专题07 平面向量的线性运算及其应用-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析]
更新时间:2023-08-10 08:09:01 阅读量: 工程科技 文档下载
专题07 平面向量的线性运算及其应用-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 Word版含解析]
2014高考对本内容的考查主要有:
平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级,只有平面向量的应用为A级要求,平面向量的数量积为C级要求,应特别重视.
试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与三角函数综合考查,构成中档题
.
1.向量的概念
(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0. a
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).
(4)如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)是直线l的一个方向向量. (5)|b|cos〈a,b〉叫做b在向量a方向上的投影. 2.两非零向量平行、垂直的充要条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)若a∥b a=λb(λ≠0);a∥b x1y2-x2y1=0. (2)若a⊥b a·b=0; a⊥b x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的性质
(1)若a=(x,y),则|a|=a·a=x+y. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 →|AB|=
x2-x1+y2-y1.
x1x2+y1y2
x1+y1x2+y2
a ·b
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ=|a||b|4.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性→→→
表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易使用错误,向量MN=ON-OM(其中O为我们所需要的任何一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量.
5.根据平行四边形法则,对于非零向量a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量a,b互相垂直,
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反之也成立.
6.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线.
考点1、平面向量的线性运算
12
【例1】 (2013·江苏卷)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=2,BE=3.→→→
若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
【规律方法】在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算类似于代数中→
合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.本例中的第(1)题就是把向量DE用
→→
AB,AC表示出来,再与题中已知向量关系式进行对比,得出相等关系式,可求相应的系数.
【变式探究】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中→→点.若AC·BE=1,则AB的长为________.
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考点2、平面向量的数量积
【例2】已知O,A,B是平面上不共线的三点,设P为线段AB垂直平分线上任意一点,→→→→→若|OA|=7,|OB|=5,则OP·(OB-OA)的值为________.
【规律方法】求数量积的最值,一般要先利用向量的线性运算,尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量,利用向量的数量积运算建立目标函数,利用函数知识求解最值.
【变式探究】 (2013·湖南卷)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是________.
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【例1】已知向量m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x
(1)当m∥n的值;
3sin x-2cos x
(2)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C3c=2asin(A+B),函数f(x)
π=(m+n)·m,求fB+8的取值范围.
【规律方法】在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.
【变式探究】 (2013·江苏卷)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|2,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
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1.已知向量a=(2,x),b=(x-1,1),若a∥b,则x的值为________. 【解析】由a∥b,得2-x(x-1)=0,解得x=2或-1. 【答案】2或-1
2.已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|13则|b| 等于________. 【解析】向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=13, 3
则a·b=|a||b|·cos 120°=-2|b|, |a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2.
所以13=9-3|b|+|b|2,则|b|=-1(舍去)或|b|=4. 【答案】4
3.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a与b的夹角为60°,且|a|=|b|=1,则向量a与c的夹角为________.
→→→→→4.在△ABC中,已知AB·AC=4,AB·BC=-12,则|AB|=________.
→→→→→→→→→
【解析】将AB·AC=4,AB·BC=-12两式相减得AB·(AC-BC)=AB2=16,则|AB|=4.
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【答案】4
→→
5.(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=
________.
→→→→6.(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足|OA|=|OB|=OA·OB→→→
=2,则点集{P|OP=λOA+μOB,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是________.
x≥0, 3 3 y
因为|λ|+|μ|≤1,所以 x + -x ≤1,当 3y-3x≥0,时,
3 26
3y+3x≤6
1
由可行域可得S0=23=3,所以由对称性可知点P所表示的区域面积S=4S0=43. 【答案】43
7.如图,在正方形ABCD中,已知AB=2,M为BC的中点,若N为正方形内(含边界)任意
→→
一点,则AM
·AN的最大值是________.
→8.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA
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→
+3PB|的最小值为______.
π
9.已知a=(sin α,sin β),b=(cos(α-β),-1),c=(cos(α+β),2),α,β≠kπ+2k∈Z).
(1)若b∥c,求tan α·tan β的值; (2)求a2+b·c的值.
【解析】解 (1)若b∥c,则2cos(α-β)+cos(α+β)=0, ∴3cos αcos β+sin αsin β=0,
π
∵α,β≠kπ+2(k∈Z),∴tan αtan β=-
3.
10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形; π
(2)若m⊥p,边长c=2,C=3,求△ABC的面积.
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11.如图所示,A,B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点,点P在单位圆上,∠AOP=θ(0<θ<π),C点坐标为(-2,0),平行四边形OAQP的面积为S
.
→→
(1)求OA·OQ+S的最大值; π 2θ-(2)若CB∥OP,求sin6 的值.
→→所以OA·OQ=1+cos θ
.
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