2013中考压轴题选讲专题1：动点问题（排版+答案）

2012年广州中考数学压轴题分类专题

专题1：动点问题 授课教师：黄立宗

一、典型例题选讲：

例1、（2012吉林长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）． （2）当点N落在AB边上时，求t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

细节决定未来

例题2：（2012湖南湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AO，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点． （1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；

（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由； （3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

细节决定未来

例题3：（2012福建漳州）如图，在?OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60，OC=4cm．OA=8cm动

o

点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同．时．从点O出发，以 acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动． 设运动时间为t秒．

(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；

(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

备用图

例题4：（2012四川南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4,tan∠AOB=

3,抛物线y?ax2?bx经过点4细节决定未来

A(4，0)与点（-2，6） （1）求抛物线的函数解析式．

（2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时,求运动时间t的值

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

巩固练习：

细节决定未来

1、（2012湖南株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

2、（2012湖南衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜（1）当t为何值时，PQ∥BO？ （2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

10）秒．解答如下问题： 3 备用图

3、（2012新疆区）如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．

细节决定未来

（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是 ，请说明理由；

1（2）如图2，已知D（?，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，

2 求抛物线的解析式及点E的坐标；

（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？

4、（2012内蒙古包头）如图，在Rt△ABC中，∠C =90，AC = 4cm , BC = 5 cm，点D 在BC 上，且CD =

细节决定未来

0

3 cm ，现有两个动点P，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P以1 厘米／秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以1 . 25 厘米／秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P作PE∥ BC 交AD 于点E ，连接EQ。设动点运动时间为t秒（t > 0 )。

（1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。为什么？ （3）当t 为何值时，△EDQ为直角三角形。

备用图

5、（2012河北省）如图，A（－5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点

细节决定未来

P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒． （1）求点C的坐标； （2）当∠BCP=15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

备用图

6、（2012吉林省）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，

细节决定未来

P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm． （1）当t= s时，点P与点Q重合； （2）当t= s时，点D在QF上；

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

2

7、（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点 APB上任一点（与端点A、B不重合）D是?，DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点

细节决定未来

A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若

C S＝43，求△ABC的周长. 2DEP D A O E B

典型例题及巩固练习答案

例题1：【答案】 解：（1）t－2。

细节决定未来

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：

①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC， 即t－2=2，t=4。

②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．

∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。

∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=

20。 320。 3综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=

11AM=t． 2211 ∴S?S梯形AQPD?S?AMF?（DP?AQ）?PQ? AM?FM

221111 ? [（t?2）（?2?t）]?2?t? t??t2?2t 。 222420②当＜t＜8时，如图（3）b所示。

3细节决定未来

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

11AM=6-t，PG=2PB=16-2t， 2211∴S?S梯形AQPD?S?AMF?（PG?AC）?PC?AM?FM

221115 ?（[16?2t）?8]?（t?4）?（12?t）（?6?t）?? t2?22t?84。

2224?12?t?2t(2

520??t2?22t?84(

【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。 【分析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得AB=45cm。 ∵D为边AB的中点，∴AD=25cm。

又∵点P在AD上以5cm/s的速度运动，∴点P在AD上运动的时间为2s。 ∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t－2s。

（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间的数量关系求出

时间t的值。

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时

间t表示各相关运动线段的长度，然后利用S?S梯形AQPD?S?AMF求出面积S的表达式。 又∵点P在DE上以1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t－2 cm。 例题2：答案

【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。

?所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。 ∵∠A与∠P是BC（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC。 ∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。 画图如下：

细节决定未来

（3）∵∠ACB=90°，AC=AO，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

??AP?。∴∠ACP=∠ABC=30°。 ∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AC∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。

（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即

可求得。

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂

??AP?，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，从而求得答案。 径定理，求得AC

例题3：【答案】

解：（1）C(2，23)，OB=47cm。 （2）①当0

过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=3t。 2 ∴S=

321OP·QD=t。

42 ②当4

作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=23。 ∴S =

1DP·QE=3t。 2③当8

延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)。

细节决定未来

易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，

3(t－8)。 2311∴S?S?OQF?S?OPF=t·23－t·(t－

222∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH=8)

=－32

t+33t。 4?32t?0?t?4??4?? 综上所述， S??3t?4?t?8?。

???3t2?33t?8?t?12???4 ∵①②中S随t的增加而增加，

③中S??323t?33t=??t?6?2?93，S随t的增加而减小， 44∴当t=8时，S最大。

（3）①当△OPM∽△OAB时(如图4)，则PQ∥AB。 ∴CQ=OP。 ∴at－4=t，即a=1+

4。 t的取值范围是0

则

OPOMtOM27， 即。∴OM=??t。

87OBOA47 又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。

∴

QBBM12?at，即??OPOMt47?277。 27t72，t的取值范围是6≤t≤8。 t42 综上所述：a=1+ (0

tt整理得t－at=2，即a=1－

【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N，

则在Rt△COM中，由∠AOC=60，OC=4，应用锐

细节决定未来

o

角三角函数定义，可求得OM=2，CM=23，

∴ C(2，23)。

由CMNB是矩形和OA=8得BM=23，

ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=47。

（2）分0

（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。

例题4：【答案】

解：（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y?ax2?bx，得：

1??16a?4b?0?a? ?，解得，?2。

4a?2b?6???b??2∴抛物线的函数解析式为：y?12x?2x。 2 （2）连接AC交OB于E，过点O作OF⊥AD于点F。

∵直线m切⊙C于A ，∴AC⊥m。

?B?AO? 。∴AC⊥OB。 A∵ 弦AB=AO， ∴ ∴m∥OB。∴∠OAD=∠AOB。

333，∴tan∠OAD=，sin∠OAD=。 44533∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3，OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4。

45∵OA=4，tan∠AOB=

t秒时，OP=t，DQ=2t，若PQ⊥AD， 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。 ∴在 △ODF中，t=DF=OD2?OF2?32?2.42?1.8（秒）。 ∴当PQ⊥AD时,运动时间t的值为 1.8秒。

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。 ∵tan∠AOB=

33，∴直线OB为y?x。 44细节决定未来

3x+r， 43131 联立y?x+r和y?x2?2x得x+r?x2?2x，整理得2x2?11x?4r?0。

4242121 ∵直线l与抛物线只有一个交点，∴△=121+32r?0，解得r??。

3211121121 将r??代入2x2?11x?4r?0得2x2?11x+?0，解得x?。

432811312155 将x?代入y?x?得y??。

4324321155 ∴R（，。 ?）

432 设过点R平行于直线OB的直线l：y?【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆相切的性质，弦和弧的关系，垂径定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。

【分析】（1）将点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax+bx，得方程组，解之即可得出解析式。

（2）先得到∠OAD=∠AOB ，作OF⊥AD于F，再求出OF的长，t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD 则

FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在△ODF中，应用勾股定理即可求得结论。

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此

时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。求出直线OB的解析式，设过点R平行于直线OB的直线l：y?R的坐标。

巩固练习答案：

1、【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

∴AM=12﹣t，AN=2t。

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。 ∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。

（2）如图作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。 ∴△ANH∽△ABC。 ∴

2

331x+r，联立y?x+r和y?x2?2x，根据一元二次方程根的判别式求出r，即可求得点442ANNH2tNH10，即?。∴NH=t。 ?13ABBC135细节决定未来

11056052180。 ??12?t??t=?t2+t=??t?6?+21313131313180∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。

13∴S?ABC?【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。

（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。

2、【答案】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。

∴AB?OB2?OA2?62?82?10。

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。 ∵PQ∥BO，∴∴当t=

APAQ10?3t2t20，即。 ??，解得t=

11ABAO10520秒时，PQ∥BO。 11（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。 ∴△APD∽△ABO。 ∴

9APPD10?3tPD，即，解得PD=6﹣t。 ??5ABOB10621199?5??9?∴S??AQ?PD??2t??6?t?=?t2+6t=??t??+5。

2255?3??5?9?5?10∴S与t之间的函数关系式为：S=??t??+5（0＜t＜）。

5?3?325秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。 35②如图②所示，当S取最大值时，t=，

391∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。

521又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。

2101414又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。

333142依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

33∴当t=

细节决定未来

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（

2，﹣3）。 3【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。 【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式t的值。

（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得

APAQ，求出?ABAOAPPD求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一?ABOB

个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。

②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。

3、【答案】解：（1）设AC的中点为E，连接OF并延长至B，使得BF=OF；连接AC，AB，则△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形。

∵A（2，0），C（0，2），∴OA=OC。

∵△ABC是△AOC的中心对称图形，∴AB=OC，BC=OA。 ∴OA=AB=BC=OC。∴四边形OABC是菱形， 又∵∠AOC=90，∴四边形OABC是正方形。 （2）设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax+bx+c，

2

0

1∵A（2，0），C（0，2），D（?，0），

2??4a+2b+c=0?a=?2??2∴?c=2，解得?b=3。∴抛物线的解析式为：y=﹣2x+3x+2。

?c=2?11??a?b+c=02?4由（1）知，四边形OABC为正方形，∴B（2，2）。

细节决定未来

∴直线BC的解析式为y=2。 令y=﹣2x+3x+2=2，解得x1=0，x2=

2

33。∴点E的坐标为（，2）。 22（3）在点P的运动过程中，有三种情形使得△AON为等腰三角形：

①当x= 2时，此时点P与点B重合，△AON为等腰直角三角形； ②当x=6﹣22时，此时点P位于B﹣C段上，△AON为等腰三角形； ③当x=4时，此时点P与点B重合，△AON为等腰直角三角形。

【考点】二次函数综合题，中心对称图形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。119 【分析】（1）按照中心对称图形的定义作图即可，易知四边形OABC为正方形。

（2）已知A、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；由直线BC：y=2，代入抛

物线解析式解方程求得点E的坐标。

（3）在点P的运动过程中，△AON为等腰三角形的情形有三种，充分利用正方形、等腰三角形的性质，容易求得点P运动的路程x：如图所示，

①△AON1，此时点P与点B重合，点N1是正方形OABC对角线的交点，且△AON1为等腰直角三角形。

则此时点P运动路程为：x=AB=2。 ②△AON2，此时点P位于B﹣C段上。 ∵正方形OABC，OA=2，∴AC=22。 ∵AN2=OA=2，∴CN2=AC﹣AN2=22﹣2。 ∵AN2=OA，∴∠AON2=∠AN2O。

∵BC∥OA，∴∠AON2=∠CP2N2，又∠AN2O=∠CN2P2。 ∴∠CN2P2=∠CP2N2。∴CP2=CN2=2

﹣2。

此时点P运动的路程为：x=AB+BC﹣CP2=2+2﹣（22﹣2）=6﹣22。

③△AON3．此时点P到达终点C，P、C、N三点重合，△AON3为等腰直角三角形，

此时点P运动的路程为：x=AB+BC=2+2=4。

综上所述，当x=2，x=6﹣22或x=4时，△AON为等腰三角形。 4、【答案】解：（1）不能。理由如下：

假设经过t秒时四边形EQDP能够成为平行四边形。

∵点P的速度为1 厘米／秒，点Q 的速度为1 . 25 厘米／秒，

细节决定未来

∴AP=t厘米，BQ=1.25t厘米。 又∵PE∥BC，∴△AEP∽△ADC。∴

EPAP。 ?DCAC∵AC=4厘米，BC=5厘米，CD=3厘米，

EPt?，解得，EP=0.75t厘米。 345又∵QD?BC?BQ?DC?5?t?3?2?1.25t，

4∴

∴由EP=QD得2?1.25t=0.75t，解得t=1。 ∴只有t=1时四边形EQDP才能成为平行四边形。 ∴经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形。 （2）∵AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米， ∴

PCQCPC4?tQC5?1.25t4?t。∴。 ??， ??ACBCAC4BC54 又∵∠C=∠C，∴△PQC∽△ABC。∴∠PQC=∠B。∴PQ∥AB。 ∴在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。 （3）分两种情况讨论：

①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4－t，DQ=1.25t－2 又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC。 ∴

EQDQ4?t1.25t?2，即， ??ACDC43解得t=2.5。 ②当∠QED=90°时，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA。 ∴

DQRt?EDQ斜边上的高。 ?DARt?CDA斜边上的高Rt△EDQ斜边上的高为4－t，Rt△CDA斜边上的高为2.4， ∴

1.25t?24?t，解得t =3.1。 ?52.4综上所述，当t为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。

【考点】动点问题，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行的判定，直角三角形的判定。 【分析】（1）不能。应用相似三角形的判定和性质，得出只有t=1时四边形EQDP才能成为平行四边形的结果，从而得出经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形的结论。

（2）由△PQC∽△ABC得∠PQC=∠B，从而得到在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与

线段AB平行的结论。

细节决定未来

（3）分∠EQD=90°和∠QED=90°两种情况讨论即可。

5、【答案】解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3。

又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）。 （2）分两种情况考虑：

①当点P在点B右侧时，如图2，

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO?tan30°=3。此时t=4+3 ②当点P在点B左侧时，如图3，

由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP=COtan60°=33。此时，t=4+33 ∴t的值为4+3或4+33

（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相

切时，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，有

∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1。

②当⊙P与CD相切于点C时，有

PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4。

③当⊙P与AD相切时，由题意，得

∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC=PA=（9－t），PO=（t－4）。

于是（9－t）= PO=（t－4），

即81－18t＋t=t－8t＋16＋9，解得，t=5.6。 综上所述，t的值为1或4或5.6。

2

22

2

2

2

2

2

2

2

【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

细节决定未来

【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标。

（2）分点P在点B右侧和点P在点B左侧两种情况讨论即可。

（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况讨论：①当⊙P与BC边相切时，②当⊙P与CD相切于点C时，③当⊙P与CD相切时。

6、【答案】 解：（1）1。 （2）

4。 51t， 2 （3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；

当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ =t，BP= 又∵BP=2－t，∴

14t=2－t，解得t=。 23 进一步分析可知此时点E与点F重合。 当点P到达B点时，此时t=2。

因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时， 其运动过程可分析如下： ①当1＜t≤

4时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ。 3 此时AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。 易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG。 ∴EF=AF－AE=2（2－t）－t=4－3t，EG= ∴DG=DE－EG=t－（2－

13EF=2－t。 2235t）=t－2。 2211?9?5?? S?S梯形PDGQ?（PQ?DG）?PD???2t?2???t?2???t=t2?2t。

22?4?2?? ②当

4＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形。 3此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2－t。 易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，

可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN。∴AF=4－2t，PM=4－2t。

细节决定未来

又DM=DP－PM=t－（4－2t）=3t－4，∴DN=

1（3t－4）。 211S?S正方形APDE?S?AQF?S?DMN?AP2?AQ?AF?DN?DM

221119 t?2??2?t??4?2t????3t?4???3t?4???t2?10t?8

2224综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，

4?92t?2t(1?t?)??43S与t之间的函数关系式为：S??。 94??t2?10t?8(?t?2)?3?4【考点】动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此得t+t=2，解得t=1（s）。

（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．

∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC。

111DP=AP=t。 22214由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=。

25∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为

两个阶段：

①当1＜t≤

4 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯3形面积公式求出S。

②当

4＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形． 3面积S由关系式“S?S正方形APDE?S?AQF?S?DMN”求出。

8、【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝

11OP＝，AF＝BF． 2分 222在Rt△OAF中，∵AF＝OA2?OF2＝12?(1)2＝3， 2细节决定未来

∴AB＝2AF＝3． 2分 （2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，

所以，连结AD、BD， 则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA， 2分 因为∠DAE＋∠DBA＝

1∠AOB＝60°， 2 所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； 2分 （3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH， 则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴S?S?ABD?S?ACD?S?BCD

＝

11111AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE． 2分 222221l?DES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE. 2DE2DE∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝

1∠ACB＝30°， 2DG＝DE＝3DE， 2分 ?tan3033∴CH＝CG＝3DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝，

3∴△ABC的周长为

83． 2分 3细节决定未来

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