备战2014年数学中考————初中数学竞赛专项训练(6)及答案

初中数学竞赛专项训练（6）

（函 数）

一、选择题：

1、如果一条直线L经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a-b，b-a），那么直线L经过 （ ） A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 2、当|x| 4时，函数y |x 1| |x 2| |x 3|的最大值与最小值之差是（ ） A. 4

2

2

B. 6 C. 16 D. 20

（ ）

3、对ab 0，a b，二次函数y (x a)(x b)的最小值为 A. (

a b2

) 2

B. (

a b2

) 2

C. (

a b2

) 2

D. (

a b2

) 2

2

4、若直线y ax b(ab 0)不经过第三象限，那么抛物线y ax bx的顶点在

A. 第一象限

2

（ ） B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

（ ）

5、二次函数y ax bx c的图象一部分如图6-1，则a的取值范围是 A. 1 a 0 C. -1＜a＜0

B. a＞-1 D. a≤-1

图6-1

122

6、若函数y (x 100x 196 |x 100x 196|)，

2

则当自变量x取1，2，3，……，100这100个自然数时，函数值的和是 （ ） A. 540 B. 390 C. 194 D. 197

7、已知函数f(x) |8 2x x|和y kx k（k为常数），则不论k为何常数，这两个函数图象只有（ ）个交点 A. 1

2

B. 2 C. 3 D. 4

2

2

8、二次函数y x 6x 7，当x取值为t x t 2时，y最大值 (t 3) 2，则t的取值范围是

A. t=0

2

B. 0≤t≤3

2

2

C. t≥3

2

D. 以上都不对

（ ）

9、两抛物线y x 2ax b和y x 2cx b与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是

A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形

（ ） D. 等腰或直角三角形

2

2

10、当n=1，2，3，……，2003，2004时，二次函数y (n n)x (2n 1)x 1的图象与x轴所截得的线段长度之和为 A.

（ ）

2002

2003

B.

2003

2004

C.

2004

2005

D.

2005

2006

二、填空

1、已知二次函数y ax bx c图象如图6-2所示，则下列式子： ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有＿＿个。 2、已知函数y

2

图6-2

1213

x 在0 a x b时，有2a y 2b，则（a，b

22

2

3、若第一象限内的整点（a，b）位于抛物线y 19x 98x上， 则m+n的最小值为＿＿＿＿＿ 4、如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线y

m 122m 3

在平面直角坐标系上都过x x

mmm

两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿

5、已知抛物线y x (k 1)x 1与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为＿＿＿＿＿＿＿ 6、已知f(x) x (m 1)x (2m 1)(m 号为＿＿＿＿＿＿＿

2

3x 6x 5的最小值是＿＿＿＿＿＿

7、设x为实数，则函数y

12

x x 12

2

2

1m 1)在x轴上的两截距都大于2，则函数值f()的符24m 2

8、已知函数f(x)

1

，则f(1) f(3) ...f(2k 1) ... f(999)

x 2x 1

2x 1

2

x 2x 1

2

的值为＿＿＿＿＿＿＿＿

9、函数y (cos )x 4(sin )x 6对任意实数x都有y 0，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2

三、解答题

1、已知x，y，z为三个非负有理数，且满足3x 2y z 5，x y z 2，若s 2x y z，求s的最大值与最小值的和。

2、设a、b、c是三角形的三边长，二次函数y (a b)x 2cx (a b)在x 2

1a时，取得最小值 ，求这个三角形三个内角的度数。

3、二次函数y ax2

bx c(a 0)的图象如图6-3所示： ①判断a、b、c及b2 4ac的符号 ②若|OA| |OB|，求证ac

b 1 0

22

图6-3

4、设二次函数y x px q 的图象经过点（2，-1）， 且与x轴交于不同的两点 A（x1，0） B

（x2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式。

5、已知二次函数y 4x (3k 8)x 6(k 1)的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），且点A、B到原点距离之比为3∶2。 ①求k值。

②若点P在y轴上，∠PAB＝α，∠PBA＝β。求证：α＜β

2

2

2

参考答案

一、选择题

1、A。设L的方程为y kx t，则有：

b ka t　　　　　　　①

a kb t　　　　　　　② ①－②得(b a) k(a b) b a k(a b) t　　　③

a b　　 k 1，代入③得t 0 L方程为y x，经过二、四象限

( 4 x 1) 6 3x　　

4 x　　(1 x 2)

2、C。因为 4 x 4，所以y

x　　(2 x 3) (3 x 4) 3x 6　　

所以当x 4时，y取最大值18，当x 2时，y取最小值2。 3、D。

y x2 (a b)x ab (x

a b2a b2

) ab ()22

a b2a b2

(x ) ()

22a ba b2

当x 时，ymin ()

22

4、A。∵直线y ax b(ab 0)不经过第三象限，∴a 0，b 0。 ∴抛物线

4ac b2在第一象限。 y ax2 bx的顶点( b)

2a

4a

5、C。显然a 0，因为二次函数图象过点（1，0）和（0，1），且当x 1时，y 0，所以可设

y a(x 1)(x k)(k 0)，将（0，1）坐标代入，得ak 1，所以y ax2 (a 1)x 1，将

x 1代入，可知a (1 a) 1 0，解得a 1，故-1＜a＜0。

6、B。 x 100x 196 (x 2)(x 98)

2

|x 100x 196| (x 100x 196)，当自变量x取2，2，…，98时函数 当2 x 98时，

值为0，而当x取1，99，100时， |x 100x 196| x 100x 196，所以，所求和为（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-2）（100-98）＝97+97+196＝390。

7、B。由于y k(x 1)图点恒过点（-1，0），所以不论k为何常数，这两个函数图象有两个交点。

2

2

22

22

8、C。y x 6x 7 (x 3) 2，当t 3 t 2时，即1 t 3时，y最大值 f(3) 2，与

y最大值 (t 3)2 2矛盾。当3 t 2时，即t 1时，

y最大值 f(t 2) (t 1)2 2，与y最大值 (t 3)2 2矛盾。当3 t，即t 3时， y最大值 f(t) (t 3)2 2与题设相等，故t的取值范围t≥3。

9、B。设两抛物线交于x轴（x0，0）（x0≠0），则有：

22

x0 2ax0 b 0　　①2

，①＋②得2x0 2(a c)x0 0，∵x0 0， ∴x0 (a c)。

22 x0 2cx0 b 0　　②

①－②得2(a c)x0 2b 0，

2

b2b2∴x0 ∴ (a c)，b2 a2 c2，即a2 b2 c2，所以为直角三角形。

c ac a

10、C。解方程(n n)x (2n 1)x 1 0，得x1

∴dn |x1 x2|

2

2

11

，x2 ， n 1n

11

nn 1

1111112004

∴d1 d2 ... d2004 (1 ) ( ) ... ( ) 1

2232004200520052005

二、填空题

1、2个。显然a 0，c 0，b 0，a b c 0，

b

1， 2a

所以ab 0，ac 0，a b c 0，2a b 0，2a b 0

1213

2a b a 1 22

2、（1，3）。若b 0，则有 ，解得 ，若b 0与题设矛盾。

b 3113 2b a2

22

3、102。由m (19n 98)n知，存在整数k，使k 19n 98，取n 6，7， 可知当n取最小值6时，k

取最小正整数16，故m n nk n 6 17 102。 4、4。取m

取m

12

，得抛物线y x 4x 5　①； 2

12

，得抛物线y 3x 8x 11　②， 4

2

，x2 3，相应地，得y1 0，y2 8，即两个定点的坐标联立①②，得x 2x 3 0，求出x1 1

分别为M( 1，从而两定点M1N之间的距离为MN ，0）N（3，8）5、－5。由题意A、B在原点的右侧，且|x1 x2|

∴6、f(

(3 1)2 (8 0)2 4。

(x1 x2)2 4x1x2 (k 1)2 4

3k 12

(k 1)2 4 |1 ()|，解得k 5。 22

m 1

) 0。设x2 (m 1)x (2m 1) 0，两根为x1，x2，则x1＞2，x2＞2，

4m 2

∵x1 x2 m 1，x1 x2 2m 1， ∴

x x211m 111

1 ( ) 2

4m 22x1x22x1x22

∴f(

m 1

) 0

4m 2

3x2 6x 52

7、4。设y ，去分母，整理得(y 6)x (2y 12)x 2y 10 0，当y 6 0时，由

12

x x 12

22

得 (2y 12) 4(y 6)(2y 10) 0，即y 10y 24 0，解得4 y 6(y 6)，x为实数，

而x 1时，y 4，故分式的最小值为4。

x 1 x 11 (x 1 x 1) 8、5。∵f(x)

(x 1) (x 1)2

1

f(1) f(3) ... f(999) [(2 0) (4 2) ... ( 998)]

2

1

10 52 cos 0

9、0 60 。由题意得 2

16sin 24cos 0

cos 01即 解得，又因为0 180 cos 2

22(1 cos ) 3cos 0

所以0 60

3x 2y z 5 x s 2

三、1、∵ x y z 2 ∴ 15 4s

y 2x y z s3

3 s z 3

s 2 0

又x、y、z是非负数，∴ 解得2 s 3，故s的最大值为3，最小值为2，最大值与 15 4s

0

3 3 s

0 3

最小值和为5。

1 c

　　　　　　　　① a b2

2、由题意得 由①得a b 2c，代入②得a 2b c 0，所以2

(a b)(a b) ca 　② a b2

a b c，故三个内角度数均为60°。

3、①a 0，b 0，c 0，b 4ac 0

②因为|OA| |OB|，且|OB| |c| c，所以ax bx c 0有一根x c，从而ac bc c 0，又因为c 0，所以ac b 1 0。 4、∵ 1 2 2p q ∴2p q 5

∵x1，x2为x px q 0两根，∴x1 x2 p ∴|AB| |x1 x2|

2

2

2

22

x1x2 q，

(x1 x2) 4x1x2

2

p4q p2

p 4q，又M( )

24

2

∴S AMB

2

14q p214q p212

|AB| || |x1 x2| || (p 4q)2，要使S AMB为最小，只需24248

p2 4q p2 8p 20 (p 4)2 4

2

3

使p 4q最小。∵

2

∵当p 4时，p 4q取最小值4，此时q 3，故所求的二次函数为y x 4x 3。

2k 8

3t 2t 45、设A（－3t，0），B（2t，0），则有 解得k 2或k 8，经检验k 2符合 2

3t 2t 6(k 1)(t 0) 4

题意。http://www.77cn.com.cn

②∵tan PAB

POPO

，tan PBA ，AO＞BO AOBO

∴tan PAB tan PBA

∴ PAB PBA，即α＜β。

数学竞赛专项训练参考答案（1）－9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m6li.html