高考数学二轮复习三大题分层规范特训一基础得分天天练规范练5理

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高考数学二轮复习三大题分层规范特训一基础得分天天练

规范练5理

(时间：45分钟 满分：46分)

1．(12分)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0且2Sn＝a＋

an(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若an>0(n∈N*)，令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[规范解答及评分标准](1)∵a1>0,2Sn＝a＋an，∴当n＝1时，

2S1＝a＋a1，则a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，

即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∴an＝－an－1或an＝an－

1＋1，

∴an＝(－1)n－1或an＝n.(6分) (2)∵an>0，∴an＝n，bn＝＝.

??????? ∴Tn＝2???1－3?＋?2－4?＋…＋?n－n＋2??

????????

1

1

11

1

1

＝＝－.(12分)

2．(12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB

＝∠DBF＝60°.

(1)求证：AC⊥平面BDEF；

(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

[规范解答及评分标准](1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点．

∵FA＝FC，∴AC⊥FO.

(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以，，，四点共面．(2)因为，分别为AB，的中点．所以EF∥BC，又EF?平面BCH， 1 / 5

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又FO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDEF.(5分)

(2)

如图，设AC与BD相交于点O，连接FO，DF. ∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，

∴△DBF为等边三角形． ∵O为BD的中点，∴FO⊥BD.

又AC⊥FO，AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD.

则OA，OB，OF两两互相垂直．

以O为原点，分别以OA，OB，OF所在直线为x轴、y轴、z轴建

立空间直角坐标系O—xyz，如图所示．(7分)

设AB＝2.

∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，∴BD＝2，AC＝2.

∵△DBF为等边三角形，∴OF＝.

∴A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)， ∴＝(－，－1,0)，＝(－，0，)，＝(－，1,0)．

→??AF·n＝－3x＋3z＝0，

设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则?

→??AB·n＝－3x＋y＝0.

取x＝1，得平面ABF的一个法向量为n＝(1，，1)．

设直线AD与平面ABF所成角为θ，(10分)

则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝.

即直线AB与平面ABF所成角的正弦值为.(12分)

3．(12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项

运动，得到如下2×2列联表：

爱好 男 40女 总计 (1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以，，，四点共面．(2)因为，分别为AB，的中点．所以EF∥BC，又EF?平面BCH， 2 / 5

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