2018年宝山区高三二模数学试卷及答案(精校版)

宝山区2017学年度第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷

本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

考生注意：

1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1. 设全集U?R，若集合A??0，， 12?，B?x?1?x?2，则A?(CUB)? ．2. 设抛物线的焦点坐标为(1，0)，则此抛物线的标准方程为 ．

3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为．1.68，1.71，1. 73，1.63，1.81，1.74，

1.66，1.78，则这组数据的中位数是 （米）． 4. 函数f(x)?2sin4xcos4x的最小正周期为 ． 5. 已知球的俯视图面积为?，则该球的表面积为 ．

???16. 若线性方程组的增广矩阵为??220c1??x?1，则c1?c2? ． ?、解为?c2?y?3?7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不

同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 8. 设无穷等比数列an的公比为q，若a2?lim(a4?a5?L?an)，则q? ．

n????9. 若事件A、B满足P(A)?142，P(B)?，P(AB)?，则P(AB)?P(AB)? ． 255P4P3m2?110. 设奇函数f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?x?（这x里m为正常数）．若f(x)?m?2对一切x?0成立，则m的取值范

O围为 ．

11. 如图，已知O为矩形P1P2P3P4内的一点，满足OP1?4，

P1P2OP3?5，P1P3?7，则OP2?OP4的值为 ．

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y，z中的最小值记为min?x，12. 将实数x，y，z?．在锐角ΔPOQ中，?POQ?60o，

PQ?1，点T在ΔPOQ的边上或内部运动，且TO?min?TP，TO，TQ?，由T所组

成的图形为M.设ΔPOQ、M的面积为SΔPOQ、SM，若SM:(SΔPOQ?SM)?1:2，则SM? ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应

在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13. “sinx?1?”是“x?”的 （ ） 26（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 14. 在(2?x)6的二项展开式中，常数项等于 （ ） x（A）?160 （B）160 （C）?150 （D）150 15. 若函数f(x)（x?R）满足f(?1?x)、f(1?x)均为奇函数，则下列四个结论正确的是 （ ）

（A）f(?x)为奇函数 （B）f(?x)为偶函数 （C）f(x?3)为奇函数 （D）f(x?3)为偶函数 16. 对于数列x1，x2，L，若使得m?xn?0对一切n?N成立的m的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”．设函数f(x)?x?sinx（x?R）及数列y1,y2,?，

?且y1?6y0y0?R，若yn?1??f(yn)(yn?yn?)?1???n?N??，则当y0?1时，???f(yn?)?(yn?yn?)1??22下列结论正确的应为 （ ）

（A）数列y1，y2，L的“准最大项”存在，且为2?. （B）数列y1，y2，L的“准最大项”存在，且为3?. （C）数列y1，y2，L的“准最大项”存在，且为4?. （D）数列y1，y2，L的“准最大项”不存在.

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，AD?3，

PA?AB?4，点E在侧棱PA上，且AE?1，F为侧棱PC的中点．

（1）求三棱锥E?ABD的体积；

（2）求异面直线CE与DF所成角的大小．

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．

2n?R）的虚根，i为虚数单位． 设z?1为关于x的方程x?mx?n?0（m，n的值； （1）当z??1?i时，求m，（2）若n?1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2?4i所对应的点为Q，试求PQ的取值范围．

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分

某渔业公司最近开发出的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点．研究表明：用该项技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g(x)（单位：千克/年），养殖密度为x（x?0）（单位：尾/立方分米）．当x不超过4（尾/立方分米）时，g(x)的值恒为2（千克/年）；当4?x?20时，g(x)是x的一次函数，且当x达到20（尾/立方分米）时，因养殖空间受限等原因，g(x)的值为0（千克/年）． （1）当0?x?20时，求函数g(x)的表达式；

（2）在（1）的条件下，求函数f(x)?x?g(x)的最大值．

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20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满

分6分．

x2y2x2y2在平面直角坐标系xOy中，椭圆??1的右焦点为双曲线C：2?2?1

2723ab（a?0，b?0）的右顶点，直线x?2y?1?0与C的一条渐近线平行． （1）求C的方程；

（2）如图，F1、F2为C的左、右焦点，动点P(x0，y0)（y0?1）在C的右支上，且?F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m，（?5?m?0)试比较m与2的大小，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，设过点F1、N的直线l与C交于D、E两点，求ΔF2DE面积的最大值．

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满

分8分． 设f(k，t)(x)?N，、5）kx?t（这里k，t，x?R，且x?0）． xf(2，f(1，（1）若f(1，2)(1)，2)(x)，3)(3)成等差数列，求x的值；

?1?3?()n?N（2）已知?f(0，（）是公比为的等比数列，x1，x5?N?，是否存在正?1)xn?2?整

数u，使得x1?u，且x5?(u?1)4？若存在，试求出u的值，若不存在，请说明理由； （3）如果存在正常数M，使得yn?M对一切n?N成立，那么称数列yn有界.已知

?4??a?0，m为正偶数，数列?xn?满足x1?b?0，且xn?1?f(b，a)(数列xn有界的充要条件是ab

1?n?N)（），证明：mxn??m?1?2?0.

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宝山二模参考答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）

4? 9 答案 ?2? y2?4x 1. 72 ? 4

题号 7 8 9 10 11 12 35?132，??? ?4 答案 1688 10122

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

题号 1 2 3 4 5 6 ?

题号 13 14 15 16

答案 B A C B

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．解：（1）依题意，可知EA为点E到底面ABCD的距离，故所求的体积为

VE?ABD?1?SΔABD?EA?2． 3（2）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，易得

P(0，，04)，C(4，3，0)，D(0，3，0)，E(0，，01)， uuuruuur332)，CE?(?4，?，2)， 故F(2，，?3，1)，DF?(2，22设异面直线CE与DF所成的角为?，则

cos?uuuruuurCE?DF?uuuruuurCE?DF?310661066，

???Q???0，?，

?2????arccos3106631066， 因此，异面直线CE与DF所成角的大小为arccos．

106610662n?R）的虚根，18．解：（1）由已知可得i、?i均为关于x的方程x?mx?n?0（m，

??m?0??m?i???i??0故由韦达定理，得?， 即?.

n?1???n?i???i??12（2）依题意得z?1也是方程x?mx?1?0（m?R）的虚根，所以 ?z?1??z?1?1，

即 z?1?1，

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因此，P为圆z?1?1上的点，由复数几何意义可知PQmax?5?1?6，

PQmin?5?1?4，从而，PQ的取值范围是?4，6?．

19．解：（1）由题意可知：当0?x?4时，g(x)?2；当4?x?20时，设g(x)?kx?b，

?k?4?b?2由已知得?，

k?20?b?0?1??2(0?x?4，x?N*)k???8，故函数g(x)??解得?. ?1?5*(4?x?20，x?N)??x??b?582???2?2x(0?x?4，x?N*)（2）易得f(x)??， 当0?x?4时，f(x)?2x，故?125*x?N)??x?x(4?x?20，2?80时，f(x)??当4?x?2f(x)?f(4)?8；

上，f(x)的最大值为12.5．

125x?x，故f(x)?f1(0)82?125.． 综

x2y2??1的右焦点为C的右顶点，?a?2，又x?2y?1?0与20．解：（1）Q椭圆

2723x2C的一条渐近线平行，得b?1，故双曲线C的方程为?y2?1．

4（2）依题意可得F1(?5， 0)、F2(5，0)，则直线PF1：y0x?(x0?5)y?5y0?0，直线PF2：y0x?(x0?5)y?5y0?0，Q点M在?F1PF2的平分线上，

?y0m?5y0y?(x0?5)202?y0m?5y0y?(x0?5)202，又?5?m?5，且y0?1，?

m?5y?(x0?5)C的右支上，故

202?2x0?1?1，且动点P在 （※） ，注意到y?224y0?(x0?5)5?m2022 利用y0?(x0?5)?(x0?22．552（※）x0?2)2，y0x0?2)2，?(x0?5)2?(22可化为：

m?55x?220?5?m5x?220，解得x0?4，最后，结合x0?22可得m?2． m宝山区2017学年度第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷 第 6 页 共 9页

（3）由（2）知：直线PM：(x0?441)y?y0(x?)，?N(0，?)，从而，直线l：x0x0y0y??15y0(x?5)，

?x22??y?1222由?4可得(5y0，注意到Δ?80y0?4)y?10yy?1?0?16?0，设0??y??1(x?5)?5y0?D(x1，y1)，E(x2，y2)，

210y0145y0?12，y1y2?2，?y1?y2?(y1?y2)?4y1y2?则y1?y2??2， 25y0?45y0?45y0?4故SΔFDE225y0?111121??F1F2?y1?y2?45?， ?45?5(?)?2225y0?45y0?41020显然当

1?1即y0?1时，SΔF2DE取得最大值430，此时点N的坐标为(0， ?1)．25y0?421．解：（1）由已知可得f(1，f(2，()1)?32)(x)?，22x?2?2，，f(1，3)(3)xf(2，f(1，Qf(1，2)(1)，2)(x)，3)(3)成等差数列，?2f(2，2)(x)?f(1，2)(1)?f(1，3)(3)，即 2?2x?2?3?2，解得x?4. x4?3?（2）设正整数u满足题设要求，则x5?x1??， Qx1，x5?N?，?x1?24?k?2?（k?N），从而x5?34?k.

由x1?u可得u?2?4k （※） ；由x5?(u?14)可得u?1?3?4k （※※） ； 消去k得u?1?3?4?u，解得u?2， 再由（※※）得u?1?3，得u?2，这样，便有u?2. 24或这样：由（※）、（※※）消去u得1?k，所以1?k，注意到k?N?，故k?1，

于是由（※）、（※※）可得u?2，u?2，从而u?2.

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