群的阶与其元的阶之间的关系

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群的阶与其元的阶之间的关系

The Relations between the Order of a Group

and the Orders of Its Elements

2008届 数理系 专 业 数学与应用数学 学 号 学生姓名

指导教师

完成日期 2008年５月20日

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摘 要

近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．

本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．

在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．

关键词：群论 有限群 元的阶

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Abstract

The Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well. This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.

In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.

Key words：group theory finite groups the orders of elements

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目 录

１ 绪 论 ······················································································································· 1 1.1 群论的概括 ················································································································· 1 1.2 群论的来源 ················································································································· 1 1.3 群论的思想 ················································································································· 2 2 预备知识 ························································································································· 2 2.1 群和子群 ····················································································································· 2

2.1.1 群的定义 ········································································································· 2 2.1.2 群的阶的定义 ································································································· 3 2.1.3 元的阶的定义 ································································································· 4 2.1.4 子群、子群的陪集 ························································································· 5 2.1.5 同构的定义 ····································································································· 6 2.2 不变子群与商群 ········································································································· 6

2.2.1 不变子群与商群 ····························································································· 6 2.2.2 Cayley(凯莱)定理 ························································································· 7 2.2.3 内直和和外直积的定义 ················································································· 8 3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 ········································································· 8 3.1 有限群中关于元的阶 ································································································· 9

3.1.1 有限群中元的阶的有限性 ············································································· 9 3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 ························································· 9 3.2 无限群中关于元的阶 ······························································································· 10

3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 ······························ 10 3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限 ·························································· 10 3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 ··· 11 4 群的阶与其元的阶之间的关系 ··················································································· 11 4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 ························································································· 11

4.1.1 拉格朗日定理 ······························································································· 11 4.1.2 相关结论 ······································································································· 12 4.2 有限交换群的结构定理 ··························································································· 13

4.2.1 有限交换群的结构定理 ··············································································· 13

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4.2.2 相关例子 ······································································································· 14 参 考 文 献 ······················································································································· 15 致 谢 ····························································································· 错误！未定义书签。

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１ 绪 论

本论文旨在综述群论中关于群的阶与其元的阶之间的关系，并找出各种情况进行实例分析．

1.1 群论的概括

群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科，它不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位．群论的概念和结果远不限于对几何学、拓扑学等纯粹数学方面的应用，实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力工具．随着科学技术的发展，群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用，除了大家比较熟悉的对物理学、特别是理论物理学和结晶学的应用，它还渗透到计算机科学、通讯理论、系统科学、乃至数理经济等许多领域．因此，今天需要掌握和了解群论知识的人越来越多．

1.2 群论的来源

为什么正方形在我们看来是对称图形，圆是更为对称的图形，而数字“4”就根本不对称？为了回答这个问题，我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动．容易了解，正方形的这样的运动有八个，圆有无穷多个这样的运动，而数字“4”只有一个，即所谓恒等运动，它使图形的每个点留在原位不动．使某个图形自身重合的各种运动的集G，是对称性为大为小的一个特征：这样的集越大，图形就越对称．在集G上按下列规则定义合成，即对其元素的运算：如果x，y是G的两个运动，那么所谓它们的合成结果就是等价于先作运动x，后作运动y的连接实施的运动x?y．例如，如果x，y是正方形相对于有关对角线的反射运动，那么x?y就相当于绕中心转180°的旋转．显然，在G上的合成具有下列性质：

1)对G中的任意元素x,y,z,(x?y)?z?x?(y?z)；

2)在G中存在这样的e，使得x?e?e?x?x，对G中的任意的x都成立；

3)对G中的任意x，在G中存在这样的元素x，使x?x-1-1?x?x?e-1；

实际上，e可取恒等运动，而x?1可取x的逆运动，即图形的每一点从新位置还原到旧位置．

1

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1.3 群论的思想

在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前，需要几代数学家的辛勤劳动，总计花费了近一百个春秋．从拉格朗日(Lagrange)自发地采用置换群以解决用根式解代数方程问题起(1771)，中间经过罗菲(Ruffin，1799)与阿贝尔(Abel，1824)，直到伽罗瓦(Galois，1830)在他的著作中已经足够自觉地应用群的思想(就是他首先引进群这个术语的)，这就是在代数方程论内这个思想发展的过程．与此独立，由于其他原因，当19世纪中叶，在统一的古希腊几何舞台上出现了多种“几何”，尖锐地提出了研究它们之间的联系与“血缘”关系问题时在几何中出现了群．

现在群论是代数学发展最充分的分支之一，无论在数学本身还是数学以外——在拓扑学，函数论，结晶学，量子力学以及数学与自然科学其他领域中，都有许多应用．

2 预备知识

2.1 群和子群

2.1.1 群的定义

我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义．

设?是非空集合G的一个代数运算(我们常称作乘法)．称(G，?)为一个群，如果这个运算满足下列诸公理：

G1)对?a?G，b?G，有a?b?G；

G2)对?a，b，c?G，有(a?b)?c?a?(b?c)； G3)存在e?G，使对?a?G，有e?a?a?e?a；

G4)对?a?G，存在一元素b?G，使a?b?b?a?e；

如果群G还满足：

G5)对?a，b?G，有a?b?b?a；

则称(G，?)为交换群，或者Abel群．

另若一个群G的每一个元都是某一个元a的乘方，这时我们把G叫做循环群．我们也说，G是由元a生成的，并用符号G=表示，其中a叫做G的一个生成元．

例1．（全体整数集，数的普通加法）显然满足公理G1—G5，做成一个Abel群．并且不难验证，它还是一个由整数1生成的循环群．即该群可用符号<1>来表示．

例2．设G={(a，b)|a，b为实数，且a不为0}．规定

2

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(a，b)?(c，d)?(ac，ad?b)

则G显然满足G1—G4，做成一个群．

事实上，显然G非空．又在G中任取(a，b)，(c，d)．则a，b，c，d是实数且a，c均不为零．于是ac，ad+b也均为实数且ac也不为零．从而

(a，b)?(c，d)?(ac，ad?b)?G

再任取(e,f)?G,则有[(a,b)?(c,d)]?(e,f)?(ac,ad?b)?(e,f)?(ace,acf?ad?b)(a,b)?[(c,d)?(e,f)]?(a,b)?(ce,cf?d)?(ace,acf?ad?b)故[(a,b)?(c,d)]?(e,f)?(a,b)?[(c,d)?(e,f)],即G对?满足结合律.又(1,0)?G,且(1,0)?(a,b)?(a,b)?(a,b)?(1,0).即(1,0)是G的单位元.又对G中任意(a,b)?G,(a,b)?(即(1a1a,?baba)?(1a,?有(ba1a,?ba)?G,且)?(a,b)?(1,0).,?)是(a,b)在G中的逆元.作成一个群,但它不作成一个Abel群.因为:所以G满足G1—G4,(3,6)?(1,2)?(3,4)?(3,4)?(1,2)?(3,10) 例3．（有理数集上行列式为1的2阶方阵的全体，矩阵的乘法）显然满足G1—G4，但它不满足G5．因为：

?0??0.5但是?0.8???0.6所以?0??0.5?2??0.8??0???0.60.6??0.8???0.8???0.60.6??0??0.8??0.5?2??,0?0.6??0??0.8??0.5?2??0.3???0??0.4?1.6??1.2??2??0.8??0???0.60.6??1.2???0.8??0.4?1.6??0.3?

交换律不成立.所以它也只是一个普通的群．

2.1.2 群的阶的定义

如果群G只有有限个元素，我们称它为有限群．其元素的个数称为群G的阶，记为|G|，否则称它为无限群，记|G|=?．

从前面我们举的例子（例1至例3）都是无限群．下面我们举两个有代表性的有限群的例子．

3

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例4．模n的剩余类加群Zn．

G包含模n的n个剩余类．我们要规定一个G的叫做加法的代数运算．我们用[a]来表示a这个整数所在的剩余类．我们规定：

[a]+[b]=[a+b] (1)

我们先看一看，这样规定的+是不是一种代数运算．我们知道，

假如a’?[a]，b’? [b]．那么[a’]=[a]，[b’]=[b] 照我们的规定，

[a’]+[b’]=[a’+b’] (2)

(1)，(2)两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：[a+b] ?[a’+b’] 那么我们规定的+就不是代数运算了．我们说这种情况不会发生．因为 [a’]=[a]，[b’]=[b] 就是说a’?a(n)，b’?b(n)．

也就是说n|(a’-a)，n|(b’-b)．因此，能n|[(a’-a)+(b’-b)]，即n|[(a’+b’)-(a+b)]．

所以[a’+b’]=[a+b]，这样规定的+是G的一个代数运算．而且 [a]+([b]+[c])=[a]+[b+c]=[a+(b+c)]=[a+b+c]． ([a]+[b])+[c]=[a+b]+[c]=[(a+b)+c]=[a+b+c]． 这既是说 [a]+([b]+[c])= ([a]+[b])+[c]．

并且 [0]+[a]=[0+a]=[a]．

[-a]+[a]=[-a+a]=[0]．

所以对于这个加法来说，G做成一个群，这个群叫做模n的剩余类加群．记为

Zn．仔细研究这个群，它还是一个循环群，即Zn=<[1]>．

例5．三次对称群S3

一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．一个包含n个元素的集合的全体置换做成的群叫做n次对称群．这个群我们用S3来表示．

容易知道n次对称群Sn的阶为n!，即|Sn|=n!，当n=3时，就是三次对称群S3，下面我们将S3的元素一一列出．

S3={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}

依照群的定义，容易验证S3满足G1—G4，做成一个群．但它不是一个Abel群．因为

(12)?(13)?(13)?(12),事实上，(12)?(13)?(123),(13)?(12)?(132).

并且可以说S3是一个最小的有限非交换群(略去证明　)．有兴趣的可见参考文献[3]．

2.1.3 元的阶的定义

我们下面来看群G的一个元素a，能够使得am?e的最小整数m叫做元a的阶，记为|a|=m．如果这样的m不存在，我们说a是无限阶的，记为|a|??．

4

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下面举两个关于阶的例子，希望读者对它有一个较好的理解： 例6．设G刚好包含x3?1的三个根：1，???1?2?3，???1?2?3．

G对于普通乘法来说显然满足G1—G4，做成一个群．在这个群里面，1的阶为1，?的阶为3，

的阶也为3．

例7．（非零有理数集，数的普通乘法）显然满足G1—G5，做成一个Abel群． 在这个群里面除了1，-1外，其它元素皆为无限阶的．

另外，有关元的阶，我们还有以下几个比较好的结论．

结论1．在群G中，若元a的阶为m，且an?e(e为单位元)，则m|n． 证 我们采用反证法．设m不整除n，由代数的基本知识可知，

?q，r使n?mq?r(其中0?r?m)．又因为e?an?amq?ar?(am)q?ar?ar．

这与元a的阶为m矛盾，所以m整除n，即m|n．

结论2．设G为群，a?G，且|a|=n，则对任意的整数k，有|ak|?n(k，n)．

证 设（k，n）=d，不妨设k=dk1，n=dn1，且(k1，n1)?1．又因为an?e， 所

knnkknkm（a）?a?a?e．（a）?e，以有设所以akm?e，由结论1可知，n|km，即dn1|dk1m，

111所以n1|k1m．又因为(k1，n1)?1．所以n1|m．所以|ak|?n1?nd?n(k，n)．

．

b|mn?结论3．在群G中，元素a的阶为n，b的阶为m．若ab=ba，且(m，n)=1．则a证 首先由于|a|=n，|b|=m，故an?bm?e．又由于ab=ba，故

(ab)?mn(an)m b(?)．emnnk其次，设有正整数 k，使(ab)k?e．则因ab=ba，故(ab)(?a)bnknknkb?.e?而|b|=m，

所以m|kn．又因为(m，n)=1，故m|k．同理可证n|k．由(m，n)=1得mn|k．所以|ab|?mn．

结论4．在交换群G中，对任意的两个元素a，b都有|ab|?|a|?|b|．

证 设|a|=m，|b|=n．则am?bn?e．由于G是Abel群，故

(ab)?mnamnb?(mna)m． (b?)nnme从而|ab|?mn.即|ab|?|a|?|b|．

2.1.4 子群、子群的陪集

假设H是群G的一个非空子集．如果对G中的代数运算H本身做成一个群．则称H为群G的一个子群．

我们称G的子集aH＝{ah|h?H}与Ha＝{ha|h?H}分别为子群H的左陪集、右陪集．

5

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阶为4的只有A1,A32?2?阶为5的只有A2,A4,A6,A8,??,5?5?5?5?

可见，在这样一个无限群里，每个元的阶均有限．

3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 这样的例子我们以前也有举过，像例7的非零有理数乘群．在这个群中，除单位元1的阶为1外，-1的阶为2，而其余每个元都是无限阶的．

4 群的阶与其元的阶之间的关系

在由于在无限群中，|G|=?．此时，群的阶与其元的阶之间的关系没什么意义．故本节主要探讨在有限群中，群的阶与其元的阶之间的关系．

4.1 拉格朗日(Lagrange)定理

在有限群中，关于群的阶与其元的阶之间的关系，有著名的拉格朗日定理．

4.1.1 拉格朗日定理

引理1．一个子群H与H的右陪集Ha之间都存在一个一一映射． 证 ?: h?ha．

是H与Ha间的一一映射．因为：

1) H的每一个元h有一个唯一的象ha； 2) Ha的每一个元ha是H的元h的象； 3）假如h1a?h2a，那么h1?h2，证毕．

引理2．假定H是一个有限群G的一个子群．那么H的阶n和它在G里的指 数j都能整除G的阶N，并且N=nj．

证 G的阶N既是有限，H的阶n和指数j也都是有限正整数．G的N个 元被分成j个右陪集，而且由引理1可知，每一个右陪集都有 n个元．所以N=nj．

因为N的指数就是N的陪集的个数，我们显然有商群GN的元的个数等于N的指数．当G是有限群的时候，由引理2可知

G的阶N的阶?GN的阶?[G:N]．

定理5(Lagrange定理)．一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶． 证 a生成一个阶是n的子群，由引理2知，n整除|G|．证毕．

例11．我们还是看例5中的S３和其子群H={(1),(12)}．S３的阶为6，H的阶为2，H的指数是3，2和3果然整除6，并且6=2×3．

11

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S３ 的

6个元是(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)．它们的阶是1或2或3．而

整数1、2、3都整除整数6．这当然验证了著名的Lagrange定理．

4.1.2 相关结论

运用拉格朗日定理，我们可得以下几个较好的结论． 结论7．阶为素数的群为循环群．

证 不妨假设|G|=P(P为素数)．任取元素a(a?e)，则由Lagrange定理可知，

a|P.又因为a?1，所以a?P.所以G??a?,为循环群，证毕．

结论8．阶为Pm的群（P为素数）一定包含一个阶为P的子群.． 证 任取一元素a(a?e)，假设|a|=n，则由Lagrange定理可知，

n|P，又由于P为素数，所以n?P(1?j?m)m．

若j=1，则n=P．就是群的一个P阶子群． 若j>1，则

je?a故|aP(j-1)Pj?(aP(j-1))?e．

p|?P,所以?aP(j-1)?就是G的一个P阶子群.证毕．

结论9．阶为6的交换群必为循环群．

证 不妨假设|G|=6，任取G中元素a(a?e)，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|6．所以m可取2或3或6．

①若m=6，则G=是循环群．

②若m=2，则为G的一个2阶循环子群．但由于G为交换群，故G?a?作成一个商群，由于|G?a?|?3，由结论7可知群G?a?为一个循环群．

故可设G?a???b?，其中|b|?3.由于|b|?1，|b|也不为2（否则，有(b)?e,从而23|2.矛盾).则由Lagrange定理可知，|b|=3或者6．

若|b|=6，则G=为循环群．

若|b|=3，则由于|a|=2，而(2，3)=1，故由结论3可知，|ab|=6，从而G=为循环群．

③若m=3，由于2和3的地位一样，所以②的讨论包含了③的讨论． 总之，G为循环群．

容易验证该结论条件中的交换群是必要的．因为例5中的三次对称群的阶为6，但其不是交换群，并且它不是循环群，因为其中没有阶为6的元素．

有了这个结论，我们很容易得下面的推论．

推论：pq阶交换群必为循环群，其中p, q为互异素数．

证 因为|G|=pq，任取G中元素a(a?e)，设|a|=m，则由Lagrange定理可知，m|pq．所以m可取p或q或pq．

①若m=pq，则G=是循环群．

②若m=p，则为G的一个p阶循环子群．但由于G为交换群，故G?a?作成一个商群，由于|G?a?|?q，由结论7可知群G?a?为一个循环群．

故可设G?a???b?，其中|b|?q.由于|b|?1，|b|也不为p（否则，有(b)?e,从而p

．则由Lagrange定理可知，|b|=pq或者q． q|p.矛盾）若|b|=pq，则G=为循环群．

12

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若|b|=q，则由于|a|=p，而(p，q)=1，故由结论3可知，|ab|=pq，从而G=为循环群．

③若m=q，由于p和q的地位一样，所以②的讨论包含了③的讨论．有兴趣的读者可再推导一次，增强自己的推理能力．

总之，G为循环群．

结论10．在循环群中，除去单位元外，其余元素的阶都相同且有限当且仅当该循环群的阶为素数．

证 ?设|G|?P(P 为素数,为G循环群，不)妨设G??a则?,|a?|．P则由结论2可知， |a|??iP(P,i)?P (i?1,2,?P-1).故得证.

i)设G为循环群，且G的阶为合数，即|G|?M?N(M,N均为大于1的正M数）.又不妨设G??a?,则|a|?M?N,由结论2可知，|a |?N.这就与题设矛盾.ii)设G为循环群，且G的阶为?，则由结论5知,G同构于整数加群.而在整数加群中,除去单位元1的阶为1外,其余元素的阶均为无限.由同构可知,G也由此性质,故与题设矛盾.

4.2 有限交换群的结构定理

本节我们将看到非常漂亮完整的有限交换群的结构定理．由此，我们将具体地理解到什么是群的结构理论．在本节中G表示交换群，群的运算记作加法“+”，简称加群．

4.2.1 有限交换群的结构定理

前面我们有了内直和与外直积的定义，下面来简要介绍有限交换群的结构定理．由于篇幅问题，我们不作证明，供读者欣赏，有兴趣的读者可见参考文献[4]．

定理6．（有限交换群的结构定理）：有限交换群G可唯一分解为素数幂循环群的直和，若|G|?p1mp2m?ptm，pi是不同素数，则

12t 1)G?G11???G1s1???Gt1???Gtst，其中Gij是阶为piij的循环群；2)自然数集　(p111，?p1mm1s1m，?，ptt1，?ptmmtst)由群G唯一确定.

这是一个很值得玩味的结构定理．读者可以把它和算术基本定理相比．那里表示

任意整数的基本构件是“素数”，构造方法是“乘积”，而这里则是：表示有限加群的基本构件是“素数幂阶的循环群”，构造方法是“直和”．在整数论中，自然数n的分解是

mmmn?p1p2?pt，

则在交换群论中，有限加群G的阶n的分解将是

12t．

如果把n的因数和G的子群相类比，我们可以容易地证明下面的推论．有兴趣的读者可以证明一下．

推论：G是有限加群，|G|=n，而m|n，则G中必有阶为m的子群．

n?p1?p11m11m1s?ptmt1?ptmtst13

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4.2.2 相关例子

m我们称每个pi为群G的初等因子，而其全体{p1m，?p1，?，pt，?pt的初等因子组．

例12．在同构的意义下, 给出所有8阶交换群．

3解 用Cn表示n阶循环群.由于8?2,故 8阶交换群3个，即

32{2},{2,2},{2,2,2}

从而相应地，在同构意义下8阶交换群共有3个，即

C8,C2?C4,C2?C2?C2

另外，对于8阶群，我们这儿举一个非交换群的例子． 设Ａ是由以下8个矩阵所组成的集合．

111t1mijm1smtst}为群

?1???0?i???00??,1?0??,?i??0???1?0???i?1??,0?i?2?.(其中i??1)0?

规定Ａ里面的乘法为普通乘法，则Ａ对于该乘法显然满足G1—G4，做成一个群．但它是一个非交换群．因为

?0??ii??0???0??1?1??i???0??00??i????i??00??0????i??1?1??0???0???i?i??． 0?例13．在同构的意义下，利用不变因子给出所有72阶交换群．

32解因为72=2?3，故72阶交换群的初等因子共有6种，即

{2,2,2,3,3},{2,2,2,3},2{2,2,3,3},{2,2,3},222{2,3,3},{2,3}.323

于是相应的不变因子组也有6种，即

{2,6,6},{2,2,18},{6,12},{2,36},{3,24},{72},

从而相应地，得互不同构的所有72阶交换群共有6个，即

C2?C6?C6,C2?C2?C18,C6?C12,C2?C36,C3?C24,C72.．

小结：本论文先介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中元的阶的概念、群的阶与其元的阶之间的关系，并举了一些典型实例来说明它们之间的关系．最后，介绍了著名的有限交换群的结构定理，以及它的典型实例．

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石家庄铁道学院毕业论文

参 考 文 献

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