新人教版高中数学2.1指数与指数幂的运算(1)学案

§2.1.1 指数与指数幂的运算（一）

¤本课目标：（1）根式的定义。（2）根式和分数指数的互化。

（3）指数幂的基本运算。（4）了解无理指数幂的计算方法

¤重难点： 指数幂的基本运算

¤情景引入：

生物死亡后，体内碳每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡100年后体内碳的含量P与死亡时碳14的关系为__________.

¤预习思考选题： 看书P49—50完成

1. 若xn?a，则x叫做 ，记为 ，其中n>1，且n?N?. n次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根 ；零的任何次方根都是 .（不存在00）

（2）(a)2? ；a2? ；例如：(5)2? ；(?3)2? ；

（3）n次方根（n?1,且n?N*）有如下恒等式：

?np(na)n? ；nan?? ；amp? ，（a?0）.

?看书P50—51完成

2．规定正数的分数指数幂：a

3．aman? （a?0）；(am)n? （a?0）；(ab)n? （a?0,b?0）；

mn? （a?0,m,n?N?,且n?1）； a?mn? . 4．一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指

数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.

¤探究新知： 探究点1：

例1：求下列各式的值：

（1）(5)2； （2）(5?3)5； （3）5(?3)5；

（4）(?10)2； （5）(a?b)2(a?b)

例2：求下列各式的值：

16?41?5（1）8； （2）25； （3）()； （4）()；

812?

2312

3 探究点2：

例3．用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a?0).

a3?a； a2?3a2； a3a

例4．计算下列各式：（式中的字母都是正数）

（）（12ab)(?6ab)?(?3ab); （2）(mn).

23121213165614?388

¤课堂达标检测： 计算下列各式：

（1）(25?125)?25； （2）

¤课堂小结：

34a2a?a32(a?0).

§2.1.1 指数与指数幂的运算（二）

¤本课目标：（1）加强指数幂的基本运算。（2）学会用已知内容表示未知内容。 ¤复习旧知

(1)指数幂的推广：

①零指数幂：a0＝____(a≠0)．

②负指数幂：a－n＝______(a≠0，n∈N*)．

③分数指数幂：a＝______(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；

a?mnmn?_________(a＞0，m、n∈N*，n＞1)．

④0的正指数幂是______,0的负指数幂__________． (2)根式及性质：

①xn＝a(n∈N，n＞1)?x＝____________.

②当n为奇数时，an＝________；当n为偶数时，an＝________. ③(a)n＝______. (3)有理指数幂的运算性质：

①aras＝______(a＞0，r、s∈Q)． ②(ar)s＝______(a＞0，r、s∈Q)． ③(ab)r＝______(a＞0，b＞0，r∈Q)．

练习：求下列各式的值：

（1）（3??）（n?1,且n?N）； （2）(x?y)； （3）81?9.

nnnnn*2423

¤探究新知

探究点1：

36

问题1 等式－2＝

2

2

44，－32＝

3

4

×2 成立吗？( )

4

问题2 化简16x8y4(x<0，y<0)的结果是－2x2y吗？.( ) 问题3

.

探究点2：

a3n?a?3n例2：（1）已知a?2?1，求n?n的值.

a?a2nnnan 与 (a)n相同吗？．( )

（2）已知x?x=5，求下列各式的值：（1）x?x?1；（2）

121?2x?x?2

x2?x?2?332?32

探究点3： 例3：化简与求值：

(1)(3)

¤课堂达标检测：

?1?－2

1.化简：(1) 0.027－?－?＋2560.75－|－3|－1＋(－5.55)0－10(2－3)－1；

?6?

_1311n?1n3?3； (2) ； ?nn?12211?3?13?5?15?7?????12n?1?2n?1.

2.若a＞1，b＞0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b的值等于___________

¤课堂小结：

§2.1.2 指数函数及其性质（一）

¤本课目标：（1）理解指数函数的概念（2）会画y?2x与y?()x的图象；（3）掌握指数函数的单调性 （4）掌握指数函数图象通过的特殊点．

¤情景引入：银行存款年利率为4%，现存入100元，x年后的本利和为_______________;估算100年后本利和为多少？

¤预习思考选题： 看书P54—P56完成

一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，定义域是

图 象

性 0 y=1 (0,1) 12a>1 y y=a y=a (a>1) x x00,则________; 若x<0,则________. 在R上是_______ 若x>0,则________; 若x<0,则________. 在R上是_______ 质

思考：1. y＝kax(k≠0，k≠1)、y＝ax＋b(b≠0)等都是指数函数吗？ ( )

2．若函数y?(a2?3a?3)ax为指数函数，则有( ) A．a＝1或2 ¤探究新知 探究点1

x?)，例1.已知指数函数f(x)?a（的图象经过点(3，求f(0), f(1), a?0且a?1）

B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1

f(-3)的值

变式题：函数y＝ax＋2013＋2014(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．

探究点2：

例2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)1.72.5 ,1.73； （2）0.8?0.1 0.8?0.2； （3）1.70.3 ，0.93.1

变式题：设y1＝4，y2＝8

0.9

0.48

?1?－1.5

，y3＝??，则（ ）

?2?

A．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3

B．y2＞y1＞y3

D．y1＞y3＞y2

例3.求下列函数的定义域。

（1）y?3 探究3：

例3:如图是如下指数函数图象：

(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx，则底数a，b，c，d与1之间的大小关系是

x?21； （2）y?()x?2

21 A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c

¤课堂达标检测：

1.已知f(x)?2x?2?x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( ) A．5

B．7 C．9

D．11

2323525252.设a?(),b?(),c?()，则a，b，c的大小关系是

555A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b ¤课堂小结：

D．b＞c＞a

§2.1.2 指数函数及其性质（二）

¤本课目标：（1）复习前节内容；（2）会利用指数函数的性质解决一些简单问题。 ¤探究新知 探究点1：

例1.截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能把人口年平均增长率控

制在100，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

探究点2： 例2.解不等式：

（1）2x?4x?1 （2）a3x?1?a2x?4 （a﹥0，a≠1）

探究点3：

例3.求下列函数的定义域与值域： （1）y?2

变式题：如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

¤课堂达标检测：

1.函数y＝

2.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是

2________．

¤课堂小结：

?1?x－1

4－??的定义域是________________ ?2?

1x?42x?1； （2）y?x (3)y?4x?2x?1?1 (4)y?32?15x?1

a

§2.1.3 指数函数性质的应用

¤本课目标：会利用指数函数的性质及图象解决一些综合问题 ¤探究新知

探究点1：指数函数的性质 :例1：设函数f(x)＝

a·2x＋a－22x＋1

为奇函数．求：

(1)实数a的值； (2)用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性．

10x－10－x

变式题：f(x)＝x.

10＋10－x

(1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明：f(x)是定义域内的增函数； (3)求f(x)的值域．

探究点2：指数函数的图象及应用 ?1?|x＋1|

例2： 已知函数y＝??.

?3?

(1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时有最值，并写出值域； ?1?

(4)若关于x的方程??|x＋1|＝m有正根，求m的取值范围．

?3?

变式题：

画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

¤课堂达标检测：

1.已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________．

2

2.已知f(x)＝x＋m是奇函数，则常数m的值___________；

3－1

3.设函数f(x)＝f(x)?2x?1的定义域和值域都是[a，b](b＞a)，则a＋b等于（ ） A．1

¤课堂小结：

B．2 C．3

D．4

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