经济数学题库（上）

练习一 函数

一、填空题

1．函数y?x2?4?1的定义域是 . x?1?sinx?2?x?0? 2．若y??2，则y()? .

2?x?10?x?2,g?a?cosx，则y(g)? . 3．若y?e二、单项选择题

1. 若函数y?f(x)的定义域是[0，1]，则f(lnx)的定义域是( ) . A. (0,??) B. [1,??) C. [1,e] D. [0,1]

). 2. 函数y?lnsin?x的值域是( A. [?1,1] B. [0,1] C. (??,0) D. (??,0]

x 3. 若函数f(e)?x?1，则f(x)= ( ) .

A. ex?1 B. x?1 C. lnx?1 D. ln(x?1) 4. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A. y?xln(1?x)ln(1?x)2g?与 B. 与g?2lnx y?lnx2xx(x?a)2 C. y?1?sin2x与g?cosx D. y?x(x?1)与y?x(x?1)

5. 下列函数中y?（ ）是偶函数.

A. f(x) B. f(x) C. f2(x) D. f(x)?f(?x) 三、解答题

0?x?1?x 1．设f(x)??，求：

lnx1?x?e? (1) f(x)的定义域； (2) f(0)，f(1)，f(2)。

- 1 -

2．某厂产品日产量为1500吨，每吨定价为150元，销售量不超过1000吨的部分按原价出售，超过1000吨的部分按9折出售，若将销售总收入看作销售量的函数，试写出函数表达式.

四、证明题

设f(x)?ln(x?x2?1)，试证

f(x)是奇函数.

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练习二 极限的概念

一、 填空题：

1、 设f (x) 是定义在(??,??)内的奇函数，且limf (x) =A ≠0, 则limf (x) = x?0?x?0

?2、 若limx?0

f (x) = A, 则xlim?0?f (x) = 二、写出下列数列的前5项:

1 、an=n2n ; 2 、a1nn = (1 + n); 1?(?1)n 3、an =2;

4、 a12nn = n2?n2???n2; 三、观察下列数列的变化趋势,写出它们的极限1、 a1 n =2\,limn??an= 2、 an1n= (―1)n,limn??an?

3、 an =n?1n?1,limn??an?

4、 an

n= (―1)n, limn??an?

1四：判断limexx??是否存在，若将极限过程改为x?0呢？

- 3 -

练习三 无穷小、无穷大、极限运算法则

一、 是非题:

1、当x?x0时，f (x)是一个无穷小，则f (x)在x0的某领域内有界.（ ） 2、一个无穷小除以一个非零的有界函数仍是无穷小.（ ） 3、一个无穷大除以一个非零的有界函数仍是无穷大.（ ）

4、若milx?xf(x)存在,而lim0x?xg(x)不存在,则lim0x?x[f(x)?g(x)]可能存在.( 0５、非常小的数是无穷小 ( ) 6、零是无穷小 （ ） 7、无穷小是一个函数 （ ） 二、 计算题： 1、 计算下列极限:

(1)limx2?2x?5x??1x2?1 (2)limx?0x?sinx

(3)x3?3xlimx2?2xx3?3x2?2x??2x2?x?6 (4) xlim??2x2?x?6

(5) limcosxx?? 4x 2cosxx (6)xlim???1?4x 2?sin2

- 4 -

)

(7)2n?3n?1limx??2n?1?3n (8)limx?1(1x?11?x3) ?x2?2x?3,x?1 2 . 设f(x)??;?x,1?x?2?求limx?1f(x),limx?2f(x),limx?3f(x). ?2x?2,x?2

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练习四 两个重要极限

一、 计算题：

1、 计算下列极限：

sinmxtg2x(n?0); （2） lim; （1） limx?0sinnx

（3） limx?0xcotx;

（5）lim(1n???1n)n?5;

x?0sin5x （4） limn??2nsinx2n(x为不等于零的常数）； （6）limxx?01?2x;

- 6 -

x2?1x2secxlim(1?cosx); lim();（7）2 （8）?x??x?1x?2

（9）1 n2???1n2?2????1nlimn(??n2?n?).

二、证明题：

设x1?2,xn?2?xn?1 , 证明数列xn的极限存在，并求其极限。 - 7 -

练习五 无穷小比较，等价无穷小

一、 填空题： 1、 2、

x2?ax?b?2, 则 a = , b= . 若lim2x?2x?x?2?x2?1???ax?b?若lim= 0 , 则a = , b= ??x???x?1?二、 利用等价无穷小的性质，求下列极限： (1) limtg2xx?0sin5x; (2) limsinxx?01?x2; (3) limln(1?x)1x?0sin2x; (4) lim?x?1x?0tg2x;

- 8 -

tgx?sinx1?cosx（5）lim; (6) lim; 3x?0x

(7) limlncosxx?0xsinx;

x?01?cosx(8) limsin(xn)x?0(sinx)m(m,n均为自然数）；- 9 -

练习七 函数的连续性，函数的间断点

一、 指出下列函数的间断点，并判别其类型.

x3?3x2?x?31、f (x)=;

x2?x?6

2、f (x) =xtgx;

3、f (x) = ??1?x,?2x,

?1,4 f (x) = ???x?sinx,

???x?00?x???x?0x?0.

;

- 10 -

练习十一 隐函数导数、对数求导法

1、 求dydx

（1） y3?3y?y; (2) y??siny?x(0???1).

2、 利用对数求

dydx (1) y?x?1?x1?x; (2) y?(x?1?x2)n. 3、

求由方程sin(xy)?ln(y?x)?x所确定的隐函数y?y(x)的导数

dydxx?0.

在 x= 0处

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练习十二 高阶导数

1、y =1?x2?x4,求y\,y'\； 2、f(x)?(x?10)6,求f '''(2)；

3、 y = x cos x,,求y'' ,y'''; 4、f(x)?e2x?1,求 f ''' (0);

45、y?x3lnx, 求f(4)(x); 6、??asin2?,求d?d?4;

7、x2?y2?r2,求y'''.

?xnsin1; x?08、问自然数n至少是多大，才能使f(x)???x?0; x?0

? 有f '' (0) ,并求其值.

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9、设y?(arcsinx)2,证明：(1?x2)y\'?3xy\?y'?0.

10、求方程x2?y2?aearctgyx所确定的隐数y的二阶导数d2ydx2.

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练习十三 函数的微分

一.填空:

（1）d()?dxx; (2) d()?exdx;

（3）d()?cosxdx; (4) d()?sinxdx;

（5）d()?dxdx1?x2; (6) d()?1?x2;

(7) d ( ) = adx; (8) d ( )=3x2dx; (9) d( )=xdx; (10) d()?e2xdx; (11) d()?dxx; (12) d()?e?xdx;

(13) d()?dx2x; (14) d()?sin2xdx.

二.求下列函数的微分dy

(1) y?2x2; (2)

y?(1?x?x2)8;

(3) y?cosx1?x2; (4) y?exsin2x;

(6) y?f(1?2x)?sinf(x),其中f (x) 可导.

- 29 -

三.求y=tg x当x由45°10’ 时增量的近似值.

四.求下列各数的近似值:

(1) lg11

五.当|х|很小时，证明： (1) 1?x?1?x2;

(2) 31.02

(2) tg x≈x. - 30 -

阶段自测题（二）导数与微分

一、 是非题：

（ ）1、若y=f (x)在点x?x0可微，则必在该点连续.

f(x)（ ）2、若f(x), g(x)都在点x?x0可导，则f(x)?g(x),f(x)g(x),都

g(x)在该点可导.

（ ）3、 若y=f(x) , 在点x?x0的切线平行坐标轴，则必有f?(x0)存在且等于0.

（ ）4、设y=f(x)在点x=x0可微，则其微分dy?f'(x0)?x??y

二、 填空题:

1、 设f?(x0)存在，则lim?t?0f(x0?t)?f(x0?t)= ;

t?x2,?2、 f(x)??23?x,?3x?1,则f?(1)? ; x?13、 设y?esin2x, 则dy= ;

dy? ; dx4、 设y?xxsinx(x?0),则

5、 y=f(x)为方程xsin y + yex?0确定的隐函数, 则f?(0)? . 三、 选择题:

1、 f(x)?ln(1?a?2x),(a?0)则f?(0)的值为( )

(A) –lna (B) lna (C)lna (D) 2、 设曲线y?e( )

- 31 -

1?x2121 2与直线x= -1相交于点P, 曲线过点P处的切线方程为

(A) 2x-y-2=0 (B) 2x+y+1=0 (C) 2x+y-3=0 (D) 2x-y+3=0

ax??e3、 设f(x)??2??b(1?x),x?0x?0 处处可导，则( )

(A) a=b=1 (B) a=-2, b=-1 (C) a=0, b=1 (D) a=2, b=1 4、 若f(x)在点x可微,则lim?y?dy的值为( ) ?x?0?x (A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定 5、设y=f(sin x), f(x)为可导函数，则dy的表达式为( ) (A)f?(sinx)dx (B)f?(cosx)dx (C)f?(sinx)cosx (D)f?(sinx)cosxdx 四、 计算题：

1、 设对一切实数x有f(1+x)=2f (x),且f?(0)?0,求f?(1)

1?2?xcos,x2、 若g(x)=???0,x?0x?0又f(x)在x=0处可导，求

df(g(x))dxx?0

3、 f(x)在x=a处连续,?(x)?sin(x?a)f(x),求?'(a)

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dy. 4、 设x?y?y?u?(x?x), 求du2232

5、 计算39.02的近似值.

五、 证明题：

1、 设f(x)是以?为周期的可导函数，证明

2、 设f(x)?x,证明 （1） f(x)在原点连续； （2） f(x)在原点不可导.

f?(x)也是以?为周期函数; - 33 -

练习十四 中值定理

1、

验证函数f(x)?x3?4x2?7x?10在区间[ - 1，2 ]上满足罗尔定理，

并找出相应的点ξ，使f’(ξ)=0. 2、

验证函数f (x)=ln x在区间[ l, e]上满足拉格朗日定理，并找出相应的

f(e)?f(1)?f'(?)

e?1点ξ,使

a?baa?b?ln?bb成3应用拉格朗日中值定理，证明当0

4证明不等式：当x>1时，e?e?x.

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xana1a2a??????0,应用罗尔定理，证明方程：5已知023n?1a0?a1x?a2xn???anxn?0在(0,1)内至少有一实根.

6不用求出函数f (x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f’(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间.

7证明方程x5?x?1?0只有一个正根.

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练习十五 罗必塔法则

一、 判断题：

e2x?x?12e2x?14e2x?lim?lim?1 （ ）1、lim2x?0x?0x?04x42x(（ ）2、limx?1x1?)?????0 x?1lnx52tg5xcos5x??5lim?lim（ ）3、x??

sin3xx??3cos3x3525tg5xcos5x?lim?? ?lim（ ）4、lim?sin3x?3cos3x?cos25x?cos3xx?x??x?222（ ）5、如果f(x)和g(x)可导，limg(x)?0且limx?ax?af(x)存在，那么必有g(x)f(x)f'(x)limlim=x?a. x?ag(x)g'(x)二、 填空题：

ln(1?x2)ex?1? ; ? ; (2)lim(1) limxxx?0secx?cosxx?0xe?e?1ax11(?)? ; (4) lim(1?)? ; (3)limx??x?1x2?1xx?112xlimx(5) x?0e? .

2x2sin三、 说明极限lim存在，但不能用罗必塔法则. x?0sinx

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1x四.用罗必塔法则求极限（先判别该题属于哪种不定型，再求极限）. (1) limln(1?x)x?0x; (2) limlnsinx;x??2 2(??2x)

(3) limx?sinxx?0x?tanx; (4) limtanx.x?? 2tan3x

四、 用罗必塔法则求极限（先判别该题属于哪种不定型，再求极限）(1) lim(1x?1x?1?1lnx); (2) lim(1x?0x)tanx;

(3) lim(1axx??x (4) lim(tan?xtan?x?); 2x?14)

. - 37 -

函数单调性判定法、极值及其求法、最值问题

练习十六

一、 求下列函数的单调区间:

(1) y?x?3x?9x?14; (2) y?x?e.

二、 求下列函数的极值点和极值:

3 (1) y?12x?15x?40x; (2) y?xe.

54332x2?x

1?三、 试问a为何值时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?处取得极值，

33是极大值还是极小值？并求出其极值.

- 38 -

四、 求下列函数在所给闭区间上的最大值和最小值:

22(1) y?(x?2)(x?1)3,[?2,2]; (2) y?100?x,[6,8].

2

五、 一球的半径为R作内接球的圆锥，试求其最大的体积

. - 39 -

练习十七 导数在经济分析中的应用

1. 某商品的总成本函数为C（Q）=100+3Q，又需求函数Q=-100P+1000（其中P为该商品单价），求能使利润最大的P的值。 （1） 生产数量为多少时，可使平均成本最小？

（2） 求出边际成本，并验证当平均成本达到最小时边际成本等于平均成

本。 2、

某产品的需求函数为P=10-3Q，平均成本C?Q，问当产品的需求

量为多少时可以使利润最大，并求最大利润.

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