2019届高考数学复习解析几何专题能力提升练二十2.7.4与椭圆、抛

专题能力提升练 二十 与椭圆、抛物线相关的定值、定点及存在性

问题

(45分钟 80分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.(2018·蚌埠一模)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,直线l经过点F,若点

( )

A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为

A.C.

+1

D.

B.+1

【解析】选C.点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称, 可得直线l为AB的垂直平分线.

AB的中点为,AB的斜率为-,

可得直线l的方程为y-=.

令y=0,可得x=a-,

由题意可得-c=a-2

2

2

,

即有a(a+2c)=b=c-a,

由e=,可得e-2e-2=0. 解得e=1+

(1-舍去).

2

2.(2018·西宁一模)椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以

椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为 ( )

A. B. C. D.

【解析】选D.设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M,连接OM,PF2.因为M,O分别为PF1,F1F2的中点,

所以|PF2|=2|MO|=2b.又因为线段PF1与圆O相切于点M,所以OM⊥PF1,PF1⊥PF2,则|PF1|=2

,|PF1|+|PF2|=2a,代入化简得:

2ab=a-c+2b=3b,所以b=a,c=

2222

a,则离心率为e==.

3.已知焦点在x轴上的双曲线-=1的左右两个焦点分别为F1和F2,其右支上存在

一点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为3,则该双曲线的离心率为

( )

A. B.

2

C.2

2

2

2

D.3

【解析】选B.记|PF1|=m,|PF2|=n,,则m-n=2a,m+n=|F1F2|=4c,

=mn=[m+n-(m-n)]=c-a=b=a-1=3,则a=4,从而e=

22222222

.

4.(2018·郑州一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦

点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为

( )

A. B.

C. D.

【解析】选B.因为在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2, 所以以原点为圆心,以c为半径的圆与AB相切, 则PO⊥AB,所以ab=c代入化简可得e-3e+1=0.

4

2

,又b=a-c,

222

则e=

2

(另一个根已舍去).

5.已知点A是抛物线y=x的对称轴与准线的交点,点F为该抛物线的焦点,点P在抛物线上,且满足|PF|=m|PA|,当m取得最小值时,点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为

( )

2

A.C.

+1

2

D.

B.+1

【解析】选C.抛物线的标准方程为x=4y, 则抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1, 过P作准线的垂线,垂足为N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,

因为|PF|=m|PA|,所以|PN|=m|PA|,则设PA的倾斜角为α,则sin α=m,

=m,

当m取得最小值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切, 设直线PA的方程为y=kx-1,代入x=4y, 可得x=4(kx-1), 即x-4kx+4=0,

所以Δ=16k-16=0,所以k=±1, 所以P(±2,1),

2

2

2

2

所以双曲线的实轴长为|PA|-|PF|=2(-1),

所以双曲线的离心率为

2

=+1.

6.已知点A在曲线P:y=x(x>0)上,☉A过原点O,且与y轴的另一个交点为M,若线段OM,☉A和曲线P上分别存在点B、点C和点D,使得四边形ABCD(点A,B,C,D顺时针排列)是正方形,则称点A为曲线P的“完美点”.那么下列结论中正确的是 ( ) A.曲线P上不存在”完美点”

B.曲线P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于1

C.曲线P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于1

D.曲线P上存在两个“完美点”,其横坐标均大于

【解析】选B.如图1,如果点A为“完美点”,则有|AB|=|AD|=|AC|=|OA|,以A为圆

心,|OA|为半径作圆(如图2中虚线圆)交y轴于B,B′(可重合),交抛物线于点D,D′,

当且仅当AB⊥AD时,在圆A上总存在点C,使得AC为∠BAD的角平分线,即∠BAC=∠DAC=45°,

利用余弦定理可求得此时|BC|=|CD|=|OA|,即四边形ABCD是正方形,即点A为“完美点”,

如图,结合图象可知,点B一定是上方的交点,否则在抛物线上不存在D使得AB⊥AD,D也一定是上方的点,否则,A,B,C,D不是顺时针,再考虑当点A横坐标越来越大时,∠BAD的变化情况: 设A(m,m),当m<1时,∠AOy>45°,此时圆与y轴相离,此时点A不是“完美点”,故只需要考虑m≥1,当m增加时,∠BAD越来越小,且趋近于0°,而当m=1时, ∠BAD>90°;故曲线P上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于1.

2

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N两点,且|MN|=8,则线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为________.

【解析】分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知, |MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则

|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,

2

即×(|MP|+|NQ|)=4.

答案:4

8.(2018·大连一模)已知抛物线C:y=2x,过点(1,0)任作一条直线和抛物线C交于A,B两点,设点G(2,0),连接AG,BG并延长,分别和抛物线C交于点A′和B′,则直线A′B′过定点________.

2

【解析】方法一:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),

设直线AB的方程为x=ky+1,

由消x可得y-2ky-2=0,

2

所以y1+y2=2k,y1·y2=-2,

则直线AG的方程为y=·(x-2),

直线BG的方程为y=·(x-2),

将y=

2

·(x-2),代入y=2x中,

2

即y1y-2(x1-2)y-4y1=0,

解得yA′=-,xA′=,

同理可得yB′=-,xB′=,

所以kA′B′=-×=,

所以直线A′B′的方程为y+=,①

或y+=.②

由①+②可得y+2×

=.

即y=(x-4).

所以直线A′B′过定点(4,0). 方法二:不妨令直线AB为x=1,

由所以A(1,

解得y=±),B(1,-),

,

因为G(2,0),

所以直线AG的方程为y=-将y=-(x-2),直线BG的方程为y=

2

(x-2).

(x-2)代入抛物线方程得2(x-2)=2x,解得x=1或x=4.

),

),

故A′(4,-2

同理可得B′(4,2

所以直线A′B′的方程为x=4, 所以直线A′B′过定点(4,0). 答案:(4,0)

三、解答题(每小题10分,共40分)

9.已知定圆C:x+(y-3)=4,定直线m:x+3y+6=0,过A(-1,0)的一条动直线l与直线m相交于N,与圆C相交于P,Q两点,M是PQ中点. (1)当l与m垂直时,求证:l过圆心C. (2)当|PQ|=2(3)设t=

·

时,求直线l的方程.

,试问t是否为定值,若为定值,请求出t的值;若不为定值,请说明理由.

2

2

【解析】(1)由已知km=-,故kl=3, 所以直线l的方程为y=3(x+1), 将圆心C(0,3)代入方程y=3(x+1)成立, 故l过圆心C.

(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意, 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1), 因为|PQ|=2

,所以|CM|=1,

即=1,解得k=,

此时y=(x+1),即4x-3y+4=0, 故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0. (3)当l与x轴垂直时,

易得M(-1,3),N,

又A(-1,0),则故

·

=-5,

=(0,3),=,

即t=-5,

当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1), 代入圆的方程得:(1+k)x+(2k-6k)x+k-6k+5=0,

2

2

2

2

则x1+x2=,xM==,yM=k(xM+1)=,

即M,=,

又由得N,

则故t=

=·

,

=+

==-5,

综上所述,t的值为定值,且t=-5.

10.已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P(2,(1)求椭圆的标准方程.

),且它的离心率e=.

(2)与圆(x-1)+y=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M,N两点,若椭圆上一点C满足

+

=λ

,求实数λ的取值范围.

22

【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),

由已知

解得

所以椭圆的标准方程为+=1.

2

2

(2)因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)+y=1相切,

所以

2

2

=1,2k=

2

(t≠0),把y=kx+t代入+=1整理得

(3+4k)x+8ktx+(4t-24)=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=-,

y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=因为

+

=λ

,所以λ

,

=(x1+x2,y1+y2),

所以C,又因为点C在椭圆上,

所以+=1?λ=

2

=,

因为t>0,所以

2

++1>1,所以0<λ<2, ,0)∪(0,

).

2

所以λ的取值范围为(-

11.已知过点P的直线l与抛物线x=y交于不同的两点A,B,点Q(0,-1),连接AQ,BQ

2

的直线与抛物线的另一交点分别为N,M,如图所示. (1)若

=2

,求直线l的斜率.

(2)试判断直线MN的斜率是否为定值,如果是,请求出此定值,如果不是,说明理由.

【解析】(1)设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立得my+(m-1)y+=0,

22

①

因为

=2

,所以y2=2y1, ②

由①②得y1=,=,

解得m=-8+6<,m=-8-6<,

所以直线l的斜率为1±.

(2)设AQ:y+1=x,

由得x1x-(y1+1)x+x1=0?xN=

2

,yN=,

同理xM=,yM=;

直线MN的斜率kMN===xM+xN

=+=

=

把①代入③得kMN=2(定值), 所以直线MN的斜率是为定值2.

, ③

12.已知椭圆+=1的左焦点为F1,左顶点为A.

·

的取值范围.

(1)若P是椭圆上的任意一点,求

(2)已知直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N (均不是长轴的端点),AH⊥MN,垂足为H且

=

·

,求证:直线l恒过定点.

【解析】(1)设P(x0,y0),又A(-2,0),F1(-1,0), 所以

·

=(-1-x0)(-2-x0)+

,

因为P点在椭圆+=1上,

所以+=1,即=3-,且-2≤x0≤2,所以·=+3x0+5,

函数f(x0)=+3x0+5在[-2,2]上单调递增,

当x0=-2时,f(x0)取最小值为0; 当x0=2时,f(x0)取最大值为12. 所以

·

的取值范围是[0,12].

(2)由题意:

联立

2

2

得,(3+4k)x+8kmx+4m-12=0,

2

222

由Δ=(8km)-4×(3+4k)(4m-12)>0得, 4k+3>m, ①

2

2

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=

·=

+

=(·

++

)·(·

++

) ·

,x1x2=.

=0,

所以(x1+2)(x2+2)+y1y2=0,

即(1+k)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m=0, 4k-16km+7m=0,

2

2

2

2

所以k=m或k=m均适合①.

当k=m时,直线l过点A,舍去,

当k=m时,直线l:y=kx+k过定点

(建议用时:50分钟)

.

1.已知P为抛物线y=4x上一个动点,Q为圆x+(y-4)=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 ( ) A.2C.

-1

2

222

B.2D.

-2 -2

2

2

-1

【解析】选C.抛物线y=4x的焦点为F(1,0),圆x+(y-4)=1的圆心为C(0,4), 根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,

进而推断出当P,Q,F三点共线时点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为|FC|-r=

-1.

2.已知点F是曲线C:y=x的焦点,点P为曲线C上的动点,A为曲线C的准线与其对称轴的

2

交点,则的取值范围是 ( )

A. B.

C. D.

【解析】选C.由已知P,A(0,-1),F(0,1),则

===

=

≥=,

当且仅当x=4时等号成立,又

2

≤1.故选C.

3.已知双曲线-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P

使A.(1,C.(

,+1)

=

,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) B.(D.(

,+∞) +1,+∞)

+1)

【解析】选C.由题意可设P在右支非x轴上,由正弦定理有=,

为方便运算,设|PF1|=m,|PF2|=n,则=,又m-n=2a, 解得n=,m=,

又sin∠PF1F2≠0,则P,F1,F2不共线,则m+n>2c,即c-a-2ac<0,两边同时除以a得e-2e-1<0,解得1-则e>

,故e∈(

,1+

),故选C.

2

2

2

2

+

>2c,整理得 ,又b>a,

4.(2018·榆林一模)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左右两个焦点,过点F2与双曲

线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则该双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,C.(

) ,2)

B.(

,

)

D.(2,+∞)

【解析】选D.如图,由题意,直线MF2的方程为y=-(x-c),OM的方程为y=x,联立两直线方

程,得M,因为点M在以线段F1F2为直径的圆外,所以+>c,

2

b>3a,则e=

22

>2.

5.(2018·衡水一模)已知抛物线C:y=2px(p>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为.

2

(1)若M,过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q,求

2

2

的值.

(2)若直线l2与抛物线C相交于A,B两点,与圆M:(x-a)+y=1相交于D,E两点,O为坐标原点,OA⊥OB,试问:是否存在实数a,使得|DE|的长为定值?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为点P(2,t),所以2+=,解得p=1, 故抛物线C的方程为y=2x,当x=2时,t=2,

2

所以l1的方程为y=x+,联立可得xQ=,

又因为|QF|=xQ+,|PF|=xP+,

所以==.

2

(2)设直线AB的方程为x=ty+m,代入抛物线方程可得y-2ty-2m=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2m,① 由OA⊥OB得:(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0, 整理得(t+1)y1y2+tm(y1+y2)+m=0,② 将①代入②解得m=2,所以直线l:x=ty+2,

2

2

因为圆心到直线l的距离d=,

所以|DE|=2,

显然当a=2时,|DE|=2,|DE|的长为定值.

6.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:点为M(1,m)(m>0).

+=1交于A,B两点.线段AB的中

(1)证明:k<-;

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且列,并求该数列的公差.

+

+

=0.证明:

,

,

成等差数

【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.

两式相减,并由=k得+·k=0.

由题设知=1,=m,于是k=-.①

由题设得0

(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.

又点P在C上,所以m=,从而P于是|

|=

,||=.

==2-.

同理||=2-.

所以|故2|

|+||=|

|=4-(x1+x2)=3. |+|

|,即|

|,|

|-|

|,|

|成等差数列. ||

设该数列的公差为d,则2|d|=||

=|x1-x2|=.②

将m=代入①得k=-1.

所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x-14x+=0.

2

故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.

所以该数列的公差为或-.

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