2?613?571?42J/K ?S?0

12-12 房间热量流失，则

dS1dQ ??dtT1dt 室外吸收热量，则 则

dS2dQ ??dtT2dtdSdS1?dS2dQ11??(?) dtdtdtT2T111?)273?5273?21114?) ?2.5?10( 268294?8.24(kcalk?1?h?1)?2.5?104(12-13 （1）设需要x块冰，冰的溶解解热为C冰. T0?273K, Q吸?Q放

x[m冰C冰?m冰Cp(T1?T0)]?m水Cp(T2?T1)

T1?273?40?313(K)T2?273?100?373(K)

1?4.18?103?(373?313) ?x? ?53m冰[c冰?cp(T1?T0)]0.02[3.34?10?4.18?10?(313?273)] ?25(块) （2）?S?m水Cp(T2?T1)xm冰C冰T0??T1xm冰CpdTTT0??T1m水CpTT2dT

?CTT??xm冰?冰?Cpln(1)?m水Cpln(1)? T0T2? ?T0?164.98JK?1

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