同济五版高等数学(下)复习资料

更新时间:2023-09-14 05:57:01 阅读量: 初中教育 文档下载

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第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时,应将y看作常量,对x求导,在求时,应将x看作常量,对y求导,所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?,u???x,y?,v???x,y?,则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????,???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况:

1)z?f?u,v?,u???x?,v???x?,则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2)z?f?x,v?,v???x,y?,则?x??x??v??x,

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3)z?f?u?,u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????, ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1)一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数,则

F?z??x?xFz?Fz?0?,

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?,由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2)方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,v??0?z?z两边同时对x(或y)求导解出(或)即可.

?x?y?G?x,y,u,v??0二、全微分的求法

方法1:利用公式du??u?u?udx?dy?dz ?x?y?z方法2:直接两边同时求微分,解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性:

?z??zdu?dv??v??u dz??

?z?z?dx?dy?y??x?三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法

?x???t??1)设空间曲线Г的参数方程为 ?y???t?,则当t?t0时,在曲线上对应点P0?x0,y0,z0?处的切线

?z???t???方向向量为T??'?t0?,?'?t0?,?'?t0?,切线方程为

??

x?x0y?y0z?z0??

?'?t0??'?t0??'?t0?法平面方程为 ?'?t0??x?x0???'?t0??y?y0???'?t0??z?z0??0

2)若曲面?的方程为F?x,y,z??0,则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量n?Fx,Fy,Fz切平面方程为

Fx?x0,y0,z0??x?x0??Fy?x0,y0,z0??y?y0??Fz?x0,y0,z0??z?z0??0

???P0 ,

法线方程为

x?x0y?y0z?z0 ??Fx?x0,y0,z0?Fy?x0,y0,z0?Fz?x0,y0,z0?若曲面?的方程为z?f?x,y?,则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1,切平面方程为

fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0

???法线方程为

x?x0y?y0z?z0 ??fx?x0,y0?fy?x0,y0??1四、多元函数极值(最值)的求法 1 无条件极值的求法

设函数z?f?x,y?在点P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数,由fx?x,y??0,fy?x,y??0,解出驻点?x0,y0?,记A?fxx?x0,y0?,B?fxy?x0,y0?,C?fyy?x0,y0?.

1)若AC?B2?0,则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值,且当A?0时有极大值,当A?0时有极小值.

2) 若AC?B2?0,则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.

23) 若AC?B?0,不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.

2 条件极值的求法

函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下:

1)化为无条件极值:若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中,则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.

2)拉格朗日乘数法

作辅助函数F?x,y??f?x,y?????x,y?,其中?为参数,解方程组

令???????Fx,y?fx,y???x,y0xx?x??令???????Fx,y?fx,y???x,y0?yyy????x,y??0???

求出驻点坐标?x,y?,则驻点?x,y?可能是条件极值点.

3 最大值与最小值的求法

若多元函数在闭区域上连续,求出函数在区域内部的驻点,计算出在这些点处的函数值,并与区域的边界上的最大(最小)值比较,最大(最小)者,就是最大(最小)值. 主要:

1、偏导数的求法与全微分的求法;

2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 3、最大值与最小值的求法

第九章 重积分

积分类型 二重积分 Y—型 X—型 (1) 利用直角坐标系 计算方法 ??Df(x,y)dxdy??dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy ??f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx I???f?x,y?d? D(2)利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 ); (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x2 平面薄片的质量 质量=面密度?面积 ?y2)?, ?为实数 ) ??f(?cos?,?sin?)?d?d?D??d?????2(?)?1(?) f(?cos?,?sin?)?d? 0???2? 0???? ????2? (3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论) ??0???I??2??f(x,y)dxdy?D1????计算步骤及注意事项 1. 画出积分区域 f(x,y)对于x是奇函数,即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数, 即f(?x,y)?f(x,y)D1是D的右半部分2. 选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数

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