转动惯量与刚体定轴转动定律

转动惯量与刚体定轴转动定律

先阐明几个概念：

刚体：简单的说，即形变可以忽略的物体。作为理想的物理模型，刚体的特征是有质量、大小和形状，而在处理时我们往往不考虑其形变（但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况）。

力矩：和力类似，并不好直接定义，可以简单的认为是力乘以力臂或者M?F?r（关于叉乘，请自行百度）。 转动惯量：度量转动时惯性的量。详见后文。

下面是准备工作：

定理：无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 证：

①考虑两个质点的系统：

如图，

由牛顿第三定律，

F1?F2?0，

且F1F2(r2?r1)

而，合力矩=F1?r2?F2?r1?F1?(r2?r1)?0 成立。

②假设，含k个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 ③对于含（k+1）个质点的无外力系统，

分为两组，一组含k个质点，另一组则为第（k+1）个质点。 含k个质点的一组，其内力的合力矩为0

而该组任一质点与第（k+1）个质点的相互作用合力矩也为0 故含（k+1）个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 因而，无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 推论：对系统施加M的外力矩，有M??Mi （Mi为系统内第i个质点所受力矩。） 证：

将施加外力的质点纳入系统，由上， 则有，?M??Mi?0 故，M??Mi

刚体定轴转动定律：M?I?

（M为合外力矩，?为角加速度，I为转动惯量（见下）。） ①考虑只有一个质点，

由牛顿第二定律：

F?ma?m(ar?a?)

（其中，ar则

r,a??r）

F?r?m(ar?a?)?ma??m(r??)?r?m[?(rr)?r(?r)]?mr?2 『1』

②考虑多个质点时， 对于系统中第i个质点，

Fi?ri?miri2?

（同一刚体角加速度相同）

有M??Mi??Fi?ri???miri2 ③对于连续物体， 则，??miri2??r2dm????r2?dV

DV(式中dm表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，积分遍及整个刚体。) 式M???miri2 与牛顿第二定律相似，我们称之为刚体定轴转动定律，并视?miri2为刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，称之为转动惯量，记作I（或J）。

下面是一些关于转动惯量的辅助定理： 平行轴定理：I?Ic?md2

（m为刚体质量，绕通过质心的转轴转动的转动惯量为Ic，I为绕与该通过质心的转轴距离为d的转轴转动的转动惯量。）

『2』 证：

以质心C为原点，则有?miri?0 （ri表示mi到z轴的垂直距离） 有Ic??miri2

若转轴位于z’处（方向向量为rs）

则rs?d

222I??mi(ri?rs)??miri?2rs?miri?rs?mi?Ic?md2

垂直轴定理1：Iz?Ix?Iy

（一平面刚体薄板，绕垂直该平面的轴转动的转动惯量Iz，等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两相互正交的轴转动的转动惯量之和。） 证：

注意“薄板”，Ix??miyi2,Iy??mixi2

22222而，Iz??mrii??mi(xi?yi)??miyi??mixi?Ix?Iy

垂直轴定理2：Ix?Iy?Iz?2?r2dm

D（绕交于同一点O且两两垂直的轴x，y，z的转动惯量分别为Ix,Iy,Iz，r为质元dm到O的距离。） 证：

Ix??(y2?z2)dm,Iy??(x2?z2)dm,Iz??(x2?y2)dmDDDIx?Iy?Iz?2?(x?y?z)dm?2?rdmDD2222

伸展定则：

（将物体的任意一点沿转轴方向平移任意大小，该物体绕该轴的转动惯量不变。） 证： 显然。

应用这些定理，可以简化处理一些问题：

例一：求质量为m，长为L的均质细棒绕其端轴转动的转动惯量。 解：

由已知量和量纲知I?kmL2 ∵均质 ∴质心C在棒的中点

又∵绕质心轴转动惯量可视为两段L/2长的细棒绕端轴的转动惯量，即Ic?2?km(L)2

22由平行轴定理，Ic?m(L)2?I

2解得k=1/3 故I?1mL2

3例二：求质量为m，长为a，宽为b的均质矩形薄板绕边轴、绕中轴、绕过中心的垂直轴转动的转动惯量。 解： 对边轴：

由伸展定则及例一，绕长轴的转动惯量Ia?1mb2 ，

3同理，绕短轴，Ib?1ma2

3对中轴：

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