辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题

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用心 爱心 专心 1 辽宁吉林黑龙江3省2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题 解答题

1. （辽宁沈阳14分）如图，已知抛物线y =x 2＋b x ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与

y 轴交于点C （0，－3）

，对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． ⑴求抛物线的函数表达式；

⑵求直线BC 的函数表达式；

⑶点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ=34

AB 时，求tan∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．

温馨提示：考生可以根据第⑶问的题意，在图中补出图形，以便作答．

【答案】解：⑴∵抛物线y =x 2＋b x ＋c 的对称轴为直线x =1，∴1221

b b a -

=-=?。∴b =－2。 ∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3。

∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3。

⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，

当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3。

∵A 点在B 点左侧，∴A（－1，0），B （3，0）。

设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =k x ＋m 。 则033k m m =+??-=?

，∴13k m =??=-?

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∴直线BC的函数表达式为y=x－3。

⑶①∵AB=4，PQ=3

4

AB，∴PQ=3。

∵PQ⊥y轴，∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为

1

2 -。

∴P（

1

2

-，

7

4

-），∴F（0，

7

4

-）。

∴FC=3－OF=3－75 44 =。

∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5

2

。

∵点D在直线BC上，

∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）。过点D作DG⊥CE于点G，则DG=1，CG=1。

∴GE=CE－CG=5

2

－1=

3

2

。

在Rt△EGD中，tan∠CED=GD2 EG3

=

②P1（1

2），P2（1

5

2

）。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，解一元二次方程，待定系数法，点的坐标与方程的关系，锐角三角函数。

【分析】⑴ 已知了C点的坐标和对称轴即可用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）由B、C两点在直线上，B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标满足直线方程的关系，用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式。

（3）①要求t an∠CED，即要把∠CED放到一个直角三角形中，故作辅助线：过点D作DG⊥CE于

点G，这样tan∠CED=GD

EG

，只要求出GD、EG即可。利用PQ=

3

4

AB关系和抛物线的对称性等即可求出。

②以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形，

情况一（如图），CE为斜边，因为CD=DE1

则由勾股定理，2（C E1）2= DE12，即C E1=2，

又C的坐标为（0，－3），所以E1的坐标为（0，－1），

从而P1的纵坐标为

31

2

2

--

=-，代入y=x2－2x－

3

用心爱心专心 2

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用心 爱心 专心 3 得x 2

－2x －3=－2，

解得x

1

。

所以P 1的坐标为（1

2）。

情况二（如图），CE 为直角边，则 E 2的坐标为（0，－2），

又C 的坐标为（0，－3）， 从而P 2的纵坐标为

32522

--=-，代入y =x 2－2x －3 得x 2－2x －3=－52

， 解得x

1

。 所以 P 2的坐标为（1

52）。 综上所述，当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，点P 的坐标为（1

2）， （1

52

）。 2.（辽宁大连12分）如图，抛物线2y ax bx c =++经过A （－1，0）、

B （3，0）、

C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC

相交于点M ，连接PB ．

⑴求该抛物线的解析式；

⑵抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，

求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；

⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与

△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明

理由． 【答案】解：（1）∵抛物线经过A （－1，0）、B （3，0），∴可设抛物线的解析式()()13y a x x

=+

-。 又∵抛物线经过C （0，3），∴把（0，3）代入()()13y a x x =+-得，()()30103a =+-， 解得，1a =-。

∴物线的解析式为()()13y x x =-+-，即223y x x =-++。

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用心爱心专心 4

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用心 爱心 专心 5

【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，三角形面积相等的条件。

3.（辽宁本溪14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，点A （10，0）和点B （2，2），在线段OA 上，点P 从点O 向点A 运动，同时点Q 从点A 向点O 运动，运动过程中保持AQ=2OP ，当P 、Q 重合时同时停止运动，过点Q 作x 轴的垂线，交直线AB 于点M ，延长QM 到点D ，使MD=MQ ，以QD 为对角线作正方形QCDE （正方形QCDE 随点Q 运动）．

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）设正方形QCDE 的面积为S ，P 点坐标（m ，0）求S 与m 之间的函数关系式；

（3）过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，延长PN 到点G ，使NG=PN ，以PG 为对角线作正方形PFGH （正方形PFGH 随点P 运动），当点P 运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH 的边GP 和正方形QCDE 的边EQ 落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB 下方的阴影部分面积的和是多少？

②若点P 继续向点A 运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P 的坐标，不必说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线过O(0，0)，A(10，0），∴设抛物线解析式为(0)(10)y a x x =-

-。

将B(2，2）代入，得2(210)2a ??-=，解得18a =-。

∴抛物线解析式为21

15(10)884

y x x x x =--=-+。

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用心 爱心 专心 6 （2）设AB 解析式为y kx b =+，将A （10，0），B （2，2）代入，得

10022k b k b +=??+=?，解得1452k b ?=-????=??

。∴AB 解析式为1542y x =-+。 ∵P（m ，0），∴OP=m，AQ=2m ，OQ=10－2m 。

∴当x =10－2m 时，QM=151(102)422

m m --+

=，∴QD=m。 ∵四边形QCDE 是正方形，∴2211S QD 22m ==。 （3）①由P （2，0），根据抛物线解析式可知N （2，2），

由正方形的性质得G （2，4），即PG=4。

又当GF 和EQ 落在同一条直线上时，△FGQ 为等腰直角三角形。

∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB 解析式得M （6，1），即QM=1，QD=2。

∴阴影部分面积和=22111(PG QB )5222?+=。 ②15

P ( 0)2，，210P ( 0)3

，

，3P (9。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质。

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用心 爱心 专心 7

综上所述，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况时点P 的坐标为15

P ( 0)2

，，210P ( 0)3

，，3P (9。 4．（辽宁丹东14分）己知：二次函数

2 6 (0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A 、B

两点(点A 在点B 的左侧)，点A 、点B 的

横坐标是一元二次方程2

4120

x x --=的两个根．

（1）请直接写出点A 、点B 的坐标．

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和

顶点坐标．

（3）如图l ，在二次函数对称轴上是否存在点P ，使△APC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．

（4）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上一个动点(点Q 不与点O 、B 重合)．过点Q 作QD∥AC 交BC 于点D ，设Q 点坐标(m ，0)，当△CDQ 面积S 最大时．求m 的值．

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用心 爱心 专心 8

【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，二次函数的性质，轴对称的性质，三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）解一元二次方程24120x x --=可求A 、B 两点坐标。

（2）将A 、B 两点坐标代入二次函数2 6 y ax bx =++，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标。

（3）作点C 关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P 点，连接CP ，根据轴对称的性质和三角形两边之和大于第三边的性质得P 点即为所求。

（4） 由DQ∥AC 得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△QBD 的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ 的面积，根据ABC QBD ACQ S S S S ???=--，运用二次函数的性质求面积最大时，m 的值即可。

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用心 爱心 专心 9 5.（辽宁抚顺14分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，

且tan∠BAD＝2，AD 在x 轴上，点A 的坐标(－1，0)，点B 在y 轴的正半轴上，BC ＝OB.

(1)求过点A 、B 、C 的抛物线的解析式；

(2)动点E 从点B(不包括点B)出发，沿BC 运动到点C 停止，在运动过程中，过点E 作EF⊥AD 于点F ，

将四边形ABEF 沿直线EF 折叠，得到四边形A 1B 1EF ，点A 、B 的对应点分别是点A 1、B 1，设四边形A 1B 1EF 与

梯形ABCD 重合部分．．．．

的面积为S ，F 点的坐标是(x ,0)． ①当点A 1落在(1)中的抛物线上时，求S 的值；

②在点E 运动过程中，求S 与x 的函数关系式．

备用图

【答案】解：(1)在△ABO 中∠AOB＝90°，tanA ＝OB OA

＝2， ∵点A 坐标是(－1，0)，∴OB＝2。∴点B 的坐标是(0，2)。

又∵BC∥AD，BC ＝OB ，∴点C 的坐标是(2，2)。

由点B (0，2)在抛物线上，设抛物线表达式为22y ax bx =++。

∵点A(－1，0)和点C(2，2)在抛物线上，

∴204222a b a b -+=??++=? ，解得234

3

a b ?=-????=??。

∴过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为22

4233

y x x =-++。 (2)①当点A 1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A 1与点A 关于对称轴对称。由沿直

线EF 折叠，所以点E 是BC 中点，点E 的坐标为(1，2)，点F 的坐标为(1，0)，重合部分面积就是梯形ABEF

的面积。面积为：S ＝12(BE ＋AF)·EF＝12

(1＋2)·2＝3。 ②当0＜x ≤1时，重合部分面积就梯形ABEF 的面积，由题得AF ＝x ＋1，BE ＝x ，

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用心 爱心 专心 10 S ＝S 梯形ABEF ＝12

(BE ＋AF)·BO＝2x ＋1。 当1＜x ≤2时，如图，设A 1B 1交CD 于点N ，作MN⊥D F 于点N ，CK⊥AD 于点K ，重合部分面

积就是五边形形A 1NCEF 的面积。

由△NMA 1∽△DMN 得，MA 1NM ＝NM MD

， ∵∠BAO＝∠MA 1N ，tan∠BAO＝2，

∴tan∠MA 1N ＝MN A 1M ＝2。∴MA 1＝12

MN ，MD ＝2MN 。 ∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°，∴tan∠CDK＝12

。 在△DCK 中，∠CKD＝90°，CK ＝OB ＝2，tan∠CDK＝CK DK ＝12

， ∴DK＝4，OD ＝6。

∵OF＝x ，A 1F ＝x ＋1，∴A 1D ＝OD －OF －A 1F ＝5－2x ，FD ＝6－x 。

∴MN＝23

(5－2x )。 ∴S＝S 梯形DCEF －S △A1ND ＝12（EC ＋FD ）·CK －12

A 1 D·MN ＝8－2x －13(5－2x )2＝－43x 2＋143x －13

.。 综上所述，S 与x 的函数关系式为S ＝()()221014141123

33x x x x x ≤???-≤??＋＜-＋＜。 【考点】锐角三角函数，梯形的性质，待定系数法求抛物线表达式，点的坐标与方程的关系，对称的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)由已知，应用锐角三角函数和梯形的性质可求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由待定系数法可求抛物线表达式。

(2)分0＜x ≤1和1＜x ≤2分别讨论四边形A 1B 1EF 与梯形ABCD 重合部分的面积。讨论时把有关线段用含x 的表达式表示即能求出。

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用心 爱心 专心 11 6.（辽宁阜新14分）如图，抛物线y ＝12x 2＋x －32

与x 轴相交于A 、B 两点，顶点为P ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）在抛物线是否存在点E ，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积，若存在，

求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F ，使得以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条 件的点F 的坐标．

【答案】解：（1）令12x 2＋x －32

＝0，解得12x 1,x 3==- 。 ∵点A 在点B 的左边，∴点A 、B 的坐标分别为（－3，0），（1，0）。

（2）∵y＝12x 2＋x －32＝12

（x ＋1）2－2，∴顶点P 的坐标为（－1，－2）。 ∵要使△ABP 的面积等于△ABE 的面积，即要它们同底等高，

∴抛物线存在点E ，它在x 轴上方且与x 轴的距离为2。

即它是抛物线y ＝12x 2＋x －32

与直线y ＝2的交点。 ∴解12x 2＋x －32

＝2得，x

∴抛物线存在点E （－1－

）和（－1＋

的面积等于△ABE 的面积。

（3）使得以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形的点F 的坐标为：

（－1，2），（－5，－2），（3，－2）。

【考点】点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，三角形面积相等的条件，平行四边形的判定，轴对称的性质，平移的性质。

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用心 爱心 专心 12 当AB 是对角线时，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定可得点P 关于AB 的对称点（－1，2）符合条件。

当AB 是边时，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，由AB ＝4，只要把点P 向左或向右平移4个单位得到的点（－5，－2），（3，－2）符合条件。

综上所述，符合条件的点F 的坐标为（－1，2），（－5，－2），（3，－2）。

7.（吉林省10分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD 于点E,AD=8cm ，BC=4cm,AB=5cm 。从初始时刻开始，动点P,Q 分别从点A,B 同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点P 沿A--B--C--E 的方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B--C--E--D 的方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，?PA Q 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形)

解答下列问题：

(1) 当x=2s 时，y=_____ cm 2;当x = 2

9 s 时，y=_______ cm 2 (2）当5 ≤ x ≤ 14 时，求y 与x 之间的函数关系式。 (3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出154=

y S 梯形ABCD 时x 的值。

（4）直接写出在整个．．

运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．

P

（备用图）

【答案】解：（1） 2，9。

（2）分三种情况：

① 当5≤x ≤9时（如图），

y= S 梯形ABCQ –S △ABP –S △PCQ

()()()()2111165545594722222

x x x x x x =?+?-??--?-?-=-+。

② 当9＜x ≤13时（如图），

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用心 爱心 专心 13 ()()APQ

2y S 11199+41435222

x x x x ?==?-?-=-+- 。 ③ 当13＜x ≤14时（如图），

()APQ

y S 18144562

x x ?==??-=-+ 。 （3） 当动点P 在线段BC 上运动时， ∵()ABCD 441y S 485815152

=

=??+?=梯形， ∴21657822

x x -+=，即x ²－14x +49 = 0。解得x 1 = x 2 = 7。 ∴当x =7时，ABCD 4y S 15

=梯形。 （4）2161101 999x = ，，。 【考点】动点问题，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，平行的判定。

【分析】（1）当x =2s 时，点Ｐ在ＡＢ上，点Ｑ在ＢＣ上，∴12222

y =

??=。 当x =92s 时，点Ｐ在ＡＢ上，点Ｑ在ＣＥ上，∴194922y =??=。 （２）分时段讨论即可。

（３）考虑当动点P 在线段BC 上运动时，函数关系式用2165722

y x x =-+即可正确求出。 （４）设x s 时， PQ 与四边形ABCE 的对角线平行。根据相似三角形的判定和性质，平行的判定，分三种情况：

① 当点P 在线段ＡＢ上运动，有ＢＰ：ＢＱ＝ＡＢ：ＢＣ，即（５－x ）：x ＝５：４，解得 219

x = ； ② 当点P 在线段BC 上运动，有ＰＣ：ＣＱ＝ＢＣ：ＡＢ，即（９－x ）：（x －４）＝４：５，解得619

x = ； ③ 当点P 在线段ＣＤ上运动，有ＰＤ：ＤＱ＝ＡＢ：ＢＣ，即（１４－x ）：（x －４）＝５：４，解得1019

x = 。

(Q )

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用心 爱心 专心 14 8.（吉林长春10分）如图，∠C=90°，点A 、B 在∠C 的两边上，CA=30，CB=20，连接AB ．点P 从点 B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC 方向运动，到点C 停止．当点P 与B 、C 两点不重合时， 作PD⊥BC 交AB 于D ，作DE⊥AC 于E ．F 为射线CB 上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P 的运动时间为x （秒）．

（1）用含有x 的代数式表示CF 的长．

（2）求点F 与点B 重合时x 的值．

（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形

的面积为y （平方单位）．求y 与x 之间的函数关系式．

（4）当x 为某个值时，沿PD 将以D 、E 、F 、B 为顶点的四边形剪开，得到两

个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所

有符合上述条件的x 值．

【答案】解：（1）由题意知，△DBP∽△ABC，四边形PDEC 为矩形。 ∴

PD PB CA CB =，CE=PD 。CA PB 304PD 6CB 20

x x ??===。CE 6x =。 （2）由题意知，△CEF∽△CBA，∴CF CE CA CB =．∴CA CE 306CF 9CB 20

x x ??===． 当点F 与点B 重合时，CF CB =，9x=20．解得20=9

x 。 （3）当点F 与点P 重合时，BP CF CB +=，4x ＋9x =20，得20=13

x 。 当20013

x <<时，如图①， 2PD(PF DE)6(2013204)=5112022

x x x y x x +-+-==-+。 当2013≤x ＜209

时，如图②， 1DE DG 2y =?=12(204)(204)23

x x -?- 216(5)3

x =-。 (或216160400333y x x =-+) ∴y 与x 之间的函数关系式为()2220501200131620205 3139x x x y x x ???-+<< ?????=????-≤< ?????

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用心 爱心 专心 15 （4）1232020519132

x x x ===，，。 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质。

【分析】（1）由△DBP∽△ABC，即可得出比例式从而得出表示CE 的长。

如图③，当PD PF =时，62013x x =-．解得2019

x =

．BPE ?'为拼成的三角形； 如图④，当点F 与点P 重合时，4920x x +=．解得2013

x =．BDC ?为拼成的三角形； 如图⑤，当DE PB =时，2044x x -=．解得52x =．DPF ?为拼成的三角形。

9.（黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC 中，BC=2AC ，∠DBC=∠ACB，BD=BC ，CD 交线段AB 于点E ．

(1)如图l ，当∠ACB=900

时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为

(2)如图2，当∠ACB=1200时，求证：DE=3CE ：

(3)如图3，在(2)

的条件下，点F

是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G ，△DKG 和△DBG 关 于直线DG 对称(点B 的对称点是点K ，延长DK 交AB 于点H ．若BH=10，求CE 的长

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【答案】解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，∴△DBE∽△CAE。∴BD DE AC CE

=。

又∵BD=BC=2AC，∴DE=2CE。

∴线段DE、CE之间的数量关系为DE=2CE。

（2）证明：如图，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，∴∠D=∠BCD=30°。∴∠ACD=90°。

过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM= 1

2 BC，

∵AC= 1

2

BC，∴BM=AC。

又∵∠BMC=∠ACM=90°，∠MEB=∠CE A，

∴△BME≌△ACE（AAS）。∴ME=CE= 1

2 CM。

∴DE=3EC。

（3）如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，

设BF=a

，BN=

1

2

a，

∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN= 5

2 a。

∴DF 7a

=。

∵AC=

1

2

BC，BF=

1

2

BC，∴BF=AC。

∴△DBF≌△ACB，∴∠BDF=∠CBA，

又∵∠BFG=∠DFB，∴△FBG∽△FDB。

∴

FG BF BG

BF DF DB

==，即BF2=FG×FD，

∴27FG

a a

=?

。∴FG=。

∴DG=DF－

FG=

7

，

DB

BG FG

BF

=?=。

∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH=∠BDF。∴∠ABC=∠GDH。

用心爱心专心16

辽宁吉林黑龙江3省中考数学试题分类解析汇编 专题12 押轴题

用心 爱心 专心 17 又∵∠BGF=∠DGH，∴△BGF∽△DGH，∴BG GF DG GH

=

。∴GF GH DG BG =?=。 ∵BH=BG＋

10=，

，∴a =。

∴BC=2a =

∵DE=3EC，∴EC= 14

【考点】相似三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程-，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论。

（2）通过作辅助线，过点B 作BM⊥DC 于M ，证明△BME≌△ACE，可证得结论。

（3）过点B 作BM′⊥DC 于点M′，过点F 作FN⊥DB 交DB 的延长线于点N ，设BF=a ，在直角三角形BFN 中，用a 分别表示出BN 、FN 的长，利用勾股定理得出DF ，再通过证明△BME≌△ACE，△FBG∽△FDB，利用相似比求得FG 、DG 、BG ，然后，根据△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH 、BH ，求出a 的值，从而求出CE 的长。

10.（黑龙江大庆8分）已知二次函数2(0,0)y ax bx b a b =-+>>)图象顶点的纵坐标不大于－ b 2

． (1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

(2)若该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，求线段AB 长度的最小值．

【答案】解：（1）∵2

(0,0)y ax bx b a b =-+>>图象顶点坐标为（,2b a

2

44ab b a -）， 由已知得2442ab b b a -≤- ，解得32b a ≥。 ∴该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围是不小于3。

（2）设1212( , 0) , ( , 0)()A x B x x x <，则1x 、2x 是方程20ax bx b -+=的两个根。

∴12x x =。

∴21AB x x =-

===由（1）可知6b a

≥。

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用心 爱心 专心 18 由于当6b a

≥时，随着b a

∴当6b a

=时，线段AB 的长度

的最小值为。 【考点】二次函数的性质，二次函数和x 轴的交点与一元二次方程的关系，一元二次方程求根公式。 【分析】（1）先求出2(0,0)y ax bx b a b =-+>>的顶点的纵坐标，根据题意得出

32b a ≥，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围。

（2）设1212(, 0), (, 0)()A x B x x x <，则1x 、2x 是方程20ax bx b -+=的两个根，由求根公式得出1x 、

2x ，根据21AB x x =-求出线段AB 长度的最小值。

11.（黑龙江龙东五市10分）如图，直线AB 与坐标轴分别交于点A 、点B ，且OA 、OB 的长分别为方程x 2－6x +8=0的两个根（OA ＜OB ），点C 在y 轴上，且OA ︰AC=2︰5，直线CD 垂直于直线AB 于点P ，交x 轴于点D 。

（1）求出点A 、点B 的坐标。

（2）请求出直线CD 的解析式。

（3）若点M 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M ， 使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出

点M 的坐标；若不存在，请说

明理由。

【答案】解：（1）∵方程x 2－6x ＋8＝0的根为x 1＝4，x 2＝2，

而OA 、OB 为方程的两个根，且OA ＜OB ，

∴OA＝2，OB ＝4。 ∴ A(0，2)，B(－4，0) 。

（2）∵OA:AC＝2:5，∴ AC＝5。

∴OC=OA+AC=2+5=7。∴ C(0，7)。

∵∠BAO＝∠CAP，∠CPB＝∠BOA＝90O ，∴∠PBD＝∠OCD。

又∵∠ BOA=∠COD=90O ， ∴△BOA∽△COD。

∴BO OA CO OD

=。 ∴ OD=OA CO 277BO 42??==。 ∴D(72，0)。 设直线 CD 的解析式为y kx b =+

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用心 爱心 专心 19 把C(0，7)，D(72，0)分别代入得：7702

b k b =???+=??，解得260k b =-??=?。 ∴直线 CD 的解析式为260y x =-+。

(3)存在，M 1(－5.5 , 3)，M 2(9.5 , 3)，M 3(－2.5 , －3)。

【考点】一次函数综合题，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，平行四边形的性质，平移变换，对称变换。

12.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西10分）已知直线y +x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∠ABC=60°，BC 与x 轴交于点C ．

（1）试确定直线BC 的解析式．

（2）若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动（不与A 、C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动（不与C 、A 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由已知得A 点坐标（－4﹐0），B 点坐标（0﹐

∵OA=4，OB OA

∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形。

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