2014-2015学年西城初三期末数学试题及答案(word版)

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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷

九年级数学 2015. 1

一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．．．1．二次函数y (x+1)2 2的最大值是

A． 2 B． 1 C．1 D．2 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果 ∠ADE=120°，那么∠B等于 A．130°

B．120° C．80°

D．60°

3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A B C D 4．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线

A．y x 3 1 B．y x 3 3 C．y x 3 1 D．y x 3 3

5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面积是3，那么△A′B′

2

2

2

2

C′的面积等于

A．3 B．6 C．9 D．12 6．如果关于x的一元二次方程x2 x m 1 0有实数根，那么m的取值范围是

A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin BCD的值是

1

4

55 B． 12131212 C． D．

135

A．

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8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC

是该抛物线的内接格点三角形，AB 点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xB＜xC，那么符合上述条件的抛物线条数是 A．7 B．8 C．14 D．16 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．在平面直角坐标系xOy中，点A( 2,n)在反比例函数y 轴于

点B，那么△AOB的面积等于 ．

10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，

6

错误！未找到引用源。的图象上，AB xx

CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么 BAC °．

11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，

且点B，D的对应点

为A，C，那么线段CE的长应等于 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，A( m,0)，B(m,0)（其中m 0），点P在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足 APB 90 ，（1）线段OP的长等于 （用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：3tan30 cos245 2sin60 ．

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14．解方程：x2 4x 1 0．

15．如图，在⊙O中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，连接CD交AB于 点E．如果⊙O

的半径等于tan CPO

1

，求弦CD的长． 2

16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB C ． （1）在正方形网格中，画出△AB C ；

（2）计算线段AB在旋转到AB 的过程中所扫过区域的面积． （结果保留π）

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17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出(800 10a)件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．

18．如果关于x的函数y ax2 (a 2)x a 1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a

的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？

1.732，结果精确到1米）

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20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上． （1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan HDG的值．

21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，OC 3OE， 连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M． （1）请依题意补全图形； （2）求证： AOC DBC； （3）求

BM

的值． BC

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22． 已知抛物线C：y=x2 2x 3.

（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直

角坐标系中画出抛物线C；

（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的

抛物线，（记为C1），且抛物线C1的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线C1对应的函数表达式.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(,2)，B(3,n)

在反比例函数y

1

，可证明得到的曲线仍是2

12m

（m为常数）的图象G上，x

连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点D(1,0)，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．

（1）求m的值及直线l对应的函数表达式； （2）求点E的坐标； （3）求证： BAE ACB．

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24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l

上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针 方向旋转60 得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（m 0）． （1） ① QBC= ；

② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且m 3时，点Q到直线l的距离 等于 ；

（2） 当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为P0，Q0．在图2

中画出此时的线段P0C及△BCQ0，并直接写出相应m的值； （3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ

时，求m的值．

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25．如图1，对于平面上不大于90 的 MON，我们给出如下定义：若点P在 MON的内部或边界上，作PE OM于点E，PF ON于点F，则称PE PF为点P相对于 MON的“点角距离”，记为

d P, MON ．

如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于 xOy，点P为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足d P, xOy 5，点P运动形成的图形记为图形G． （1）满足条件的其中一个点P的坐标是 ，图形G与坐标轴围成图形的面积

等于 ；

（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知B(3,4)，M(4,1)，求d M, AOB 的值；

（3）如果抛物线y x2 bx c经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点

1

2

Q可与A，B两点重合），求当d Q, AOB 取最大值时，点Q 的坐标．

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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末

九年级数学试卷参考答案及评分标准

2015.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3． 10.28．

11.

15

． 12.（1）m；（2）3. 4

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： 3tan30 cos245 2sin60

3 2 ……………………………………………………… 3分

2

1

21

. ………………………………………………………………………………… 5分 2

14．解：x2 4x

1 0．

∵ a 1，b 4，c

1， ……………………………………………………… 1分

∴ b2 4

ac ( 4)2 4 1 1 12．……………………………………………… 2分

∴ x ……………………………………………… 3分

2 ∴ 原方程的解是x1 2x2 2 5分

15．解：连接OC．（如图1）

∵ PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，

∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分

PC=PD，∠OPC=∠OPD．

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∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2分 ∵ tan CPO

1， 2

1

．……………3分 2

∴ tan OCE tan CPO

设 OE=k，则CE=2k

，OC ．（k 0） ∵ ⊙O

的半径等于 ∴

k 3．

∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分

16．（1）画图见图2． …………………………… 2分 （2）由图可知△ABC是直角三角形，AC=4，BC=3，

所以AB=5．…………………… 3分 线段AB在旋转到AB 的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．

……………………………………… 4分 ∴ S扇形AB B

1125

π AB2 π 52 π． 444

…………………………………… 5分

所以线段AB在旋转到AB 的过程中所扫过区域的面积为

25

π． 4

17．解：根据题意，得(a 20)(800 10a) 8000．（20≤a≤80） …………………… 1分

整理，得 a2 100a 2400 0． 可得 (a 40)(a 60) 0．

解方程，得a1 40，a2 60．…………………………………………………… 3分 当a1 40时，800 10a 800 10 40 400（件）． 当a2 60时，800 10a 800 10 60 200（件）．

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因为要使每天的销售量尽量大，所以a 40． ………………………………… 4分 答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售

价应是40元．……………………………………………………………………… 5分

18．解：（1）当a 0时，函数y 2x 1的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分 （2）当a≠0时，函数y ax2 (a 2)x a 1是关于x的二次函数．

∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，

∴ 关于x的方程 ax2 (a 2)x a 1 0有两个相等的实数根． ………2分

∴ (a 2)2 4a(a 1) 0．………………………………………………3分

整理，得 3a2 4 0．

．…………………………………………………………… 5分 综上，a

0或a

解得

a 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°． ………………………………………… 2分 ∴ APB PBC PAC 30 ．

∴ ∠PAC=∠APB．

∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分

在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，

∴PC PB sin PBC 400

346.4≈346（米）．………………4分 答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米． …………………………………… 5分 20．（1）证明：如图4．

∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，

∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，

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BC=CD，GH=EF=FG．

又∵ 点F在BC上，点G在FD上，

∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°， ∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1分 ∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分 （2）解：∵ BF=3，BC=CD=12，

∴ CF=9

，DF 15．

由（1）得

BECF

BF

CD

． ∴ BE BF CF3 CD 912 9

4

． …………………………………………… 3分

∴

GH FG EF15

4

．……………………………………4分

DG DF FG 45

4．

∴ tan HDG GHDG 1

3

． ………………………………………………… 5分

21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分 （2）证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，

∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2分 又∵ AOC 2 ABC，

∴ AOC DBC

．……………………………3分

BF=BF（3）解：∵ ，

∴ ∠

A=∠D．

又∵ AOC DBC，

∴ △AOE∽△DBM． ………………………………………………………

4分 ∴

OEBM

OA

BD

． ∵ OC 3OE，OA =OC，

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∴

BMOEOE1

． BDOAOC3

∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称， ∴ BC=BD． ∴

BMBM1

．………………………………………………………… 5分 BCBD3

22．解：（1）A( 1, 4)，B( 3,0)． ……………………………………………………… 2分

画图象见图6．……………………………………………………………… 3分

（2）由题意得变换后的抛物线C1的相关点的坐标如下表所示：

设抛物线C1对应的函数表达式为 y a(x 2)2 2．（a≠0） ∵ 抛物线C1与y轴交点的坐标为(0, 1.5)， ∴ 4a 2． 解得 a

3

2

1． 8

18

13

x ．……… 5分 22

113

∴ 抛物线C1对应的函数表达式为y x2 x

822

∴ y (x 2)2 2 x2

说明：其他正确解法相应给分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点A(,2)在反比例函数y

1

8

1m

（m为常数）的图象G上，

2x1

∴ m 2 1．………………………………………………………………1分

2

m1

∴ 反比例函数y （m为常数）对应的函数表达式是y ．

xx

设直线l对应的函数表达式为y kx b（k，b为常数，k≠0）． ∵ 直线l经过点A(,2)，D(1,0)，

12

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1

k 4, k b 2,

∴ 2 解得

b 4. k b 0.

∴ 直线l对应的函数表达式为y 4x 4． ………………………………2分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为C( , 2)． ………… 3分 ∵ CE∥x轴交直线l于点E， ∴ yE yC．

∴ 点E的坐标为E(, 2)．………………………………………………… 4分

（3）如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，

作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE， BCE CBH．

∵ A(,2)，C( , 2)，E(, 2)，

∴ 点F的坐标为F(, 2)． ∴ CF=EF． ∴ AC=AE．

∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分

∵ 点B(3,n)在图象G上， ∴ n

1

2

32

121232

12

1， 311111∴ B(3,)，G(,)，H( ,)．

32323

1

AG 2， 在Rt△ABG中，tan ABH

BG3 13

2

2

1 2

CH2

， 在Rt△BCH中，tan CBH

BH3 3

2

∴ ABH CBH．………………………………………………………… 6分 ∴ BCE ABH．

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∵ BAE AMH ABH AEC ABH， ACB ACE BCE，

∴ ∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7分 24．解：（1）①

QBC= 90 ；………………………………………………………………1分

② m=3时，点Q到直线l的距离等于

．……………………………… 2分 （2）所画图形见图8．………………………… 3分

m

（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．

∵ CA⊥直线l，

∴ ∠CAP=90 ．

易证四边形ADFG为矩形．

∵ 等边三角形ABC的边长为4， ∴ ∠ACB=60 ，DF AG CG

4分

11

AC 2， CBG CBA 30 ． 22

∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60 得到△BCQ， ∴ △ACP≌△BCQ．

∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90 ． ∴ ∠QBF=60 ．

在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m， ∴

QF

．…………………………………………………………… 5分 要使△PAQ存在，则点P不能与点A，P0重合，所以点P的位置分为以下两 种情况：

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① 如图9，当点P在（2）中的线段P0A上（点P不与点A，P0重合）时，

可得0 m

此时点Q在直线l的下方．

∴

DQ DF QF 2

∵S APQ

，． 1AP DQ ， 21) ∴

m(2 ．

22 4m 0．

解得m1

或m2

经检验，m

0 m 7分

② 如图10，当点P在（2）中的线段AP0的延长线上（点P不与点A，P

0重合）时，可得

Q在直线l的上方． 2． ∴

DQ QF DF 1 ∵

S APQ AP DQ ，

21 2) ∴

.m．

2m

整理，得

3m 3 0．

解得 m

2

． 经检验，m m 8分

综上所述，m

2 21时，△PAQ．

3

25．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是(5,0)；………………………………… 1分

（说明：点P(x,y)的坐标满足x y 5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）

图形G与坐标轴围成图形的面积等于

25

．…………………………………2分 （2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作

BK⊥x轴于点K．

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由点B的坐标为B(3,4)，可求得直线OB对应的函数关系式为y

4x． 3

∴ 点D的坐标为D(,1)，DM 4 ∴ OB=5，sin AOB

34313 ． 44

BK4

， OB5

4

sin MDE sin AOB ．

5

13413

∴ ME DM sin MDE ．

455

……………………………………… 3分 ∴ d(M, AOB) ME MF

1318 1 ． 55

……………………………………… 4分

（3）∵ 抛物线y

12

x bx c经过A(5,0)，B(3,4)两点， 2

12 0 5 5b c, b 2, 2∴ 解得 5

1c . 4 32 3b c.2 2

∴ 抛物线对应的函数关系式为y

125

x 2x ．………………………5分 22

如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N． 设点Q的坐标为Q(m,n)，其中3≤m≤5， 则QH n m2 2m

1

2

5．2

4． 5

33

∴ 点N的坐标为N(n,n)，NQ m n．

44

43

∴ QG NQ sin QNG (m n)

54

43

m n． 55

4342

∴ d(Q, AOB) QG QH m n n m n

5555

42125 m ( m 2m )

5522

同（2）得 sin QNG sin AOB

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18

m2 m 1

55121

(m 4)2 ．

55

∴ 当m 4（在3≤m≤5范围内）时，d Q, AOB 取得最大值（

21

）． 5

………………………………………………………… 6分

5

此时点Q的坐标为(4,)．…………………………………………………7分

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m7ii.html