椭圆与双曲线的必背的经典结论

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椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

2 1. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在椭圆2 2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 椭圆2 2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

ab

F1PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆2 2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是椭圆2 2 1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

ab

b2x0b2

kOM kAB 2，即KAB 2。

aay0x2y2

2 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆2ab

x0xy0yx02y02

2 2 2. a2babx2y2

1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆

a2b2

x2y2x0xy0y 2 2 2. 2abab

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双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为

直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：

P在左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程

ab

xxyy

是02 02 1. ab

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切

ab

xxyy

线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意

ab

2

S bcot一点 F，则双曲线的焦点角形的面积为. PF F1PF212

2

x2y2

8. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1( c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，

连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2

11. AB是双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB

ab

b2x0b2x0

的中点，则KOM KAB 2，即KAB 2。

ay0ay0x2y2

12. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的

ab

x0xy0yx02y02

方程是2 2 2 2.

abab

x2y2

13. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方

ab

x2y2x0xy0y程是2 2 2 2.

abab

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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2

1. 椭圆2 2 1（a＞b＞o）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直

ab

x2y2

线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2 2 1.

ab

x2y2

2. 过椭圆2 2 1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直

ab

b2x0

线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 2（常数）.

ay0x2y2

3. 若P为椭圆2 2 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

ab

PF1F2 , PF2F1 ，则

a c

tancot. a c22

x2y2

4. 设椭圆2 2 1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上

ab

任意一点，在△PF1F2中，记 F1PF2 , PF1F2 , F1F2P ，则有

sin c

e.

sin sin a

x2y2

5. 若椭圆2 2 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

ab

＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆2 2 1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab

则2a |AF2| |PA| |PF1| 2a |AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(x x0)2(y y0)2

1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是7. 椭圆

a2b2

A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2.

x2y2

8. 已知椭圆2 2 1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ.

ab

4a2b2111122

;（1（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S OPQ

a b2|OP|2|OQ|2a2b2

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a2b2

的最小值是2. 2

a bx2y2

9. 过椭圆2 2 1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

ab

|PF|e

MN的垂直平分线交x轴于P，则 .

|MN|2x2y2

10. 已知椭圆2 2 1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

ab

a2 b2a2 b2

x0 线与x轴相交于点P(x0,0), 则 . aax2y2

11. 设P点是椭圆2 2 1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点

ab

2b22

S btan|PF||PF| 记 F，则(1).(2) . PF PFF121212

21 cos

x2y2

12. 设A、B是椭圆2 2 1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

ab

PAB , PBA , BPA ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2a2b22ab2|cos |2

cot . (1)|PA| 2.(2) tan tan 1 e.(3) S PAB 2

b a2a c2cos2

x2y2

13. 已知椭圆2 2 1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F

ab

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

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18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

x2y2

1. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1( a,0),A2(a,0)，与y轴

ab

x2y2

平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2 2 1.

ab

x2y2

2. 过双曲线2 2 1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互

ab

b2x0

补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC 2（常数）.

ay0x2y2

3. 若P为双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,

ab

F 2是焦点, PF1F2 , PF2F1 ，则

c a

taco（或c a22

c a

taco）. c a22

x2y2

4. 设双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）

ab

为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记 F1PF2 ,

PF1F2 , F1F2P ，则有

sin c

e.

(sin sin )a

x2y2

5. 若双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，

ab

则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线

ab

P和内一定点，则|AF2| 2a |PA| |PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

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x2y2

7. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）与直线Ax By C 0有公共点的充要条

ab22222

件是Aa Bb C.

x2y2

8. 已知双曲线2 2 1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，

ab

且OP OQ. 4a2b2111122

（1（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）S OPQ 2 2;222

b a|OP||OQ|aba2b2

的最小值是2. 2

b ax2y2

9. 过双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于

ab

|PF|e

M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .

|MN|2x2y2

10. 已知双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的

ab

a2 b2a2 b2

垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0 或x0 .

aa

x2y2

11. 设P点是双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2

ab

2b2

为其焦点记 F，则(1)|PF1||PF2| .(2) 1PF2 1 cos

S PF1F2 b2cot.

2

x2y2

12. 设A、B是双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的

ab

一点， PAB , PBA , BPA ，c、e分别是双曲线的半焦距

2ab2|cos |

离心率，则有(1)|PA| 2.

|a c2cos2 |

2a2b22

cot . (2) tan tan 1 e.(3) S PAB 2

2

b a

x2y2

13. 已知双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲

ab

线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交

点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连

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线必与焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m62j.html