概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ） 1、若P(A)?1，则A与任一事件B一定独立。（√）

2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。（√） 3、样本空间是随机现象的数学模型。（√）

4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。（×） 5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。（×）

6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。（√）

7、若S为试验E的样本空间，B1,B2,称B1,B2,,Bn为E的一组两两互不相容的事件，则

（×） ,Bn为样本空间S的一个划分。

8、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响，即P(BA)?P(B)，称事件

A、B独立。（√）

9、若事件B1,B2,独立的。（√） 10、若事件B1,B2,,Bn(n?2)相互独立，则其中任意k(2?k?n)个事件也是相互

,Bn(n?2)相互独立，则将B1,B2,,Bn中任意多个事件换成

它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。（√） 二、单选题

1．设事件A和B相互独立，则P(AB)?（ C ）

1?P(A)P(B) A、P(A)?P(B) B、P(A)?P(B) C、1?P(A)P(B) D、

2、设事件A与B相互独立，且0?P(A)?1,0?P(B)?1，则正确的是（ A ）

A、A与A?B一定不独立 C、A与B?A一定独立

B、A与A?B一定不独立 D、A与AB一定独立

3、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（ B ）

A、P(C)?P(A)?P(B)?1

B、P(C)?P(A)?P(B)?1

C、P(C)?P(AB) D、P(C)?P(AB)

4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而 T(1)?T(2)?T(3)?T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（ ）

A、{T(1)?t0} B、{T(2)?t0} C、{T(3)?t0} D、{T(4)?t0}

分析 事件{T(4)?t0}表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0；事件

{T(3)?t0}表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，即E?{T(3)?t0}，选C。

5、对于任意二事件A和B，与AB?B不等价的是（ ）

A、A?B

分析 AB、B?A C、AB?? D、AB??

B?B?A，，而A因A?B,AB?B?A?B?B?A?A?B?B??不一定成立，选D。

6、对于任意二事件A和B，

A、若AB??，则A，B一定独立 B、若AB??，则A，B有可能独立 C、若AB??，则A，B一定独立 D、若AB??，则A，B一定不独立

分析 若P(A),P(B)中至少有一个等于0时，则A不成立；若P(A),P(B)均大于0时，则C不成立；若AB??，但P(A)?0，且P(BA)?P(B)时，则A与B独立，D不

成立，因此应选B。即当AB??时，如果P(AB)?P(A)P(B)，则A与B独立，否则A与B不独立。

7、对于事件A和B，满足P（BA）?1的充分条件是（ ）

A、A是必然事件

（BA）?0 C、A?B D、A?B B、P分析 P（AB）（PA）?1，即P(AB)?P(A)，显然在四个（BA）?1的充分条件是P选项中，当A?B时，AB?A，可得P(AB)?P(A)，因此A?B是P（BA）?1的充分条件。选D

8、已知0?P(B)?1且P[(A1?A2)B]?P(A1B)?P(A2B)，则下列选项成立的是

A、P[(A1?A2)B]?P(A1B)?P(A2B) B、P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B) C、P(A1?A2)?P(A1B)?P(A2B) D、P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)

分析 依题意

P[(A1?A2)B]P(A1B)P(A2B)P(A1B?A2B)P(A1B)?P(A2B)， ???P(B)P(B)P(B)P(B)P(B) 因为0?P(B)?1，故有P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B)。选B 9、设A、B为任意两个事件，且A?B,P(B)?0，则下列选项必然成立的是

A、P（A）P(AB) D、P（A）?P(AB) 分析 因为A?B，故AB?A，又P(B)?1，于是有 P(A)?P(AB)?P(B)P(A?B)B P(，选A)B10、设A、B是两个随机事件，且0?P(A)?1,P(B)?0,P(BA)?P(BA)，则必有（ ）

A、P(AB)?P(AB) B、P(AB)?P(AB) C、P(AB)?P(A)P(B)

D、P(AB)?P(A)P(B)

分析 应用条件概率定义从P(BA)?P(BA)可得

P(AB)P(AB)， ?P(A)P(A)，选C

即[1?P(A)]P(AB)?P(A)[P(B)?P(AB)]?P(AB)?P(A)P(B)

三、填空题

1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），样本空

?i间S为（ S??i?0,1,2,?n?,100n? ）

?2、生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间S为（ S??10,11,1?2 , ）

3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间S为

（S??00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111?）

4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间S为（ 取一直角坐标系，则样本空间为 S?(x,y)x2?y2?1；若取极坐标系，则样本空间为

??S??(?,?)??1,0???2??。 ）

5、设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。

（1）A 发生，B 与C 不发生，（ABC或者A?B?C ） （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（ABC或者AB?C） （3）A，B，C 中至少有一个发生，（ A?B?C）

（4）A，B，C 都发生，（ABC） （5）A，B，C 都不发生，（ABC）

（6）A，B，C 中不多于一个发生，（ABB?CCA?ABC?ABC?ABC?ABC）

或者AB?BC?CA或者

（7）A，B，C 中不多于两个发生，

（D?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC或者

D7?A?B?C?ABC）7（8）A，B，C 中至少有两个发生，（D?AB?BC?CA或者8。 D8?ABC?ABC?ABC?ABC）

6、设A，B是任意两个随机事件，则P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}?（0） 分析 (A?B)(A?B)?AA?AB?AB?BB?B (A?B)(A?B)?AA?AB?AB?BB?B

P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}?P(BB)?P(?)?0

7、一批产品共有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第

二次抽出的是次品的概率为（ ）

分析 此为一全概率问题，设事件 Bi?{第i次抽出次品}，i?1，2，

（B2B1）?111，P（B2B1）?211， 由题有 P（B1）?212，P（B1）?1012，P（BPB）（P2B）B+（P）（于是 P2）=（111B211021P2）B?B???? 11211121168、设A，B两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?（ ）

分析 P(AB)?P(AB)?1?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

因为P(AB)?P(AB)，故有P(A)?P(B)?1，P(B)?1?P(A)?1?p

ABC??,P(A)?P(B)?P(C)，9、设两两相互独立的三事件A，B和C，满足条件：

且已知PABC)?916，则P(A)?（ ） 分析 由于A、B、C两两相互独立，且P(A)?P(B)?P(C)，

所以 ，P(AC)?P(A)P(C)?[P(A)]2，

P(BC)?P(B)P(C)?[P(A)]2，

PABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?3P(A)?3[P(A)]2依题意，有 3P(A)?3[P(A)]2?916， 解方程，得P(A)?14。 （P(A)?34不合题意舍去）

10、设两个相互独立的事件A和B 都不发生的概率为19，A发生B 不发生的概率与B发生 A不发生的概率相等，则P(A)?（ ）

分析 依题意，P(AB)?P(AB)，故 P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)，

即P(A)?P(B)，又因A与B相互独立，故A与B亦相互独立，

P(AB)?P(A)P(B)?[P(A)]2?19?P(A)?13,P(A)?23。

四、计算题

1、（1）设A，B，C 是三个事件，且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8，求A，B，C 至少有一个发生的概率。

(2)已知P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/5，P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30,求A?B，AB，????C，ABC，ABC，???C的概率。

（3）已知P(A)=1/2，(i)若A，B互不相容，求P(A?)，（ii）若P(AB)=1/8，求P(A?)。

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