大学普通物理学 中国农业出版社 参考答案

练习题一解答

1-2 某质点作直线运动，其运动方程为x?1?4t?t2，其中x以m计，t以s计。求：（1）第3s末质点的位置；（2）前3s内的位移大小；（3）前3s内经过的路程。

解 （1）第3s末质点的位置为

x?3??1?4?3?32?4（m）

x?3??x?0??4?1?3（m）

（2）前3s内的位移大小为

（3）因为质点做反向运动时有v?t??0，所以令3s内经过的路程为

dx?0，即4?2t?0，t?2s，因此前dtx?3??x?2??x?2??x?0??4?5?5?1?5（m）

1-3 已知某质点的运动方程为x?2t，y?2?t2，式中t以s计，x和y以m计。试求：（1）质点的运动轨迹并图示；（2）t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度；（3）1s末和2s末质点的速度；（4）1s末和2s末质点的加速度；（5）在什么时刻，质点的位置矢量与其加速度矢量恰好垂直？

解 （1）由质点运动方程x?2t，y?2?t2，消去t得质点的运动轨迹为

x2y?2?（x＞0）

4运动轨迹如图1-2

（2）根据题意可得质点的位置矢量为

y (0,2) r??2t?i?2?t2j

所以t?1s到t?2s这段时间内质点的平均速度为

??o (22,0) x v??rr?2??r?1???2i?3j（m·s-1） ?t2?1题1-3图

（3）由位置矢量求导可得质点的速度为

??drv??2i??2t?j

dt所以1s末和2s末质点的速度分别为

v?1??2i?2j（m·s-1）和v?2??2i?4j（m·s-1）

（4）由速度求导可得质点的加速度为

dva???2j

dt所以1s末和2s末质点的加速度为

a?1??a?2???2j（m·s-2）

（5）据题意有

r?a??2(2?t2)?0

解得

t?2（s），t??2(舍去)

1-5 已知质点的初始位置矢量和速度矢量为

r?0??Rj，v?t??v0?cos?ti?sin?tj?

其中R、?、v0均为常数，试求质点的运动方程及轨迹方程。

解：由v?dr，可得 dtdr?vdt

将上式对t积分得

r?t??r?0??v?t?dt?v0?cos?ti?sin?tj?dt?t0?t0??所以

v0?v0?sin?ti?cos?tj?t0

??sin?ti??1?cos?t?j??v0v0?r?t??sin?ti???cos?t?R?j

?????运动方程为

v0x?v0?sin?t，y?v0??R?v0?cos?t

将上两式中消去t得质点轨迹方程为

v0???v0?2x??y?R???????????22

1-8 一质点沿x轴运动，其加速度与速度成正比，方向与运动方向相反，即a??kv，初始位置、初速度分别为x0、v0，试求质点位移随时间变化的关系式。

解 由题意知

a?分离变量后做定积分

dv??kv dt?得 即

tdv??kdt v0v0v?lnv??ktv?v0e?kt

dx?v0e?kt，得 利用v?dtdx?v0e?ktdt

再次将上式积分

?得

xx0dx??ve00t?ktdt

x?x0?v01?e?ktk??

1-9 已知质点沿半径R?0.2m的轨道做圆周运动，其角位置随时间变化关系为

??t3?3.0t2?4.0t，式中?的单位是rad，t的单位是s，试求：（1）t?2.0s到t?4.0s这

段时间内的平均角加速度？（2）t?2.0s时，质点的加速度为多少？

解 （1）由题意知??t3?3.0t2?4.0t 所以

??d??3t2?6.0t?4.0 dt当t?2.0s时 当t?4.0s时 于是

?1?3?2.02?6.0?2.0?4.0?4.0（rad?s?1） ?2?3?4.02?6.0?4.0?4.0?28.0（rad?s?1）

?????2??128.0?4.0???12.0（rad?s?2） ?tt2?t14.0?2.0（2）t?2.0s时的速度大小

v??R?4.0?0.2?0.8（m?s?1）

角加速度 切向加速度大小为

??d??6.0t?6.0?6.0?2.0?6.0?6.0（rad?s?2） dtat?R??0.2?6.0?1.2（m?s?2）

法向加速度大小为 加速度大小为

v20.64an???3.2（m?s?2）

R0.22a?at2?an?3.22?1.22?3.42（m?s?2）

1-10 一质点从静止出发沿半径为R?1m的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是??12t2?6t（rad?s?2），试求该质点的角速度?和切向加速度a?。

解 因为 所以

??d??12t2?6t dt d??12t2?6tdt

??积分上式有

??0d????12tt02?6tdt

?故质点的角速度为

??4t3?3t2（rad?s?1）

切向加速度为

at?R??12t2?6t（m?s?2）

练习题二解答

2-1 如图所示，质量M?10kg的物体，放在水平面上，已知物体与地面间的静摩擦系

F o 题2-1用图

? 数为?s?0.40。今要拉动这物体，试求所需要的最小拉力的大小与方向。

解 在水平地面上，物体受重力Mg，地面支持力N，物体与地面间摩擦力f，外力F（与水平面夹角为?），如题2-1a图所示。根据牛顿第二定律，物体刚好可以运动时，其加速度a?0，摩擦力为最大静摩擦力，于是有

x方向：

Fcos??f?Ma=0 （1）

y N F y方向： Fsin??N?Mg （2）

f??sN （3）

联列求解式（1）、（2）、（3）得

o f Mg ? x

?sMgF =

?ssin??cos?题2-1a图

d??ssin??cos???0 d?tg???s ??tg?1?s?21.8?

得

F=36.4（N）

所以，所需要的最小的拉力是36.4N，它与水平向右方向的夹角??21.8?。

2-3如图所示，m1?0.5kg，两物体和斜面间的摩擦，滑轮轴上的摩擦可忽略，绳和滑轮质量不计，并且绳子不可伸长。求：（1）当m2?0.4kg时，系统运动的加速度多大，绳子的张力是多少？（2）当m2多大时，

m1 m2 600 题2-3用图 系统匀速运动？这时绳子的张力又是多大？

解：（1）分别以m1、m2为研究对象，画出m1、m2的隔离体受力图，如题2-3a图所示。

300 设m1沿斜面下滑，m2沿斜面向上运动，系统的加速度为a，分别建立xoy坐标系。由牛顿定律对m1、m2可分别列出方程

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