微积分选讲讲稿(完整版)(安徽财经大学内部资料)

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第一讲 函数、极限、连续

一、极限

（一）极限基本概念

1、极限的定义

（1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当)(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 或)(∞→→n A a n 。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为极限，记为A x f x =∞

→)(lim 或)()(∞→→x A x f 。 （3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以A 为极限，记为A x f a

x =→)(lim 或)()(a x A x f →→。 （4）左右极限：)(lim )0(0x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0x f a f a x def

-→=-，分别称)0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f a

x →存在?)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。 问题：

（1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？

（2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？

（3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？

- 2 - 2、无穷小

（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。

（2）无穷小的性质

1）有限个无穷小之和与积还是无穷小；

2）有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况，常数与无穷小之积还是无穷小；

3）极限与无穷小的关系：

（3）无穷小的层次关系

1）定义：

2）性质：

设ββαα''~,~，且αβ''lim 存在，则αβαβ'

'=lim lim ； βα~的充分必要条件是)(ααβo +=。

（4）当0→x 时常见的等价无穷小：

1）)1ln(~1~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x e x x x x x x

+-； 2）222

~cos 1,2~cos 1x a x x x a --； 3）ax x a ~1)1(-+。

（5）无穷大

1）定义：

2）无穷大与无穷小的关系。

问题：

（1）无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小？

（2）设γβα,,都是无穷小，且)(),(αγαβo o ==，是否一定有γβ~？

（3）有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小？举例说明。

（二）极限的性质

1、极限的基本性质

（1）唯一性：数列或函数极限存在必是唯一的。

（2）有界性

1）若数列极限存在，则该数列一定有界，反之不对。

2）函数极限的局部有界性：

（3）保号性

1）若函数的极限大于（或小于）零，则函数在该点的去心邻域内也大于（或小于）零；

2）若函数是非负（或非正）的，且函数的极限存在，则极限也是非负（或非正）。

（4）列与子列极限极限的关系：

- 3 - 2、极限的存在性定理与重要极限

定理1 单调有界的数列必有极限。

定理2 夹逼定理（数列及函数）：

重要极限：

（1）1sin lim 0=→x

x x ； （2）e =?+?→?1

0)1(lim ； （3）a x a x x ln 1lim 0=-→。 3、极限运算性质

（1）四则运算性质

（2）复合函数极限运算性质

注解：

问题：

（1）若}{n a 有界，n n a ∞→lim 是否一定存在？ （2）若A a n n =∞

→lim ，当n m >时，是否一定有||||A a A a n m -<-？举例说明。 （3）若)]()(lim[x g x f +存在，)(lim x f 及)(lim x g 是否存在？若)]()(lim[x g x f +及)(lim x g 存在，是否一定有)(lim x f 存在？

（4）若)0(0)(<>x f ，且A x f =)(lim ，是否一定有)0(0<>A ？举例说明。

二、连续与间断

（一）基本概念

1、函数连续的定义

（1）函数在一点连续的定义及等价定义

（2）函数在闭区间上连续的定义

2、间断及其间断点的分类

（1）第一类间断点：

（2）第二类间断点。

（二）闭区间上连续函数的性质

1、最值定理

2、有界定理

3、零点定理

4、介值定理

（1）最值型介值定理：

（2）端点型介值定理：

- 4 - 注解：

（1）初等函数在其定义域内连续；

（2）函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。

问题：

（1）设)(),(x g x f 都在a x =处间断，则)(,)

()(),()(),()(2x f x g x f x g x f x g x f ?±是否一定在a x =处间断？

（2）若函数在一点连续，函数是否在该点的邻域内也连续？举例说明。

例题部分

一、填空题

1、______)

21ln(1lim 2

0=+-→x x e x x 。 2、设)0(~22332→-+x ax x b ，则______,==b a 。 3、______arcsin tan sin lim

20=-→x

x x x x 。 4、设2)](1ln[lim 20=+→x x f x ，则______)(lim 20=→x x f x 。 5、设A a

x b x f a x =--→)(lim ，则______lim )(=--→a x e e a x f a x 。 6、)0,0,0______()(lim 1>>>=++∞→c b a c b a n

n n n n 。 7、)0______(])2

(1[lim 12

≥=++∞→x x x n n n n 。 8、______)tan 11(lim 20=-→x

x x x 。 9、设??

???=≠-+=0,0,12sin )(2x a x x e x x f ax 在点0=x 处连续，则______=a 。

- 5 - 二、解答题

1、判别函数)1ln()(2++

=x x x f 的奇偶性，并求其反函数。

2、求下列极限： （1）2010102000)25()23()12(lim ++-∞→x x x x 。 （2）)

1ln()13ln(lim 102++++∞→x x x x 。 （3）)0(2cos 2cos 2cos lim 20≠→x x x x n x 。 （4）)0,0()2(lim 1

0>>+→b a b a x x

x x 。 （5）2)1(cos lim x x x

∞→。 （6）x x x x 10)cos sin 2(lim +→。 （7）______3)3ln()ln(lim 3220=-+-+→x e x x x e x x x 。 （8）π1sin lim 2+∞

→n n 。 （9）???? ??+-++?+?∞→)12)(12(1531311lim n n n ； （10）()x x x cos 1120sin 1lim -→+。

（11）3

1

0sin 1tan 1lim x x x x ??

? ??++→； （12）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→。 3、证明数列333,,33,3++++ 极限存在，并求其极限。

4、设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

5、设n a a a ,,,21 为常数，)1ln ()21ln ()1ln (

)(21nx a x a x a x f n ++++++= 。且|||)(|x x f ≤，证明：1|2|21≤+++n na a a 。

6、求极限)2211(lim 222n

n n n n n ++++++∞→ 。 7、设],[)(b a C x f ∈，)1](,[n i b a x i ≤≤∈，)1(0n i k i ≤≤>且121=+++n k k k ，证明：存在],[b a ∈ξ，使得)()()(11n n x f k x f k f ++= ξ。

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第二讲 导数与微分

一、导数的基本概念

设)(x f y =在a x =的邻域内有定义，)()(a f x a f y -?+=?，若x

y x ??→?0lim 存在，则称函数)(x f y =在点a x =可导，极限称为函数)(x f y =在a x =处的导数，记为)(a f '。 注解：

（1）若x y x ??+→?0l i m 存在，称此极限为函数)(x f 在a x =处的右导数，记为)(a f +'，若x y x ??-→?0l i m 存在，称此极限为函数)(x f 在a x =处的左导数，记为)(a f -'，函数)(x f 在a x =处可导的充分必要条件是)(a f +'与)(a f -'都存在且相等。

（2）导数的等价定义

x y a f x ??='→?0lim )(，a

x a f x f a f a x --='→)()(lim )(。 注解：导数的几何意义是：函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。 问题：

（1）设)(a f '存在，问h h a f h a f h )2()3(lim

0--+→是否存在？若存在求之，不存在举反例说明。

（2）设h

h a f h a f h )()2(lim 0--+→存在，问)(a f '是否存在？若存在证明之，若不存在举反例说明。 （3）设)1ln()0(cosh)1(lim 20

h f f h +--→存在，)0(f '是否存在？说明理由。 （4）设n

a f n a f n /1)()1(lim -+∞→存在，)(a f +'是否存在？说明理由。 （5）设)(x f 在a x =处可导，问)(x f '是否在a x =处连续？

（6）)(x f 在a x =处可导，是否有)(x f 在a x =的邻域内连续？

（7）是否存在只有一个可导点的函数？

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二、求导工具

（一）求导基本公式

1、0)(='C （常数函数导数公式）；

2、1)(-='a a ax x ，特殊情形21)1(,21)(x x

x x -='='（幂函数导数公式）； 3、a a a x x ln )(='，特殊情形x x e e =')(（指数函数导数公式）；

4、a x x a ln 1)(log ='，特殊情形x

x 1)(ln ='（对数函数导数公式）； 5、（三角函数导数公式）： 1）x x cos )(sin ='； 2）x x sin )(cos -='； 3）x x 2sec )(tan ='；

4）x x 2csc )(cot -='； 5）x x x tan sec )(sec ='； 6）x x x cot csc )(csc -='；

7）x x 2sin )(sin 2='； 8）x x 2sin )(cos 2-='； 9）x x x 2cos )cos (sin ='。

6、（反三角函数导数公式）：

1）211

)(arcsin x x -='； 2）211)(arccos x x --='；

3）211)(arctan x x +=

'； 4）211)cot (x x arc +-='。 7、补充公式：

1）??? ??+=2sin )

(sin )(πn x x n ； 2）??? ??+=2cos )(cos )(πn x x n ； 3）)]()([])([x f x f e x f e x x '+='。

（二）求导法则

1、四则求导法则

（1）v u v u '±'='±)(；

（2）v u v u uv '+'=')(，u k ku '=')(；

- 8 - （3）2)(v v u v u v u '-'=

'； （4）)()1(1)(0)()(n n n n n n n n uv C v u C v u C uv ++'+=- 。

2、复合函数求导法则

设)(),(x u u f y ?==皆可导，则)]([x f y ?=可导，且

)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 3、反函数的导数

设)(x f y =与)(y g x =互为可导的反函数，且0)(≠'y g ，则)

(1)(y g x f '=

'。 注解：

（1）原函数与其反函数的导数之间为倒数关系；

（2）二阶导数之间没有这种关系。

三、可微与微分

1、可微的定义

2、连续、可导与可微的关系

3、一阶微分形式的不变性

4、求导类型

（1）显函数的导数；

（2）参数方程的导数；

（3）隐函数的导数；

（4）变积分限的函数的导数；

（5）分段函数的导数；

（6）高阶导数。

例题部分

1、设)(0x f '存在，

（1）求h x f ah x f h )()(lim 000-+→； （2）)0()()(lim 000≠+-+→ab h

bh x f ah x f h 。 2、设)(x f 在2=x 处连续，且14

)(lim 22=-→x x f x ，求)2(f '。 3、设对任意的),(,+∞-∞∈y x ，有)()()(y f x f y x f =+，且1)0(='f ，证明)(x f 处处可导。

- 9 - 4、设)(x f y =与)21ln(x y +=在坐标原点处相切，求)1(lim n

nf n ∞→。 5、设)(x f 在a x =处可导，且0)(≠a f ，求n n a f n a f ))

()1((lim +∞→。 6、求下列函数的导数：

（1）πln )1tan()21ln(22++++=x x e x e y ； （2）x x e x x

y 1sin 222sin ++=； （3）设x y y x =，求

dx dy ； （4）523)tan(2=-++x y x y x ，求dx dy ； （5）设y xy e xy =+)tan(，求0=x dx

dy ； （6）设???=+=t y t x arctan 12，求22dx y d ； （7）设?

??+=+-=23)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。 7、（1）设?????≤+>+=0

),1ln(0,sin 1sin )(2x x x x x x x f ，讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性和可导性。 （2）设?????≥-+<+=0

,)1(2arctan 90,2sin )(3x x b x x ae x x f x 在0=x 处可导，求常数b a ,。 （3）设?????≥+<--=0

,0,1s in )()(x b ax x x x x g x f ，其中2)0()0(,1)0(=''='=g g g ，且)(x f 在0=x 处可导，求b a ,。

8、（1）设)23ln()(x x f +=，求)()(x f

n ； （2）设651)(2+-=x x x f ，求)()(x f n ； （3）设823)(2---=x x x x f ，求)()(x f n ； （4）设x e x f x sin )(=，求)()(x f

n 。 （5）设)100()3)(2)(1()(+-+-=x x x x x f ，求)1(f '及)()101(x f

。

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第三讲 一元函数微分学的应用

一、 中值定理

1、（罗尔定理）设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，)()(b f a f =。则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。

2、（拉格朗日定理）设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导。则存在),(b a ∈ξ，使得a

b a f b f f --=')()()(ξ。 3、（柯西定理）设设],[)(),(b a C x F x f ∈，在),(b a 内可导，)(0)(b x a x F <<≠'。则存在),(b a ∈ξ，使得)

()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--。 4、（泰勒定理）设)(x f 在a x =的邻域内有直到1+n 阶导数。则有

)()(!

)()(!2)())(()()()(2x R a x n a f a x a f a x a f a f x f n n n +-++-''+-'+= ， 其中)(x R n 称为余项，n n n a x n f x R )()!

1()()()1(-+=+ξ称为拉格朗日型余项，其中ξ介于a 与x 之间；))(()(n

n a x o x R -=称为皮亚诺型余项。

注解：

1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件，而非必要条件。

2、柯西中值定理中)(0)(b x a x F <<≠'用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。

3、常用的马克劳林公式 （1）)(!212n n

x

x o n x x x e +++++= ； （2）)()!

12()1(!3sin 12123++++-++-=n n n

x o x n x x x ；

- 11 - （3）)()!

2()1(!4!21cos 2242n n n

x o x n x x x +-+-+-= ； （4）

)(1112n n x o x x x x

+++++=- ； （5）)()1(1112n n n x o x x x x +-+-+-=+ ； （6）)()1(32)1ln(1

32n n n x o x n

x x x x +-+-+-=+- ； （7）)(2)1ln(2n n

x o n

x x x x ++++=-- 。 4、设)(x f 在0x x =的邻域内有n 阶连续导数，则

))(()(!

)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-++-''+-'+=

二、函数的单调性与极值

1、函数的单调性

（1）定义：

（2）函数单调性判别法：

2、函数的极值

（1）函数极值的定义：

（2）必要条件（函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点，反之不对）。

（3）函数极值的判别：

1）第一充分条件：

2）第二充分条件：

三、函数的最值

1、设],[)(b a C x f ∈，求)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值。

2、实际问题最优解。

3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。

- 12 - 注解：

闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。

四、函数的凹凸性与拐点

1、曲线的凹凸及拐点的定义：

2、曲线凹凸性的判别方法：

五、渐近线

1、铅直渐近线：若∞=→)(lim x f a

x ，称a x =为曲线)(x f y =的一条铅直渐近线； 2、水平渐近线：若A x f x =∞

→)(lim ，称A y =为曲线)(x f y =的一条水平渐近线； 3、斜渐近线：设b ax y +=为一条直线（其中0≠a ），若0])([lim =--∞

→b ax x f x ，称直线b ax y +=为曲线)(x f y =的一条斜渐近线。若),0()(lim ∞≠=∞→a x

x f x ，b ax x f x =-∞

→])([lim ，则直线b ax y +=为曲线)(x f y =的一条斜渐近线。

六、函数图象的描绘的步骤

1、求函数的定义域；

2、求函数的一阶导数和二阶导数，并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点；

3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点；

4、求函数的铅直、水平及斜渐近线；

5、描图。

七、弧微分、曲率与曲率半径

1、弧微分

（1）设曲线)(:x f y L =，则dx x f ds )(12'+=；

- 13 - （2）设曲线???==)

()(:t y t x L ψ?，则dt t t ds )()(22ψ?'+'=； （3）设曲线)(:θr r L =，则θθθd r r ds )()(22'+=

。 2、曲率及曲率半径

（1）曲率：23

2)1(|

|y y K '+''=；

（2）曲率半径：K

R 1=

。 例题部分

一、选择题

1、设)(x f 在0=x 的邻域内连续，且2cos 1)(lim 0=-→x

x f x ，则在0=x 处)(x f （ ） )(A 不可导； )(B 可导且2)0(='f ； )(C 取极大值； )(D 取极小值。

2、函数q x x x f ++=2)(3

的零点个数是 （ ） 1)(A 个； 2)(B 个； 3)(C 个； )(D 个数与q 有关。

3、设函数)(x f 满足x x f x f ='+''2)]([)(，且0)0(='f ，则 （ ）

)0()(f A 是)(x f 的极大值； )0()(f B 是)(x f 的极小值；

))0(,0)((f C 是)(x f y =的拐点； )0()(f D 非)(x f 极值，))0(,0(f 非)(x f y =拐点。

二、解答题

1、设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)()(='+ξξf f 。

2、设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导（0>a ），且)()(a bf b af =，证明：存在),(b a ∈ξ，使得ξξξ)

()(f f ='。

- 14 - 3、设)0](,[)(>∈a b a C x f ，在),(b a 内可导，证明：存在),(,b a ∈ηξ，使得 )(2)()(b a f f +'='η

ηξ。 4、设b a <<0。证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()1(b a e be ae a b --=-ξξ。

5、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，连接))(,()),(,(b f b a f a 两点的直线与曲线)(x f y =交于点)()),(,(b c a c f c <<，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf 。

6、证明下列不等式：

（1）设)()(),0()0(),0()0(x g x f g f g f ''>'''='=。证明：当0>x 时，)()(x g x f >。

（2）证明：)0(1≠+>x x e x 。

（3）设e b a >>，证明：b a a b >。

7、（1）研究方程0ln =+k x x 的实根个数。

（2）讨论方程)0(>=-a a xe

x 根的个数。

第四讲 不定积分

一、原函数与不定积分

1、设))((),(I x x F x f ∈为两个函数，若对任意的I x ∈有)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

注解：

（1）连续函数一定存在原函数，反之不对；

（2）有第一类间断点的函数一定不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数，

如 ?????=≠-=0,00,1c o s 1s i n 2)(x x x x x x f ，?????=≠=0

,00,1sin )(2x x x x x F 。 （3）若一个函数存在原函数，则一定存在无穷多个原函数，且任意两个原函数之间相差常数。

2、不定积分—一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分，记为

- 15 -

C x F dx x f +=?)()(。 注解：

（1）)()(x f dx x f dx d =?，C x f dx x f dx

d +=?)()(； （2）一个可导的奇函数，其导函数及原函数皆为偶函数；

（3）一个可导的偶函数，其导函数一定为奇函数，但其原函数不一定为奇函数。

（4）周期函数的导数一定为周期函数，但其原函数不一定为周期函数。

二、不定积分的性质

1、???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([；

2、?

?=dx x f k dx x kf )()(。

三、不定积分基本公式

1、C kx kdx +=?；

2、)1(111-≠+=+?a x a dx x a a ，C x dx x

+=?||ln 1； 3、C a a dx a x

x

+=?ln ，C e dx e x x +=?； 4、（1）C x xdx +-=?cos sin ； （2）C x xdx +=?sin cos ；

（3）C x xdx +-=?|cos |ln tan ； （4）C x xdx +=?|sin |ln cot ；

（5）C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec ； （6）C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc ；

（7）C x xdx +=?tan sec 2； （8）C x xdx +-=?

cot csc 2； （9）C x xdx x +=?sec tan sec ； （10）C x xdx x +-=?csc cot csc 。

5、（1）x dx x arcsin 11

2=-?， C a x dx x a +=-?arcsin 1

22；

- 16 - （2）

C x dx x +=+?arctan 112， C a

x a dx x a +=+?arctan 1122； （3）C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 21122； （4）C a x x dx a x +++=+?

)ln(12222； （5）C a x x dx a x +-+=-?||ln 1

222

2； （6）

C x a x a x a dx x a +-+=-?222222

arcsin 2。 四、积分法

1、换元积分法

（1）第一类换元积分法

C x F C t F dt t f x d x f dx x x f x t +=+==='???=)]([)()()

()]([)()]([)(??????。

（2）第二类换元积分法 C x G C t G dt t g dt t t f dx x f t x +=+=='==-=???)]([)()()()]([)(1)

(????。 2、分部积分法

??-=vdu uv udv 。

3、特殊函数的积分

（1）有理函数的积分：

（2）三角有理函数的积分：

（3）无理函数的积分：

例题部分

- 17 - 1、求下列不定积分：

（1）

?+-dx x x 3412； （2）dx x x ?++112； （3）dx x x x ?+-+2312； （4）dx x x x ?+++322； （5）dx x x ?+)2(18； （6）dx x x ?-2)1(1。

2、求下列不定积分：

（1）dx x x ?+)1(1

； （2）dx x x ?--211

；

（3）dx x x ?++211

； （4）dx e x x ?+)1(。

3、求下列不定积分：

（1）dx e x x x 11

2)11(-+?-； （2）dx x x x 2)

ln (ln 1+； （3）dx x x ?+2

21arctan ； （4）dx e x ?+11。 第五讲 定积分

一、 定积分的概念

1、定积分的定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上有界。

（1）作b x x x a n =<<<= 10，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；

（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作积分和

∑=?n i i i x f 1)(ξ；

（3）令}{m ax 1i n i x ?=≤≤λ，若∑=→?n i i i

x f 10)(l i m ξλ存在，则称函数)(x f 在区间],[b a 上可积，其

- 18 -

极限称为函数

)(x f 在],[b a 上的定积分，记为

?

b

a

dx x f )(，即

∑?

=→?=n

i i i b

a

x f dx x f 1

)(lim )(ξλ。

注解：

（1）∞→?→n 0λ，反之不对。 （2）定积分与区间划分无关。

（3）区间上有界的函数不一定可积（举反例） （4）连续函数一定可积，反之不对。

（5）若一个函数只有有限个第一类间断点，则一定可积。 （6）若函数)(x f 在区间]1,0[上可积，则

∑∑?

=∞→=∞→-==n i n n i n n i f n n i f n dx x f 11

1

)1

(1lim )(1lim )(。

（7）设函数)(x f 是可积的，则有 0)(=?

a

a

dx x f ，??-=a

b

b a

dx x f dx x f )()(。

二、定积分的性质

设函数)(x f 和)(x g 可积，则有 1、???

±=±b

a

b a

b

a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。

2、?

?=b a

b

a

dx x f k dx x kf )()(（其中k 为常数）

。 3、???

+=b

c

c

a

b

a dx x f dx x f dx x f )()()(。

4、

a b dx b

a

-=?。

5、设函数)(x f 在区间],[b a 上可积且0)(≥x f ，则0)(≥?

b

a

dx x f 。

推论1 设在区间],[b a 上)()(x g x f ≥，则

??

≥b a

b

a

dx x g dx x f )()(。

推论2 设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，则

??

≤b

a

b

a

dx x f dx x f |)(|)(。

6、设函数)(x f 在区间],[b a 上满足M x f m ≤≤)(，则有

- 19 - )()()(a b M dx x f a b m b

a -≤≤-?。

7（积分中值定理）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则存在],[b a ∈ξ，使得

))(()(a b f dx x f b

a -=?ξ。

8（1）设函数)(x f 在],[b a 上连续，0)(≥x f ，且0)(=?b

a dx x f ，则]),[(0)(

b a x x f ∈≡。

（2）设函数)(x f 在],[b a 上连续，0)(≥x f 且)(x f 不恒为零，则0)(>?b

a dx x f 。

（3）设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，)()(x g x f ≥且)(x f 不恒等于)(x g ，则有 ??>b

a b

a dx x g dx x f )()(。 9、（积分第一中值定理）设函数)(x f 和)(x g 在],[

b a 上连续，且0)(≥x g ，则存在],[b a ∈ξ，使得??=b

a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 证明：因为)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 上一定可取到最大和最小值，分别设为M 和m ，则M x f m ≤≤)(。

因为0)(≥x g ，所以)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，两边在],[b a 上积分，得

???≤≤b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m

)()()()(。 情形一：

0)(=?b a dx x g ，根据补充性质1得0)(≡x g ，则对一切的],[b a ∈ξ，原等式都成立。

情形二：0)(>?b

a dx x g ，由???≤≤

b a

b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(，得 M dx

x g dx

x g x f m b a b

a ≤≤??)()()(，

再由闭区间上连续函数的介值定理，存在],[b a ∈ξ，使得

- 20 - ??=b a b a dx x g dx

x g x f f )()()()(ξ，于是有

??=b

a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 10、（柯西不等式）设)(x f 和)(x g 在区间],[b a 上可积，则

???≤b

a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([

222。 三、积分学基本理论

定理1 设函数)(x f 在],[b a 上连续，令?=x

a dt t f x F )()(，则)()(x f x F ='。

定理2（积分基本公式）设函数)(x f 在],[b a 上连续，且)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 )()(|)()(a F b F x F dx x f b a b

a -==?。

注解：

（1）连续函数一定存在原函数，且其原函数具有可导性。

（2）变积分限的求导可作如下推广：

1）

)()]([)()(x x f dt t f dx

d x a ???'=?。 2）)()]([)()]([)(1122)()(21x x f x x f dt t f dx

d x x ??????'-'=?。 3）若积分限是含有x 的函数，而被积表达式中除积分变量外还含有x ，在求关于x 的导数时，一般要先处理被积表达式中的x 。 如：

四、积分法

1、换元积分法

设函数)(x f 在],[b a 上连续，令)(),(t t x ??=可导，0)(≠'t ?，

且b a ==)(,)(β?α?，则 ??'=β

α??dt t t f dx x f b

a )()]([)(。 2、分部积分法

- 21 - 设v u ,在],[b a 上连续可导，则

??-=b

a b a b a vdu uv udv 。 五、重要公式或结论

1、三角函数在特定区间上的积分性质

（1）??=20

2

0)(cos )(sin π

πdx x f dx x f 特例：n n n I xdx xdx ==??202

0cos sin π

π，21--=n n I n n I ，20π=I ，11=I ， ,2,1,!)!12(!)!22(12=--=

-n n n I n ， ,2,1,2!)!2(!)!12(2=-=n n n I n π。 （2）??=20

0)(sin 2)(sin π

πdx x f dx x f ， 特例：n n n

I xdx xdx 2sin 2sin 200==??π

π， （3）?????=??为奇数

为偶数n n xdx xdx n n ,0,cos 2cos 200ππ。 （4）???==20

00)(sin )(sin 2)(sin π

ππ

ππdx x f dx x f dx x xf 。 2、周期函数的积分性质

设)(x f 是以)0(>T 为周期的周期函数，则有

（1）

??=+T T a a dx x f dx x f 0)()(，其中a 为任意实数。 （2）??=T

nT dx x f n dx x f 00)()(。 3、对称区间上函数的积分性质

设)(x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，则

（1）??-+=-a

a

a dx x f x f dx x f 0)]()([)(。

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