中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边．以AC 为直径的⊙O ，交BC 于D ，过O 作OE ∥BC ，交OD 于E ，连接AD 、AE 、CE ．

（1）求证：∠ACE=∠DCE ；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO 的度数；

（3）若AC=4，

23

CDF COE S S ??=，求CF 的长． 【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（343 【解析】

【分析】 （1）易证∠OEC =∠OCE ，∠OEC =∠ECD ，从而可知∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ； （2）延长AE 交BC 于点G ，易证∠AGC =∠B +∠BAG =60°，由于OE ∥BC ，所以∠AEO =∠AGC =60°，所以∠EAO =∠AEO =60°； （3）易证12COE

CAE S S =，由于23CDF COE S S =，所以CDF

CAE S S =13

，由圆周角定理可知∠AEC =∠FDC =90°，从而可证明△CDF ∽△CEA ，利用三角形相似的性质即可求出答案．

【详解】

（1）∵OC =OE ，∴∠OEC =∠OCE ．

∵OE ∥BC ，∴∠OEC =∠ECD ，∴∠OCE =∠ECD ，即∠ACE =∠DCE ；

（2）延长AE 交BC 于点G ．

∵∠AGC 是△ABG 的外角，∴∠AGC =∠B +∠BAG =60°．

∵OE ∥BC ，∴∠AEO =∠AGC =60°．

∵OA =OE ，∴∠EAO =∠AEO =60°．

（3）∵O 是AC 中点，∴12

COE

CAE S S =． 23CDF

COE S S =，∴CDF

CAE S S =13

． ∵AC 是直径，∴∠AEC =∠FDC =90°．

∵∠ACE =∠FCD ，∴△CDF ∽△CEA ，∴CF CA =33，∴CF =33CA =33．

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

【答案】（1）证明见解析（2）33）4π

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；

（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=1

2

BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可

得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF?AE，即42=CE?（16﹣CE），继而可求得CE长；

（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.

【详解】

（1）如图1，连接AD，OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD ∥AC ，

∵DE ⊥AC ，

∴DE ⊥OD ，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE 为⊙O 的切线；

（2）如图2，连接BF ，

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF ∥DE ，

∵CD=BD ，

∴DE=12BF ，CE=EF ， ∵∠A=30°，AB=16，

∴BF=8，

∴DE=4，

∵DE 为⊙O 的切线，

∴ED 2=EF?AE ， ∴42=CE?（16﹣CE ），

∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；

（3）如图3，连接OG ，连接AD ，

∵BG ∥DF ，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB ，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴BG 的长度=908180

π??=4π．

【点睛】

本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

3．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .

(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12

，求AB 和FC 的长．

【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403

CF =

【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；

（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

详解：⑴证明：连结OC

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ACB=90°

∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C 在⊙O 上

∴CF 是⊙O 的切线

⑵∵AE=4，tan ∠ACD

12

AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E

∴AD AC =

∵∠FCA ＝∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE ⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE ∽△CFE ∴

OC OE CF CE

= 即106=8CF ∴40CF 3

= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.

4．如图1，延长⊙O 的直径AB 至点C ，使得BC=

12

AB ，点P 是⊙O 上半部分的一个动点（点P 不与A 、B 重合），连结OP ，CP ．

（1）∠C 的最大度数为 ；

（2）当⊙O 的半径为3时，△OPC 的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连结DB ，当CP=DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．

【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）当PC 与⊙O 相切时，∠OCP 的度数最大，根据切线的性质即可求得； （2）由△OPC 的边OC 是定值，得到当OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，当

PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到

CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．

试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：

∵sin∠OCP=OP

OC = 2

4

=

1

2

，∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度数为30°，

故答案为：30°；

（2）有最大值，理由：

∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，

而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，

也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=

1

2

OC?OP=

1

2

×6×3=9；

（3）连结AP，BP，如图2，

在△OAP与△OBD中，

OA OD

AOP BOD

OP OB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，

∵PC=DB，∴AP=PC，

∵PA=PC，∴∠A=∠C，

∵BC=1

2

AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，

在△APB和△CPO中，

AP CP

A C

AB CO

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，

∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，

∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．

5．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣3 =0的两根（k为常数）．

（1）求证：PA?BD=PB?AE；

（2）求证：⊙O的直径长为常数k；

（3）求tan∠FPA的值．

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .

【解析】

试题分析：

（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA?BD=PB?AE；

（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；

（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．

试题解析：

（1）证明：如图，

∵PB切⊙O于点B，

∴∠PBD=∠A，

∵PF平分∠APB，

∴∠APE=∠BPD，

∴△PBD∽△PAE，

∴PB：PA=BD：AE，

∴PA?BD=PB?AE；

（2）证明：如图，

∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．

又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，

∴∠BED=∠BDE．

∴BE=BD．

∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），

∴AE+BD=k，

∴AE+BD=AE+BE=AB=k，

即⊙O直径为常数k．

（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．

∴∠PBA=90°．

∵∠A=60°．

∴PB=PA?sin60°=PA，

又∵PA?BD=PB?AE，

∴BD=AE，

∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．

∴AE?BD=2，

即AE2=2，

解得：AE=2，BD=，

∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，

在Rt△PBA中，PB=AB?tan60°=（2+）×=3+2．

在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，

∵∠FPA=∠BPF，

∴tan∠FPA=2﹣．

【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

6．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB＝∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当MB＝4，MC＝2时，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

【分析】

（1）根据题意∠M+∠P＝90°，而∠COB＝∠APB，所以有∠M+∠COB＝90°，即可证明PB 是⊙O的切线.

（2）设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.

【详解】

证明：（1）∵AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，

∴PA⊥OA

∴在Rt△MAP中，∠M+∠P＝90°，而∠COB＝∠APB，

∴∠M+∠COB＝90°，

∴∠OBM＝90°，即OB⊥BP，

∴PB是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，

2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =

OBM ?为直角三角形

∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=

解得：r ＝3，

∴⊙O 的半径为3．

【点睛】

本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.

7．在平面直角坐标系XOY 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，若P 、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x 轴平行（含重合），则称P 、Q 互为“向善点”．如图1为点P 、Q 互为“向善点”的示意图．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（m ，0）

（1）在点M （﹣1，0）、S （2，0）、T （3，33）中，与A 点互为“向善点”的是_____；

（2）若A 、B 互为“向善点”，求直线AB 的解析式；

（3）⊙B 的半径为3，若⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”，请直接写出m 的取值范围．

【答案】（1）S ，T ．（2）直线AB 的解析式为y 3或y 3x 33）当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S ，T 与A 点互为“向善点”； （2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m 的分式方程，解之经检验后可得出点B 的坐标，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；

（3）分⊙B 与直线3相切及⊙B 与直线33相切两种情况求出m 的值，再利用数形结合即可得出结论．

【详解】

（1）∵303303tan 60?--===3333tan 60?-==，

∴点S ，T 与A 点互为“向善点”．

故答案为S ，T ．

（2

）根据题意得：303|1|m -=-， 解得：m 1＝0

，m 2＝2，

经检验，m 1＝0，m 2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，

∴点B 的坐标为（0，0）或（2，0）．

设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），

将A （1，），B （0，0）或（2，0）代入y ＝kx +b ，得：

30k b b ?+=??=??或320k b k b ?+=??+=??

， 解得：30k b ?=??=??或323

k b ?=-??=??， ∴直线AB 的解析式为y ＝3x 或y ＝﹣3x +23．

（3）当⊙B 与直线y ＝3x 相切时，过点B 作BE ⊥直线y ＝3x 于点E ，如图2所示．

∵∠BOE ＝60°，

∴sin60°＝3BE OB =， ∴OB ＝2，

∴m ＝﹣2或m ＝2；

当⊙B 与直线y ＝﹣3x +23相切时，过点B 作BF ⊥直线y ＝﹣3x +23于点F ，如图3所示．

同理，可求出m ＝0或m ＝4．

综上所述：当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解

分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A 点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．

8．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．

（1）求证：CM 2=MN.MA ；

（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．

【答案】（1）见解析；（2）CM=22.

【解析】

【分析】

（1）由CM DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；

（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122

OA PO PC CO =

=+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．

【详解】

（1）O 中，M 点是半圆CD 的中点， ∴ CM DM =，

CAM DCM ∴∠=∠，

又CMA NMC ∠=∠，

AMC CMN ∽∴??，

∴ CM AM MN CM

=，即2·CM MN MA =； （2）连接OA 、DM ，

PA 是O 的切线，

90PAO ∴∠=?，

又30P ∠=?， ()1122

OA PO PC CO ∴==+， 设O 的半径为r ，

2PC =，

()122

r r ∴=+， 解得：2r =，

又CD 是直径，

90CMD ∴∠=?，

CM DM =，

CMD ∴?是等腰直角三角形，

∴在Rt CMD ?中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()2

22216CM r ==， 则28CM =， 22CM ∴=．

【点睛】

本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点

9．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=60°,☉O 是△ABC 的外接圆,BC 是☉O 的直径,过点B 作☉O 的切线BD ,与CA 的延长线交于点D ,与半径AO 的延长线交于点E ,过点A 作☉O 的切线AF ,与直径BC 的延长线交于点F.

(1)连接EF ,求证:EF 是☉O 的切线;

(2)在圆上是否存在一点P ,使点P 与点A ,B ,F 构成一个菱形?若存在,请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）过O 作OM ⊥EF 于M ,根据SAS 证明△OAF ≌△OBE ，从而得到OE=OF ,再证明EO 平分∠BEF ，从而得到结论;

（2）存在，先证明△OAC 为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF ，再证明AB=AF=FP=BP ，从而得到结论.

【详解】

(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,

∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,∴△OAF≌△OBE,

∴OE=OF,

∵∠EOF=∠AOB=120°,

∴∠OEM=∠OFM=30°,

∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,

又∠OBE=∠OME=90°,

∴OM=OB,

∴EF为☉O的切线.

(2)存在.

∵BC为☉O的直径,

∴∠BAC=90°,

∵∠ACB=60°,

∴∠ABC=30°,

又∵∠ACB=60°,OA=OC,

∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,∵AF为☉O的切线,

∴∠OAF=90°,

∴∠CAF=∠AFC=30°,

∴∠ABC=∠AFC,

∴AB=AF.

当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,∴∠OAF=∠OPF=90°,

又∵OA=OP,OF为公共边,

∴△OAF≌△OPF,

∴AF=PF,

∠BFE=∠AFC=30°.

又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,

∴BP=FP,

∴AB=AF=FP=BP,

∴四边形AFPB是菱形.

【点睛】

考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

10．已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连结CB．

[感知]如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE，可证△BCD≌△ECA，从而得出EC＝BC，∠ECB＝90°，进而得出∠ABC＝度；[探究]如图②，当点A、B在CD异侧时，[感知]得出的∠ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC的大小．

[应用]在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的长．【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为+1或﹣1．

【解析】

【分析】

[感知]证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；

[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；

[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．

【详解】

解：【感知】，如图①中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD＝∠DBA＝90°．

∴∠CDB+∠CAB＝180°，

∵∠CAB+∠CAE＝180°

∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠DCB＝90°，

即∠ECB＝90°，

∴∠ABC＝45°．

故答案为45

【探究】

不改变．理由如下：

如图，如图②中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD＝∠DBA＝90°，

∵∠AOC＝∠DOB，

∴∠D＝∠EAC，CD＝AC，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠DCB＝90°，

即∠ECB＝90°，

∴∠ABC＝45°．

【拓展】

如图①﹣1中，连接AD．

∴∠ACD+∠ABD＝180°，

∴A，C，D，B四点共圆，

∴∠DAB＝∠DCB＝30°，

∴AB ＝BD＝，

∴EB＝AE+AB＝+，

∵△ECB是等腰直角三角形，

如图②中，同法可得BC＝﹣1．

综上所述，BC的长为+1或﹣1．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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