石墨烯电子的能带和狄拉克方程 - 图文

石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日）

（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）

作者： 北京东之星应用物理研究所

伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）

1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢 ky?

b1 Y K

? ?a1kx

' K

0X ?? a2b2

图1?晶格原胞与基 矢 图2?布里渊区与倒格子基

图1中

?a3?1?a1?(3,3,0)?3a(i?j)222 ???a31a2?(3,?3,0)?3a(i?j)222?（1） 这里a=1.42A是C-C最近邻原子间距，即正六边形单胞的边长（晶格常数）。

由正格子基矢（1）可计算出倒格子基矢（2）： ?2?4?1?3?b1?(1,3,0)?(i?j)3a3a22 （2） ?2?4?1?3?b2?(1,?3,0)?(i?j)3a3a22

由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K，K的坐标是：

'

?2?12??23??K?(1,,0)?i?j 3a3a9a3?'2?12??23??K?(1,?,0)?i?j 3a3a9a3

（3） 下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac点或K(K)点

2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量

'H??2pz?(ai?ai?bi?bi)?t?(aibj?h.c)

i?i,j??（4） 上式还可表为矩阵形式：

0?ai???????(aibi)???2pz(ab)???t??i?i,j?b??i??t??aj???2pz?ij???????(aibi)?????2pz?ij??bj??i,j???t??i?i?t??aj??????0??bj??

模型不考虑电子自旋，表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，?2pz是单电子2pz轨道能量

?a1?Ri?Rj1A???Rj1?a1-RiB?Rj3???Rj2?a2?Ri????Rj3?rAB?rB?rA?a2?Rj2????图3.参考原子Ri的三个最近邻Rji,Rj2和Rj3?石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A，B构成，任意选定一个格点位矢是Ri的A

???原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B类原子Rj1,Rj2和Rj3，如图3.

???ai（bj）是位于Ri（Rj）的电子的产生（消灭）算符，

????（4）中的对算符aibj表示的物理过程描述被bj在Rj处消灭一个电子后又在Ri由ai产生一

??个电子，此过程等同于电子由Rj跃迁到最近邻Ri，跃迁能t=2.8eV。

考虑电子算符的傅里叶变换:

??1ik?Ri?k ai?ea??Nk??1ik?Rj?bj?ebk ??Nk（5） 这里N是晶格原胞数。跃迁发生在A，B两个不等价子晶格之间，A，B两原子相对位矢(图3)：

??????rAB?rB?rA?a1?a2-Ri ????Ri?Rj1?Rj2（6)

将（5），（6）代入（4），将哈密顿量傅里叶展开，先考虑跃迁项

-t?(ai?bj?h.c)

?i,j???t?(aibi?ai?bj1?ai?bj2?h.c)

?i,j?????????????????111?i(k?k')?Ri???ik?Ri?ik'?Ri?ik'?a1??ik?Ri?ik'?Ri?ik'?a2??kbk'??e?ke?ke??t?(?eaabk'??eabk'?hc)Nk,k'Nk,k'Nk,k'i利用公式：

???1?i(k?k')?Rie??k,k?'?Ni

???ik?a1哈密顿跃迁项化为：

-t?(1?ek?e???ik?a2??h.c ?k?b)ak(7)

类似计算哈密顿的原子位能项，可得

?2pz?(ai?ai?bi?bi)i???b??k?k?b??2pz?(aakk)k

(8)

由(7）（8）代入(4),得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是

?b?)-t?[(1?e?a?k?bH??2pz?(akk?k?kk???ik?a1?e???ik?a2??h.c] ?k?b)ak2(9)

3求解薛定谔方程和能量本征值

石墨烯是单层2维晶体，碳原子的2s，2px2p，y而2pz电子形成垂直于?共价平面之上的离域大?轨道通过sp 轨道杂化形成共面?键，

，

键。象?铺垫的刚性平面之上自由流动的

电子气， ?电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应，决定了石墨烯的电子结构和性质。

根据电子薛定谔定态方程

石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A，B，其2Pz电子态基矢分别选取为：

H(k)?(k)?E(k)?(k)，

(10)

?k?0?1(k)?a??0?2(k)?bk

0 是粒子真空态。 这里

（9）表达的紧束缚哈密顿H(k)可以写为矩阵形式：

??? ???0aHa00aHb?kkkk?H11H12? ????H ?????H0bHb?0bHa0?22?21? kk?kk

设系统的电子态矢量（波函数）为：

0??0??(11)

1122 代入薛定谔定态方程（10）有

(H?E)(C1?1?C2?2)?0(12)

由矩阵表达式（11）及方程 (12）有非平凡解的条件得到久期方程如下：

H11?E H12(13) ?0 H21H22?E

下面先计算哈密顿矩阵（11）的矩阵元，将（9）代入（11），

????0???[0a??'b?'b?0)]?kHb????H12?0aaab0?0ab''k2pzkkkkkkkk?(k)?C?(k)?C?(k)-t?(1?ek’???ik'?a1??ik'?a1?e?e???ik'?a2k'?????ka?k)0a'bk'bk0?

-t?(1?ek’k’??ik'?a2??0?kbk?'a?k'b)0ak)?kk'

?-t?(1?e?-t(1?e???ik'?a1?e???ik'?a2???ik?a1?e???ik?a2)同样计算方法可得

H11?H22??2pz，

H21?-t(1?e??ik?a1?e??ik?a2)

将以上结果代入（13）得：

?2pz?E-t(1?e

??ik?a1?e??ik?a2-t(1?e)???ik?a1?e???ik?a2)?2pz?E?0

(14)

对应石墨烯是理想结构的情况，可以选取原子轨道能级 ? 0 作为 ? 能带能量E(k)的? 2 pz参考点。展开（14），解得石墨烯的能带：

??ik?a1??ik?a2???ik?a1???ik?a2?e)(1?e?e) ???????2?t{3?2cos(k?a1)?2cos(k?a2)?2cos[k?(a1?a2)]}其中

E?t(1?e22??3a3a3a3ak?a1?(kx,ky)(,)?kx?ky

2222??3a3ak?a2?kx?ky

22

???k?(a1?a2)?3aky

经过初等三角函数和差运算后，得到石墨烯能带，即 ? 电子的色散关系E(k):

3kya3kxaE?(kx,ky)??t3?2cos(3kya)?4cos()cos() (15)

22 作者将（15）尝试用Mathematica软件作图，如图4所示，-号对应较低?轨道能谱，+号对应

较高的?反键轨道能谱.。 作者曾在参考文献（2）（3）粗略计算过石墨烯原子片的电子态密度（Density of states (DOS)）,

???如图5所见，EF以下的价带（）完全被电子占据，近满带，而EF以上导带（）空空荡

?荡，视为空穴占据，近空带，导带与价带是连通的，在狄拉克点附近DOS接近零。

对于零温，由（15）描述的能带， ?带与?带关于E=EF=0完全对称，二者在布里渊区高

度对称的六个K点相交，费米面也刚好穿过，或说费米面在这里退缩为共面的六个点，位于价带导带之间，成为石墨烯导带和价带的对称面，所以石墨烯是零带隙的半导体，因而有卓越的导电性。

在K点附近，图（4）所描绘的能量与动量的色散关系是线性的，这直线在K点绕布里渊区(B.Z)平面的垂线旋转一周，形成对顶的双圆锥，称狄拉克锥。这种独特的能带结构，决定了石墨烯电子的无质量狄拉克费米子的属性，不能再用传统薛定谔方程描述，必须建立石墨烯的狄拉克方程，关于石墨烯2维狄拉克方程的数理演绎请见我们将撰写上传的后续文档。

图6是用MATLAB软件制作的能带图，它在复制到Word过程中，在狄拉克锥尖端细节丢失较多,但海浪与彩虹交映齐飞的景象，可能更显示石墨烯的独特不凡，我们愿意将它呈现在这篇文档里。

?

??bandKK'?band图4.石墨烯电子的能带结构。价带?与导带??相交于6个Dirac点（K点）EF?0图5.石墨烯原子片的电状子态总密度DOS（）5432 0.060.040.0210-1-2-3-4-5-0.06 -50-45-2024-0.020-0.04

图6.石墨烯电子的能带结构。(MATLAB)

参考文献

1). A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.: The electronic properties of graphene, 14 January 2009 2). 伍 勇：碱金属在石墨表面化学吸附的EHT研究，复旦学报（自然科学版），No.2 /2000 3).伍 勇：Theoretical Study on Electronic Properties of Potassium Adsorption on Graphite Surface, 发光学报，No.1 /2004.

4)伍 勇，贺 宁：石墨烯能带旋转图，石墨烯能带旋转图b, 视频剪辑 (.avi) 2015?年?2?月?22?日 http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=8570394

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m6gg.html