《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

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《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》

学习要求：

1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。

2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。

3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。 4．了解三角形的稳定性。 知识要点：

一、三角形中的边角关系

1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。

2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法

是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。

3．三角形各角之间的关系：

①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。 ②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4．三角形的分类

①三角形按边的关系可以如下分类：

?不等边三角形?三角形??底和腰不相等的等腰三角形

?等腰三角形?等边三角形??②三角形按角的关系可以如下分类：

?直角三角形Rt?(有一个角为直角的三角形)?三角形??锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)

?斜三角形?钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)??5．三角形具有稳定性。

知识结构：

二、命题与证明

1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。

2．命题都可以写成：“如果??，那么??。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。 3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。 4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。 5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。 6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。

7．定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。

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8．命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质： （1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。

（2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。 （3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。

（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （7）等腰三角形的判定与性质。 （8）直角三角形的判定与性质。 9．反证法

①假设，②推理，③矛盾，④结论。

《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》练习题

一、填空题： 1．三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是_______ ____，这个三角形是_______ ____ 三角形。

2．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_______ ____。 3．三角形的三边长分别为a?1，a，a?1，则a的取值范围是_______ ____。 4．三角形的三边为1，1?a，9，则a的取值范围是_______ ____。

5．已知a，b，c为ΔABC的三条边，化简(a+b-c) －|b－a－c|＝_______ ____。

6．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm， 求AD的长。 7．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，△CBD的周长为28 cm，则DB＝_______ ____。

C

D

E

AB

8. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为_______ ____。 9. 等腰三角形的周长为20cm，

（1）若其中一边长为6cm，则腰长为_______ ____； （2）若其中一边长为5cm，则腰长为_______ ____。

10．等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，则△ABC的周长的取值范围是_______ ____。

11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为

_______ ____。

12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为

_______ ____。

13．写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_______________________________。

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14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______ ____。 15．三角形的最小角不大于_______ ____度，最大角不小于_______ ____度。

16．三角形的三个内角中至少有_______ ____个锐角，三个外角中最多有_______ ____个锐角。 17．在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝_______ ____度。 18．在△ABC中，∠A ＝

11∠B＝∠C，则∠B＝_______ ____。 2319．如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A＝_______ ____。

20．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，则∠BDC的度数是_______ ____。

21．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC＝_______ ____。 22．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝

20°，则∠2的度数为_______ ____。

AA

B CD 12BF EDC

（第20题图） （第21题图） （第22题图）

23．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外（如图），若∠2＝20°，则

∠1的度数为_______ ____。 24．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现 ∠BOC＝90°＋ 1∠A，理由如下： 2∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 11∠ABC，∠2＝∠ACB 221∴∠1＋∠2＝ (∠ABC＋∠ACB) 2∴∠1＝又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A ∴∠1＋∠2＝11 (180 °－∠A)＝90°－∠A 2211∠A）＝90°＋∠A。 22∴∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－（90°－探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请 说明理由。 探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只 写结论，不需证明）。 结论： 。 http://blog.sina.com.cn/hudazhu

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25．如图，已知∠A＝80°，

（1）若点O为两角平分线的交点，则∠BOC＝_______ ____； （2）若点O为两条高的交点，∠BOC＝_______ ____。

26. 如图，△ABC的面积等于12cm2，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE＝2EC，O为DC与BE交点，若△DBO的面积为acm2，△CEO的面积为bcm2，则a?b?_______ ____。

27．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP。若∠BPC＝50°，则

∠PAC＝_______ ____度。

（第25题图） （第26题图） （第27题图）

28．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______ ____度。

二、选择题：

1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm，7cm两根木棒围成一个三角形的（ ） A．7cm B．4cm C．3cm D．10cm

2．若ΔABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 3．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（ ）

A.－6＜a＜－3 B.－5＜a＜－2 C.2＜a＜5 D.a＜－5或a＞－2

5. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011，则满足条件的三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1

7．等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ） A．7 B．11 C．7或11 D．不能确定

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8．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 9．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数（ ）

A．60° B．75° C．90° D．120° 10．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（ ）

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 11．三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 12．在ΔABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么ΔABC是（ ）

A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形 13. 三角形中，最大角?的取值范围是（ ）

A. 0????90? B. 60????180? C. 60????90? D. 60????180?

14．在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（ ）

A．30° B．36° C．45° D．72°

15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）

A.45° B.135° C.45°或135° D.以上答案都不对 16．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1＋∠2的大小为（ ）

A．130° B.230° C.180° D.310° 17．已知如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°则∠DFE等于（ ）

A.120° B.115° C.110° D.105°

C

E

1

A 2 D B

（第16题图） （第17题图）

18．在△ABC中，∠B＝50°，AB＞AC，则∠A的取值范围是（ ）

A．0°＜∠A＜180° B．0°＜∠A＜800

C．50°＜∠A＜130° D．80°＜∠A＜130°

19．若?、?、?是三角形的三个内角，而x????，y????，z????，那么x、y、z中，锐角的个数的错误判断是（ C ）

A．可能没有锐角 B．可能有一个锐角

C．可能有两个锐角 D．最多一个锐角

20．如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是

（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 21．在ABC中

⑴如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°?12∠A； ⑵如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝

12∠A； http://blog.sina.com.cn/hudazhu

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1∠A。 2⑶如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－上述说法正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个

D．3个

22. 如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE 的中点，且S?ABC?4cm，则S阴影

等于（ ）

A.2cm B.1cm C.

2

2

21212

cm D.cm2423．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（ ）

A．315° B．270° C．180° D．135°

5. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（ ） A. ∠1＝2∠2 B. 2∠1＋∠2＝180° C. ∠1＋3∠2＝180° D. 3∠1－∠2＝180°

24. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（ ）

A. ∠1＝2∠2 B.

C. D.

（第22题图） （第23题图） （第24题图）

/

25．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部A的位置，则∠A′、∠1与∠2的数量关系，结

论正确是（ ）

A．∠1＝∠2＋∠A′ B．∠1＝2∠2＋2∠A′ C．2∠1＝∠2＋∠A′ D．∠1＝2∠A′＋∠2 26．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于D，若∠B＝50°，则∠ADC＝（ ）

A．60° B．80° C．65° D．40°

27．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC＝35°，则∠CAP＝（ ）

A.45° B.50° C.55° D.65°

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（第25题图） （第26题图） （第27题图）

三、解答下列各题：

1．△ABC的三边长分别为4、9、x，

⑴求x的取值范围；

⑵求△ABC周长的取值范围； ⑶当x为偶数时，求x；

⑷当△ABC的周长为偶数时，求x； ⑸当△ABC周长是5的倍数时，求x； ⑹若△ABC为等腰三角形，求x。

2．已知△ABC的三条边为整数，且a2?b2?4a?2b?5?0，求c的值。

3．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断： （1）a∥b；（2）b⊥c；（3）a⊥b；（4）a∥c；（5）a⊥c。

以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。

4．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。

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5．有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？

6．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD 的平分线相交于A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的大小是多少？

AA1 A2 BCD

第3题图

7．在△ABC中，∠A＝50°，高BE，CF所在的直线交于点O，求∠BOC的度数。

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8．（1）已知如图（a），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，则∠EAD与∠B，∠C有何数

量关系？

（2）如图（b），AE平分∠BAC，F为其上一点，且FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？

（3）如图（c），AE平分∠BAC，F为AE延长线上一点，FD⊥BC于D，这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？

9．如图，P为△ABC内任意一点，求证：

⑴∠BPC ＞∠A；

⑵∠BPC＝∠ABP＋∠A＋∠ACP； ⑶AB＋AC＞PB＋PC。

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10. 如图中的几个图形是五角星和它的变形

（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E。

（2）图（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E如图（2），

说明你的结论的正确性。

（3）把图（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？如图（3），

说明你的结论的正确性。

11．如图已知△ABC中，∠B和∠C外角平分线相交于点P。

（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝70°，求∠BPC度数。 （2）若∠ABC＝α，∠BPC＝β，求∠ACB度数。

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12．△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点。 （1）如果纸片沿直线脚折叠，使点A′正好落在线段AC上，如图1，此时∠A与∠BDA′的关系是 ； （2）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的内部，如图2，试猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是

；

（3）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的外部，如图3，则此时∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是

，请说明理由。

13．如图所示，BE、CD交于A点，∠C和∠E的平分线相交于F。 （1）试求：∠F与∠B，∠D有何等量关系？ （2）当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，x为多少？

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14．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有几个？

15．有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知ΔABC的三边长分别是a，b，c。且a、b、c

的值满足等式|b＋c－2a|＋（b＋c－5）2

＝0，求b的取值在什么范围？”。你能解答这道题吗？

16．在 ΔABC中，∠A＞∠B＞∠C ，且∠A＝4∠C，求∠B的范围。

17．在△ABC中，∠A是最大角，∠C是最小角，且∠A＝2∠C，求∠C的取值范围。

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《第13章 三角形中的边角关系》练习题答案

一、填空题：

1．8，等腰。 2．2。 3．a?2。 4．?9?a??7 5．2b－2c。 6．AD＝13cm。 7．8cm； 8. 9。 9.（1）6cm或7cm；（2）

152cm。 10．周长＞12。 11．1。 12．10厘米或223厘米。 13．有两个角相等的三角形是等腰三角形； 14．20°或120°； 15．60，60； 16．2，1；

17．120°； 18．60°； 19．30°或120°； 20．95°； 21．50°； 22．解：如图，∵∠CEF＋∠CFE＋∠C＝∠A＋∠B＋∠C，

∴∠CEF＋∠CFE＝∠A＋∠B＝85°＋55°＝140°， 又将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内， ∴∠C′EF＋∠C′F＝∠CEF＋∠CFE＝140°， ∴∠CEC′＋∠CEC′＝140°＋140°＝280°， ∵∠1＝20°，

∴∠2＝180°×2－∠CEC′＋∠CEC′－∠1＝360°－280°－20°＝60° 故答案为：60。 23．解：如图，

∵∠A＝65°，∠B＝75°，

∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠C′＝∠C＝40°，

而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，

∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝20°， ∴∠3＋20°＋∠4＋40°＋40°＝180°， ∴∠3＋∠4＝80°，

∴∠1＝180°－80°＝100°。 故答案为100。 24．∠BOC＝

12∠A，∠BOC＝90°－12∠A； 25. （1）130°；（2）100°或80°；

26. 2；

27．解：延长BA，做PN⊥AD，PF⊥BA，PM⊥BC，

设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD，

∴∠BCP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，

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∴PF＝PM，

∵∠APC＝50°，

∴∠BAP＝∠PAC＝（x－50）°，

∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝2x°－（x°－50°）－（x°－50°）＝100°， ∴∠CBF＝100°，

在Rt△PFB和Rt△PMB中， PA＝PA，PM＝PF， ∴Rt△PFB≌Rt△PMB， ∴∠FAP＝∠PAC＝40°。

28．50°。 二、选择题：

1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26．C 27．C。 考点：三角形内角和定理。

分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案。

解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM，

∵∠BPC＝35°，

∴∠ABP＝∠PBC＝（x－35）°，

∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－35°）－（x°－35°）＝70°， ∴∠CAF＝110°，

在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA＝PA，PM＝PF， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA， ∴∠FAP＝∠PAC＝55°。 故选C。

三、解答下列各题： 1．⑴5＜x＜13；

⑵18＜△ABC的周长＜26；

⑶当x为偶数时， x＝6、8、10、12；

⑷当△ABC的周长为偶数时， x＝7、9、11； ⑸当△ABC周长是5的倍数时，x＝7、12； ⑹若△ABC为等腰三角形，x＝9。

2．a?2，b?1，1?c?3，则整数c?2。

3．答案不惟一，如果a∥b，b?c，那么a?c；如果b?c，a?b，那么a∥c；如果b?c，a?c， 那么a∥b等。

4．要画图，写已知、求证、证明。

5．6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12）

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6．3°。

7．∠BOC＝50°或130°；

8．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠C

∵ AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝

∵∠BAC＝180°－∠B －∠C ∴∠EAC＝

1∠BAC， 2111（180°－∠B －∠C）＝90°－∠B －∠C， 22211∠B －∠C－（90°－∠C） 22∴∠EAD＝∠EAC－ ∠CAD

＝90°－＝

1(∠C－∠B)。 21(∠C－∠B)。 2 （2）如图（b），过A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝

∵AG⊥BC，∵FD⊥BC， ∴∠AGC＝∠FDG＝90°， ∴FD∥AG，

∴∠EFD＝∠EAG， ∴∠EFD＝

1(∠C－∠B)。 21(∠C－∠B)。 2 （3）如图（c），过点A作AG⊥BC于G，由（1）知∠EAG＝

∵AG⊥BC，∵FD⊥BC， ∴∠AGB＝∠FDC＝90°， ∴FD∥AB，

∴∠AFD＝∠EAG， ∴∠AFD＝

1(∠C－∠B)。 2

说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。 9．延长BP交AC于D。

⑴∠BPC＞∠PDC＞∠A；

⑵∠BPC＝∠PDC＋∠ACP；∠PDC＝∠A＋∠ABP； ∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP。 ⑶∵AB＋AD＞BD。 PD＋DC＞PC。

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∴AB＋AD＋PD＋DC＞BD＋PC。 ∴AB＋AC＞PB＋PC。

10.（1）180°。

（2）无变化。理由:∠CAD＋∠B＋∠C＋∠E＝∠CAD＋∠EAD＋∠BAC＝180°。 （3）无变化。

理由:∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°。 11．解：（1）∠BPC＝180°－（＝180°－11∠EBC＋∠BCF） 2211（∠EBC＋∠BCF）＝180°－（180°－∠ABC＋180°－∠ACB） 221＝180°－（180°－30°＋180°－70°） 2＝50°； （2）∠BPC＝180°－＝1（180°－∠ABC＋180°－∠ACB） 21（∠ABC＋∠ACB）， 21（α＋∠ACB）。 2∵∠BPC＝β，∠ABC＝α， ∴β＝故∠ACB＝2β－α。

12．解：（1）∠BDA′＝2∠A；

根据折叠的性质可知∠DA′E＝∠A，∠DA′E＋∠A＝∠BDA′，故∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，

理由：在四边形ADA′E中，∠A＋∠DA′E＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，

∴∠A＋∠DA′E＝360°－∠ADA′－∠A′EA，

∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°， ∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA， ∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠DA′E， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E，

∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；

（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，

理由：如图3，DA′交AC于点F，

∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′， ∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′， ∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′，

∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E，

∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。

故答案为：（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。

13．解：（1）由图可得：∠D＋∠1＝∠3＋∠F①

∠2＋∠F＝∠B＋∠4②

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

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∴①－②得：∠B＋∠D＝2∠F；

（2）设∠B＝2k，则∠D＝4k

∴∠F＝3k， ∴∠B∶∠D∶∠F＝2k∶4k∶3k＝2∶4∶x， ∴x＝3。

14．111、222、333、122、133、144、223、233、234。

15．解：对于已知|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2

＝0，由于绝对值与平方数都大于或等于0，

所以要使已知等式成立，只能是 |b＋c－2a|＝0，(b＋c－5)2＝0， 由此可得：a＝52，c＝5－b， 利用三角形‘两边之差小于第三边’的性质，可得： ①b－c＜a， b－(5－b)＜52 ∴b＜154， ②c－b＜a ， (5－b)－b＜52， ∴b＞54， 综合得，b的取值范围是：5154＜b＜4。 16．∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＝4∠C，5∠C＋∠B＝180°＜6∠B ， ∠B＞30°。 同理54∠A＋∠B＝180°＞9/4∠B，∠B＜80°。 所以 30°＜∠B＜80°。 17．36°≤∠C ≤45°。

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