第九章 弯曲变形 静不定梁 - 太原工业学院精品课程

第九章 弯曲变形 静不定梁 §9-1 概 述 一、工程实践中的弯曲变形问题

在工程实践中，对某些受弯构件，除要求

具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即

要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正

常工作。

摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。

但在另外一些情况下，有时却要求构件具 有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的

变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。

P 2 P 2

P

二、弯曲变形的基本概念

1.挠曲线

挠曲线

2.挠度和转角

y

规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正

v

x

x

挠曲线方程： v f ( x)

df tan f ( x) 转角方程： dx

§9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

一、梁的挠曲线近似微分方程式 曲线 y f ( x) 的曲率为

K

y (1 y )

2 3/ 2

M EI z

1

v v 2 3/2 (1 v ) 1

M v 或 EIv M EI z

y

M v 0 M

x

M 0

y

M 0

M v 0 M

x

EIv M

梁的挠曲线近似微分方程:

EIv M ( x ) 或: d v EI 2 M ( x ) dx

2

二、用积分法求梁的变形

EIv M ( x)

EIv M ( x) dx C

EIv M ( x) dx dx Cx D

式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简

支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线 方程，并确定θmax和vmax。

y

q

x

l

ql q 2 解： M ( x) x x 2 2 ql q 2 A EIv x x 2 2 x ql 2 q 3 EIv x x C 4 6 ql 3 q 4 EIv x x Cx D 12 24 由边界条件： x 0时，v 0

y

q

B

l

x

x l时，v 0

ql 3 , D 0 得： C 24

梁的转角方程和挠曲线方程分别为： y

q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI

q

B

x

l

A qx v (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI

ql 3 24 EI

x

最大转角和最大挠度分别为：

max A B

v max v

l x 2

5ql 4 384 EI

例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬

臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方

程，并确定θmax和vmax。

y

P

A

l

B

x

解：M ( x) P(l x)

EIv P x P l

y

P

x

l

A

B x

P 2 EIv x Pl x C 2 P 3 Pl 2 EIv x x Cx D 6 2

由边界条件：x 0时，v 0, v 0

得： C D 0

梁的转角方程和挠曲线方程分别为：

Px ( x 2l ) 2 EI

y

P

x

l

A

Px 2 v ( x 3l) 6 EI Pl 2 2 EI

B x

最大转角和最大挠度分别为：

max B

v max

Pl 3 vB 3EI

例：已知梁的

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