上海交大学附中2013-2014学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）

1. 设复数z满足(1?i)z?2i,则z?______?1?i______。 2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。

3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180?的扇形，则这个圆锥的体积是 4. 如图,在正三棱柱ABC?A1所成角 1B1C1中,AA1?6,异面直线BC1与AA的大小为5.

23? 。 3A1 C1 B1 ?,该三棱柱的体积为 183 。 61(2x?)6的展开式中的常数项是 60 。

xA B C 第4题 6. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 512 种。

7. 将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法

共有 12 种。

8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的

染色方法共有_____24________种。 9. 从n个正整数1,2,,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为

1,则n? 8 。 1410. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为 13 。 25 A B 11. 设复数z?x?yi(x,y?R,y?0)，z?2z?R，z在复平面上所对应点在 直线y?x上，则z= 2 。

12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点， 则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 2C D 10 。 5第12题 13. 在直三棱柱A1B1C1?ABC中，底面ABC为直角三角形，?BAC??2，AB?AC?AA1?1. 已知

Ｇ与Ｅ分别为A1B1和CC1的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若

GD?EF，则线段DF的长度的最小值为 5 。 5【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则F(t1,0,0)0,1,)（0?t1?1），E(111，G(,0,1)，D(0,t2,0)（0?t2?1）。所以EF?(t1,?1,?)，22211GD?(?,t2,?1)。因为GD?EF，所以t1?2t2?1，由此推出 0?t2?。又DF?(t1,?t2,0)，

22215DF?t12?t22?5t22?4t2?1?5(t2?)2?，从而有 DF。 ?min55514. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 723 ． [解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P?A1B1C1的中心，PO?面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．

1因VP?ABC?S?ABC?PD

1113111 ?4?VO?A1B1C1

1?4??S?A1B1C1?OD，

3故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r．

记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则 122PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，1如答12图2．记正四面体

的棱长为a，过P1作PM?PA于M． 1 因?MPP1?

?6，有PM?PP1?cosMPP1?22r?3?6r，故小三角形的边长2P?1EP?2AP?M2?．6a r小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

S?PAB?S?P1EF?322(a?(a?26r)2)?32ar?63r． 4又r?1，a?46，所以

S?PAB?S?P1EF?243?63?183．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

15. 已知m,n为异面直线,m?平面?,n?平面?.平面α与β外的直线l满足l?m,l?n,则（D ）

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