2018年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附解析）

2018年成都市高2016届高三第一次诊断考试

数学试题(理科)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A?{x?Z|(x?1)(x?2)?0}，B?{x|?2?x?2}，则AB?

（A）{x|?1?x?2} （B）{?1,0,1} （C）{0,1,2} （D）{?1,1} 2．在?ABC中，“A??2”是“cosA?”的 424（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 （A）3:1 （B）2:1 （C）1:1 （D）1:2

正视图侧视图77?19154c?log4．设a?()，b?()，，则a, b, c的大小顺序是 2997俯视图 （A）b?a?c （B）c?a?b （C）c?b?a （D）b?c?a

5．已知m,n为空间中两条不同的直线，?,?为空间中两个不同的平面，下列命题中正确

的是

（A）若m//?,m//?，则?//? （B）若m??,m?n，则n//?

（C）若m//?,m//n，则n//? （D）若m??,m//?，则???

6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 7．已知菱形ABCD边长为2，?B?

开始 输入k S?0,n?0 n?k? 否 是 S?S?2n?2 n?n?1 输出S ?，点P满足AP??AB，3结束 ??R．若BD?CP??3，则?的值为

1 21（C）

3（A）

1 21（D） ?

3（B）?

1

x2y28．过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线两条

ab1渐近线的交点分别为B,C.若AB?BC，则此双曲线的离心率为

2（A）10 （B）5 （C）3 （D）2

?x?y?4?0?9．设不等式组?x?y?2?0表示的平面区域为D.若指数函数y?ax(a?0且a?1)的图

?y?2?0?象经过区域D上的点，则a的取值范围是

（A）[2，3] （B）[3,??) （C）(0，] （D）[,1)

10．如果数列{an}中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{an}为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列{an}，如果函数y?f(x)使得

1313bn?f(an)仍为一个“亚三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的一个“保亚三角形函

数”（n?N）.记数列{cn}的前n项和为Sn，c1?2016，且5Sn?1?4Sn?10080，若，则{cn}的项数n的最大值为 g(x)?lgx是数列{cn}的“保亚三角形函数”（参考数据：lg2?0.301，lg2016?3.304） （A）33 （B）34 （C）35 （D）36

*第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设复数z满足?iz?(3?2i)(1?i)（其中i为虚数单位），则z? ． 12． (x?2)7的展开式中，x的系数是 ． 4 13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，

其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x甲，x乙，则x甲?x乙的概率是 ．

14．如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行

2甲 7 5 9 8 7 9 2 乙 6 4 1 42x的一部分，栏栅与矩形3区域边界交于点M，N．则?MON面积的最小值

隔离，古建筑群的边界为曲线y?1?为 ．

15．已知函数f(x)???log2(2?x),0?x?k?x?3x?3,k?x?a32 .若存在k使得函数

f(x)的值域为[?1,1]，则实数a的取值范围是 ．

2

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的公比q?1，且2(an?an?2)?5an?1． （Ⅰ）求q的值；

2 （Ⅱ）若a5?a10，求数列{an}的前n项和Sn． 3n 17．（本小题满分12分）

某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分．现从中任意选取三道题组成问卷，记随机变量X为此问卷的总分． （Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）求X的数学期望E(X)． 18．（本小题满分12分）

已知向量m?(cos2x,3131sinx?cosx)，设函数sinx?cosx)，n?(1,2222f(x)?mn．

（Ⅰ）求函数f(x)取得最大值时x取值的集合；

C为锐角三角形ABC的三个内角.若cosB? （Ⅱ）设A，B，

31，f(C)??，求sinA54的值．

19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD?平面ABCD，且FD?3．

（Ⅰ）求证：EF//平面ABCD；

E （Ⅱ）若?CBA?60?，求二面角A?FB?E的余弦值． B 20．（本小题满分13分）

FCDAx2y2??1的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A,B的任意一已知椭圆E:32点.

（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率之积；

3

（Ⅱ）设Q(t,0)(t??3)，过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

12ax?(1?a)x?lnx(a?R)． 2 （Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的单调递减区间；

已知函数f(x)?? （Ⅱ）当a?0时，设函数g(x)?xf(x).若存在区间[m,n]?[,??)，使得函数g(x)在

12[m,n]上的值域为[k(m?2)?2,k(n?2)?2]，求实数k的取值范围．

4

数学（理科）参考答案及评分意见

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.B； 2.B； 3.C； 4.C； 5.D； 6.A； 7.A； 8.B； 9.D； 10.A.

第II卷（非选择题，共100分）

二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.1?5i； 12.?280； 13.

22; 14.； 15.[2,1?3]. 53三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ）

2 .2(an?an?2)?5an?1, ?2(an?anq)?5anq由题意，得an?0，?2q?5q?2?0.

21?q?2或.

2q?1，?q?2. ……………………6分

2（Ⅱ）a5?a10,?a1?2.

?429?(aq)?aq.11

?an?a1qn?1?2n.

an2n?(). n3322[1?()n]2n?133……………………12分 ?2?n.?Sn?231?3

17．解：（Ⅰ）由题意，X的所有可能取值为15，20，25，30.

21C?CC3154∵P(X?15)=3?，P(X?20)=435?,C921C914

2C1104?C5，P(XP(X?25)=?C3219∴X的分布列为： 15 X 1 P 21C355 ?30)=3?，C94220 25 30 5 1410 215 42 ………………7分 （Ⅱ）E(X)?15?1510570?20??25??30??. ………………12分 21142142331sinx?cosx)2 2218.解：（Ⅰ）f(x)?cos2x?(313?cos2x?(sin2x?cos2x?sinxcosx)

442

5

?133?(?cos2x?sin2x) 24413?……………………3分 ?sin(2x?).223

?要使f(x)取得最大值，须满足sin(2x?)取得最小值.

?3???2k??,k?Z. 32?……………………5分 ?x?k??,k?Z.12

??当f(x)取得最大值时,x取值的集合为{x|x?k??,k?Z}. ……………………6分

12?2x?（Ⅱ）由题意，得sin(?2C)???33. 2??2???C?(0,),??2C?(?,).?C?. ………………9分

32333?4B?(0,)，?sinB?.

25?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC

41334?33?????. ………………12分 52521019.解：（Ⅰ）如图，过点E作EH?BC于H，连接HD.

?EH?3.

平面ABCD?平面BCE，EH?平面BCE， 平面ABCD平面BCE于BC，

FECHBAD?EH?平面ABCD.

又

FD?平面ABCD，FD?3.

?FD//EH.

?四边形EHDF为平行四边形. ?EF//HD.

EF?平面ABCD，HD?平面ABCD,

?EF//平面ABCD. ………6分 （Ⅱ）连接HA.由（Ⅰ），得H为BC中点，又?CBA?60?，?ABC为等边三角形，

?HA?BC.分别以HB,HA,HE为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.

则B(1,0,0),F(?2,3,3),E(0,03),A(0,3,0).

6

BF?(?3,3,3)，BA?(?1,3,0)，BE?(?1,0,3).

???n1?BF?0??3x1?3y1?3z1?0设平面EBF的法向量为n1?(x1,y1,z1).由?得?，.令

???n1?BE?0??x1?3z1?0z1?1，得n1?(3,2,1).

??n2?BF?0设平面ABF的法向量为n2?(x2,y2,z2).由?，??n2?BA?0???3x2?3y2?3z2?0得?.令y2?1，得n2?(3,1,2). x???x2?3y2?0BzECHAFDy?cos?n1,n2??n1?n23?2?27??.

|n1|?|n2|3?1?487. ………………………12分 8故二面角A?FB?E的余弦值是?20.解：（Ⅰ）A(?3,0),B(3,0).设点P(x,y)(y?0).

x2y2x222??1，即y?2(1?)?(3?x2). 则有3233?kPA?kPB2(3?x2)yyy2???2?32??. …………………4分

x?33x?3x?3x?32（Ⅱ）令M(x1,y1)，N(x2,y2).由?MN与x轴不重合，∴设lMN:x?my?t(m?R).

?x?my?t222得(2m?3)y?4mty?2t?6?0. ，22?2x?3y?6?0????16m2t2?4(2m2?3)(2t2?6)?0??4mt?……（*） ??y1?y2?.22m?3??2t2?6?y1?y2?2m2?3?

由题意,得AM?AN.即AM?AN?0.

x1?my1?t,x2?my2?t,

?AM?AN?[my1?(t?3)][my2?(t?3)]?y1y2?0.

7

?(1?m2)y1y2?m(t?3)(y1?y2)?(t?3)2?0.

2t2?6?4mt?m(t?3)?(t?3)2?0. 将（*）式代入上式,得(1?m)222m?32m?322222222222t?6?2mt?6m?4mt?43mt?(2m?3)(t?23t?3)?0. 即

展开，得2t?6?2mt?6m?4mt?43mt?2mt?43mt

2222222222?6m2?3t2?63t?9?0.

整理，得5t?63t?3?0.解得t??23或t??3（舍去）. 5经检验，t??3能使??0成立. 5故存在t??3满足题意. …………………………13分 521.解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??①当a?(0,1)时，

(ax?1)(x?1)(a?0).

x1?1. a11由f?(x)?0，得x?或x?1.∴当x?(0,1)，x?(,??)时，f(x)单调递减.

aa1∴f(x)的单调递减区间为(0,1),(,??).

a②当a?1时，恒有f?(x)?0，∴f(x)单调递减. ∴f(x)的单调递减区间为(0,??).

1③当a?(1,??)时，?1.

a11由f?(x)?0，得x?1或x?.∴当x?(0,)，x?(1,??)时，f(x)单调递减.

aa1∴f(x)的单调递减区间为(0,),(1,??).

a1综上，当a?(0,1)时，f(x)的单调递减区间为(0,1),(,??)；

a当a?1时，f(x)的单调递减区间为(0,??)；

1当a?(1,??)时，f(x)的单调递减区间为(0,),(1,??). .………6分

a2（Ⅱ）当a?0时，g(x)?x?xlnx,x?(0,??)，g?(x)?2x?lnx?1，[g?(x)]??2?1.x 8

11?0，∴g?(x)在[,??)上单调递增. x2111又g?()?ln2?0,?g?(x)?g?()?0在[,??)上恒成立.

2221?g(x)在[,??)上单调递增.

2当x?[,??)时，[g?(x)]??2?2??m?mlnm?k(m?2)?2. 由题意，得?2??n?nlnn?k(n?2)?212原问题转化为关于x的方程x2?xlnx?k(x?2)?2在[,??)上有两个不相等的实数根. .……9分

12x2?xlnx?21即方程k?在[,??)上有两个不相等的实数根.

2x?2x2?xlnx?21,x?[,??). 令函数h(x)?x?221x2?3x?2lnx?42p(x)?x?3x?2lnx?4,x?[,??). 则h?(x)?. 令函数22(x?2)(2x?1)(x?2)1在[,??)上有p?(x)?0.

x21故p(x)在[,??)上单调递增.

2则p?(x)?p(1)?0，

1?当x?[,1)时，有p(x)?0即h?(x)?0.∴h(x)单调递减；

2当x?(1,??)时，有p(x)?0即h?(x)?0，∴h(x)单调递增.

102?10ln2102?1023119ln2???h()， h()??，h(1)?1,h(10)?12123221059ln2].…………14分 ?k的取值范围为(1,?105

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数学（文科）参考答案及评分意见

9

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．B； 2．B； 3．C； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．A； 9．D； 10．B．

第II卷（非选择题，共100分）

二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．1?5i； 12．-1； 13．

2； 14．3； 15．1． 5三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ）

2(an?an?2)?5an?1, ?2(an?anq2)?5anq.

由题意，得an?0，?2q2?5q?2?0.

1?q?2或.

2q?1，?q?2. ……………………6分

2（Ⅱ）a5?a10,429?(aq)?aq. 11

?a1?2.

?an?a1qn?1?2n.

an2n?(). 3n322[1?()n]2n?133……………………12分 ?2?n.?Sn?231?3

?17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M，9道题中难题有A1，A4，

A6，A7四道.

∴P(M)?4.……………6分 9

（Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N，则基本事件为：{A1,A4}，

{A1,A6}，{A1,A7}，{A4,A6}，{A4,A7}，{A6,A7}共6个；难题中有且仅有A6，A7的

难度系数相等. ∴P(N)?1.……………12分 6

18．解：（Ⅰ）f(x)?531cos2x?sinxcosx?sin2x 424?53sin2x31?cos2x133??????(?cos2x?sin2x) 4222224413?……………………3分 ?sin(2x?).223

10

?

要使f(x)取得最大值，须满足sin(2x?)取得最小值.

?3FECHD???2x??2k??,k?Z.

32?

?x?k??,k?Z.12……………………5分

BA?当f(x)取得最大值时,x取值的集合为{x|x?k??（Ⅱ）由题意，得sin(?2C)???,k?Z}. ……………………6分 12?33. 2??2???C?(0,),??2C?(?,).?C?. ………………9分

32333?4B?(0,)，?sinB?.

25?sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC

41334?33 ………………12分 ?????.525210

19．解：（Ⅰ）如图，过点E作EH?BC于H，连接HD.

?EH?3.

平面ABCD?平面BCE，EH?平面BCE， 平面ABCD平面BCE于BC，

?EH?平面ABCD.

又

FD?平面ABCD，FD?3.

?FD//EH.

?四边形EHDF为平行四边形.

?EF//HD.

EF?平面ABCD，HD?平面ABCD,

?EF//平面A. BC……

…6分

（Ⅱ）连接CF,HA.由题意,得HA?BC.

HBECFDDAHA?平面ABCD,平面ABCD?平面BCE于BC，

?HA?平面BCE.

FD//EH，EH?平面BCE，FD?平面BCE， ?FD//平面BCE.

11

同理，由HB//DA可证，DA//平面BCE.

FDDA于D，FD?平面ADF，DA?平面ADF，

?平面BCE//平面ADF.

?F到平面BCE的距离等于HA的长. FD为四棱锥F?ABCD的高, ?VEFABCD?VF?BCE?VF?ABCD

1111?SBCE?HA?SABCD?FD??3?3??23?3 3333?3. ……………………………12分

20．解：（Ⅰ）A(?3,0),B(3,0).设点P(x,y)(y?0).

x2y2x222??1，即y?2(1?)?(3?x2). 则有

32332(3?x2)2yyy2???2?32??. ……………………4分

x?33x?3x?3x?33(t?R). 5?kPA?kPB（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN与x轴不重合，∴设直线lMN:x?ty??343144?x?ty?,得(2t2?3)y2?由?ty??0. 5525?2x2?3y2?6?0??43t?5?y1?y2?2?2t?3.由题意,可知??0成立，且?……（*）

144???25yy?122?2t?3 ?AM?AN?(x1?3,y1)(x2?3,y2)?(ty1?4348t(y1?y2)?. 5254343)(ty2?)?y1y2 55?(t2?1)y1y2?将（*）代入上式，化简得

1442144482t??t48482t2?348252525AM?AN?????2??0. 22t?325252t?325?

12

∴AM?AN，即以MN为直径的圆恒过点A． ………………13分 21.解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??①当a?(0,1)时，

(ax?1)(x?1)(a?0).

x1?1. a11由f?(x)?0，得x?或x?1.∴当x?(0,1)，x?(,??)时，f(x)单调递减.

aa1∴f(x)的单调递减区间为(0,1),(,??).

a②当a?1时，恒有f?(x)?0，∴f(x)单调递减. ∴f(x)的单调递减区间为(0,??).

1③当a?(1,??)时，?1.

a11由f?(x)?0，得x?1或x?.∴当x?(0,)，x?(1,??)时，f(x)单调递减.

aa1∴f(x)的单调递减区间为(0,),(1,??).

a1综上，当a?(0,1)时，f(x)的单调递减区间为(0,1),(,??)；

a当a?1时，f(x)的单调递减区间为(0,??)；

1当a?(1,??)时，f(x)的单调递减区间为(0,),(1,??). ………6分

a12（Ⅱ）g(x)?x?xlnx?k(x?2)?2在x?[,??)上有零点，

2x2?xlnx?21即关于x的方程k?在x?[,??)上有两个不相等的实数根.

2x?2x2?xlnx?21,x?[,??). 令函数h(x)?x?221x2?3x?2lnx?42p(x)?x?3x?2lnx?4,x?[,??). 则h?(x)?. 令函数22(x?2)(2x?1)(x?2)1在[,??)上有p?(x)?0.

x21故p(x)在[,??)上单调递增.

2则p?(x)?p(1)?0，

?当x?[,1)时，有p(x)?0即h?(x)?0.∴h(x)单调递减；

当x?(1,??)时，有p(x)?0即h?(x)?0，∴h(x)单调递增.

12 13

102?10ln2102?1023119ln2???h()， h()??，h(1)?1,h(10)?12123221059ln2].…………14分 ?k的取值范围为(1,?105

14

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