专题07 平面向量的线性运算及其应用-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析]

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2014高考对本内容的考查主要有：

平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．

试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题

.

1．向量的概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. a

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1)若a∥b a＝λb(λ≠0)；a∥b x1y2－x2y1＝0. (2)若a⊥b a·b＝0； a⊥b x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 →|AB|＝

x2－x1＋y2－y1.

x1x2＋y1y2

x1＋y1x2＋y2

a ·b

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝|a||b|4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性→→→

表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN＝ON－OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．

5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，

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反之也成立．

6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

考点1、平面向量的线性运算

12

【例1】 (2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2，BE＝3.→→→

若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中→

合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE用

→→

AB，AC表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．

【变式探究】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中→→点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．

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考点2、平面向量的数量积

【例2】已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，→→→→→若|OA|＝7，|OB|＝5，则OP·(OB－OA)的值为________．

【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．

【变式探究】 (2013·湖南卷)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________．

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【例1】已知向量m＝(sin x，－1)，n＝(cos x,3)． sin x＋cos x

(1)当m∥n的值；

3sin x－2cos x

(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C3c＝2asin(A＋B)，函数f(x)

π＝(m＋n)·m，求fB＋8的取值范围．

【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

【变式探究】 (2013·江苏卷)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

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1．已知向量a＝(2，x)，b＝(x－1,1)，若a∥b，则x的值为________． 【解析】由a∥b，得2－x(x－1)＝0，解得x＝2或－1. 【答案】2或－1

2．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|13则|b| 等于________． 【解析】向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13， 3

则a·b＝|a||b|·cos 120°＝－2|b|， |a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.

所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4. 【答案】4

3．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为________．

→→→→→4．在△ABC中，已知AB·AC＝4，AB·BC＝－12，则|AB|＝________.

→→→→→→→→→

【解析】将AB·AC＝4，AB·BC＝－12两式相减得AB·(AC－BC)＝AB2＝16，则|AB|＝4.

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【答案】4

→→

5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝

________.

→→→→6．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB→→→

＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．

x≥0， 3 3 y

因为|λ|＋|μ|≤1，所以 x ＋ －x ≤1，当 3y－3x≥0，时，

3 26

3y＋3x≤6

1

由可行域可得S0＝23＝3，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝43. 【答案】43

7.如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意

→→

一点，则AM

·AN的最大值是________．

→8．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA

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→

＋3PB|的最小值为______．

π

9．已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋2k∈Z)．

(1)若b∥c，求tan α·tan β的值； (2)求a2＋b·c的值．

【解析】解 (1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，

π

∵α，β≠kπ＋2(k∈Z)，∴tan αtan β＝－

3.

10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； π

(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝3，求△ABC的面积．

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11．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S

.

→→

(1)求OA·OQ＋S的最大值； π 2θ－(2)若CB∥OP，求sin6 的值．

→→所以OA·OQ＝1＋cos θ

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m7lj.html