毕达哥拉斯定理的证明

毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤 南京大学匡亚明学院

摘 要：

欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。

关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德

毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理： ? 定义：

【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。

【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。

【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。

【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。 ? 公设：

【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线. 【共设2】一条有限直线可以继续延长.

【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。 【共设4】凡直角都彼此相等。

【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 ? 公理：

【公理1】等于同量的量彼此相等。 【公理2】等量加等量，其和仍相等。

【公理3】等量碱等量，其差仍相等。 【公理4】彼此能重合的物体是全等的。

根据给出的上述定义，公设，公理，进行下列命题的证明。证明段落中出现的【 】表示该段证明所用的论据。

? 【命题1】命题：在一个已知有限直线上作一appear个等边三角形。

命题 1

设AB是已知有限直线。

那么，要求在线段AB上作一个等边三角形。 以A为中心，且以AB为距离画圆【共设3】

再以B为心，且以BA为直为距离画圆ACE；【共设３】 由两圆的交点C到A,B连线CA，CB .【共设１】 因为，点A是圆CDB的圆心，AC等于BA。【定义2】

又点B是圆CAE的圆心，BC等于BA，【定义2】但是，已经证明CA等于AB;所以线段CA，CB都等于AB。

而且等于同量的量彼此相等，【公理1】. 三条线段CA , AB，BC彼此相等.

所以三角形ABC是等边的，即在已知有限直线AB上作出了这个三角形. 这就是所要求作的.

? 【命题2】命题：由一个已知点(作为端点)作一线段等于已知线段

命题 2

设A是已知点，BC是已知线段，那么，要求由点A(作为端点)作一线段 等于已知线段BC.

由点A到点B连线段BC,【共设1】而且在AB上作等边三角形DAB，【命题1】

延长DA，DB成直线AE，BF,【共设2】 以B为心，以BC为距离画圆CGH.【共设3】 再以D为心，以DG为距离画圆GKL【共设3】 . 因为点B是圆CGH的心，故BC少等于BG .【定义2】 且点B是圆CGH的心，故BC等于BG.【定义2】 又DA等于DB,所以余量AL等于余量BG【公理3】

但已证明了BC等于BG，所以线段AL，BG的每一个都等于BG又因等丁同量的量彼此相等.【公理1】

所以，AL也等于BC。

从而，由已知点A作出了线段AL等于一已知线段BC. 这就是所要求作的。

? 【命题3】命题：已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使

它等于另外一条。

命题 3

设AB，C是两条不相等的线段，且AB大于C. 这样要求由较大的AB上截取一段等于较小的C，

由点A取AD等于线段C【命题2】，且以A为心，以D为距离画圆DEF。【公设3】

因为点A是圆DEF的圆心，故AE等于AD【定义2】

但C也等于AD，所以线段AE，C的每一条都等于AD;这样AE也等于C。 【公理1】

所以，已知两条线段AD、C，由较大的AB上截取了AE等于C。 这就是所要求作的。

? 【命题4】命题：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，

则两三角形全等。（SAS定理）

命题 4

证明：

设ABC，DEF是两个三角形，两边AB，AC 分别等于边DE、DF，即AB等于DE， 且AC等于DF，以及角BAC等于角EDF。

如果移动三角形ABC到三角形DEF上，若点A落在D上且线段AB落在DE上，因为AB=DE，那么， 点B也就与点E重合。

又，AB与DE重合，因为角BAC等于角EDF，线段AC也与DF重合。 因为AC等于DF，故点C也与点F重合。 又，B与E重合，故底BC也与底EF重合。

这样，整个三角形ABC与整个三角形DEF重合，由【公理4】，他们全等。命题得证。

? 【命题5】命题：在等腰三角形中，两底角彼此相等，并且若向下延长两腰，

则在底以下的两个角也彼此相等

命题 5

证明：

设ABC是一个等腰二角形，边AB等于边AC，且延长AB，AC成 直线BD，CE.【共设2】

则可证角ABC等于角ACB，且角CBD等于角BCE.

在BD上任取点F，且在较大的AE截取一段AG等于较小的AF，【命题3】 连接FC和GB.【共设1】

因为AF等于AG，AB等于AC，两边FA ,AC分别等于边GA、AB，且它们包含着公共角FAG .

所以底FC等于底GB，且三角形AFC个等于三角形AGB，其余的角也分别相等，即相等的边所对的角，也就是角ACF等于角AGB，角AFC等于角AGB【命题4】

又因为，整体AF等于整体AG，且在它们中的AB等于AC，余量BF等于余量CG.

【公理3】

但是已经证明了FC等于GB；

所以，两边BF，FC分别等于两边CG、GB，且角BFC等于角CGB . 这里底BC是公用的;所以，三角形BFC也全等于三角形CGB; 又，其余的角也分别相等，即等边所对的角. 所以角FBC等于角GCB，且角BCF等于角CBG.

由以上已经证明了整个角ABG等于角ACF，且角CBG等于角BCF，其余的角ABC等于其余的角ACB。【公理３】

又它们都在三角形ABC的底边以上.

从而，也就证明了FBC等于角GCB，且它们都在三角形的底边以下。 证完。

? 【命题6】命题：在已知线段上(从它的两个端点)做作出相交于一点的二线

段，则不可能在该线段(从它的两个端点)的同侧作出相交于另一点的另外二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同端点的线段相等.

命题 6

证明：

因为，如果可能的话，在已知线段几召以上作出交于点C的两条线段AC、CB.设在儿AB同侧能作另外两条线段AD，DB相交于另外一点D.而且这二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同的端点。这样CA等于DA，它们有相1司的端点A，且CB等于DB，它们也有相同的端点B，连接CD。

因为，AC等一于AD，角ACD也等于角ADC。【命题5】 所以，角ADC大于角DCB，所以角CDB比角DCB更大。

又，因为CB等于DB,且角CDB也等于角DCB.但是已被证明了它更大于它:这是不可能的。

证完。

? 【命题7】命题：如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边并且

一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等.

命题 7

证明：

设.ABC，DEF是两个三角形，两边AB、AC分别等于两边DE 、DF，即AB等于DE，且

AC等于DF，又设底BC等于底EF. 则可证角BAC等于角EDF.

若移动三角形ABC到三角形DEF，且点B落在点E上，线段BC在EF上，点C也就和F重合.

事实上，BC等于EF .

故BC和EF重合，BA、AC也和ED，DF重合.

因为，若底BC与底EF重合，且边BA、AC不与ED，DF重合而落在它们旁边的及EG，GF处.

那么，在已知线段(从它的端点)以卜有相交于一点的已知两条线段，这时，在同一线段(从它的端点)的同一侧作出了交于另一点的另外两条线段，它们分别等于前面二线段，即每一交点到同一端点的连线。

但是，不能作出后二线段.【命题6】

如果把底BC移动到底EF，边BA，AC和ED，DF不重合，这是不可能的.因此，它们要重合。这样一来，角BAC也重合于角EDF,即它们相等.

证完。

? 【命题8】命题：二等分一个已知直线角。

命题 8

设角BAC是一个已知直线角，要求二等分这个角.

设在AB任意取一点D，在AC上截取AE等于AD;【命题3】连接DE，且在DE上作一个等边三角形DEF，连接AF.

则可证角BAC被AF所平分.

因为AD等于AE，且AF公用，两边DA，AF分别等于两边EA，AF 又底DF，等于底EF;

所以，角DAF等于角EAF【命题7】 从而，直线AF，二等分已知直线角BAC. 作完。

? 【命题9】命题：二等分已知有限直线.

命题 9

设AB是已知有限直线，那么，要求二等分有限直线AB. 设在AB上作一个等边一角形ABC【命题1】.

且设直线CD二等分角ABC .则可证线段AB被点D二等分.【命题8】 事实卜，由于AC等于CB，且CD公用，两边AC，CD分别等于两边BC，CD且角ACD等于角BCD

所以，底AD等于底BD。【命题4】 从而，将已知有限直线AB二等分于点D 作完。

? 【命题10】命题：由已知直线上的一已知点作一直线和已知直线成直角。

命题 10

证明：

设AB是已知直线，C是它边上的已知点。那么，要求由点C作一直想和直线AB成直角。

设在AC上任取一点D，且使CE等于CD。【命题3】 在DE上作一个等边三角形FDE。【命题1】 连接FC。

命题 16

设AB是已知直线，A为它上面的一点，角DCE为已知直线角。 于是要求由已知直线AB上已知点A作一个等于给定直线角DCE的角。 在直线CD，CE上分别人妖去点D，连接DE。

用等于三条线段CD，DE，CE的三条线段作三角形AFG，其中CD等于AF，CE等于AG，DE等于FG。【命题15】

因为两边DC，CE分别等于两边FA，AG；且底DE等于底FG；角DCE等于角FAG。

所以，在已知直线AB和它上面一点A作出了等于已知直线角DCE的直线角FAG。

作完。

? 【命题17】命题：如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两

个角，而且一边等于另一个的一边。即或者这边是等角的夹边，或者是等角的对边甲则它们的其他的边也等于其他的边，且其他的角也等于其他的角。

命题 17

证明：

设ABC，DEF'是两个三角形，其中两角ABC，BCA分别等于两角DEF，EFD，即角

ABC等于角DEF，且角BCA等于角EFD;又设它们还有一边等于一边，首先假定它们是等角所夹的边，即BC等于EF.

则可证它们的其余的边也分别等于其余的边，即AB等于DE，AC等于DF，且其余的角也等于其余的角，即角BAC等于EDF .

因为，如果AB不等于DE，其中一个大于另一个.令AB是较大的，取BG等于DE;且连接GC.

则因BG等于DE，且BC等于EF，两边GB，BC分别等于DE，EF而且角GBC等于角DEF所以底GC等于底DF.

又三角形GBC全等于三角形DEF，这样其余的角也等于其余的角，即那些与等边相对的角对应相等.【命题4】

所以角GCB等于角DEF.

但是，由假设DEF等于角BCA，所以角BCG等于角BCA,则小的等于大的；这是不可能的.

所以AB不是不等于底DE，

因而等于它，但是，BC也等EF，故两边AB分别等于两边DE，EF ,且角ABC等于角DEF所以，底AC等于底DF。且其余的角BAC等于其余的角EDF.【命题4】

再者，设对着等角的边相等，例如AB等于DE.

则可证其余的边等于其余的边，即AC等于DF且BC等于EF，还有其余的角BAC等于其余的角EDF.

事实上，如果BC不等于EF，其中有一个较大.

设BC是较大的，如果可能的话，且令BH等于EF;连接AH.那么，因为BH等于EF，且AB等于DE ,两边AB , BH分别等于两边DE，EF,且它们所夹的角相等;

所以底AH等于底DF。而三角形ABH全等于三角形DEF，并且其余的角将等于其余的角，即那些对等边的角相等;【命题4】

所以角BHA等于角EFD，但是角EFD等于角BCA;于是，在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA，

这是不可能的，【命题14】

所以BC不是不等于EF,于是就等于它.

但是，AB也等于DE，所以两边AB，BC分别等于两边DE，EF而且它们所夹的角也相等;

所以，底AC等于DF,

三角形ABC全等于三角形DEF,且其余的角BAC等于其余的角EDF【命题4】 证完。

? 【命题18】如果一直线和两直线相交所形成的错角彼此相等，则这二直线互

相平行。

命题 18

设直线EF和二直线AB，CD相交成错角AEF，EDF彼此相等。 则可证明AB平行于CD。

事实上，若不平行，当延长AB，CD时，它们或者在B，D方向或者在A，C方向相交于G，那么，在三角形GEF中，外角AEF等于角EGF；这是不可能的。【命题14】

所以，AB，CD经延长后在B，D方向不相交。 类似的，可以证明它们不在A，C一方相交。

但是，二直线既然不在任一方相交，就是平行。【定义4】

所以AB平行于CD。 证完。

? 【命题19】命题：一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同

位角相等，且同旁内角的和等于二直角.

命题 19

证明：

设直线EF与两条平行直线AB，CD相交。

则可证错角AGH，GHD相等;同位角EGB，GHD相等;且同旁内角BGH，GHD的和等于二直角.

事实上，若角AGH不等于角GHD，设其中一个较大，设较大的角是AGH.给这二个角都加上角AGH，则角AGH，BGH的和大于BGH，GHD的和。

但是角AGH，BGH的和等于二直角故角BGH，GHD的和小于二直角，【命题11】但是将二直线无限延长，则在二角的和小于二直角这，侧相交.【共设5】 所以，若无限延长AB，CD则必相交，但它们不相交，因为，由假设它们是平行的.故角AGH不能不等于角GHD,即它们是相等的。

又，角AGH等于角GHD【命题13】 所以，角EGB也等于角GHD.【公理1】

给上面两边各加角BGH，则角EGB，BGH的和等于角BGH，GHD和.【公理2】 但角EGB，BGH的和等于二直角.所以，角BGH，GHD和等于二直【命题11】 证完

? 【命题20】过已知一点作一直线平行于已知直线

命题 20

设A是一已知点，BC是已知直线。于是，要求经过这个点A作一直线平行

于直线BC。

在BC上任取一点D，连接AD；在直线DA上的点A，作角DEA等于角ADC。【命题16】

而且设直线AF是直线EA的延长线。

这样，直线AD就和两条直线BC，EF相交成彼此相等的错角EAD，ADC。 所以，EAF平行于BC【命题18】

从而，经过已知点A作出了一条平行于已知直线BC的直线EAF。 作完。

? 【命题21】命题：在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等

分其面片。

命题 21

证明：

设ABCD是平行四边形面片，BC是对角线。

同理，BA也与AH在同一条直线上。

又因为角DBC等于角FBA；因为每一个角都是直角；给以上两个角各叫上角ABC；

所以，整体角DBA等于整体角FBC。【公理2】

又因为DB等于BC，FB等于BA；两边AB，BD分别等于两边FB，BC。 又角ABD等于角FBC；所以底AD等于底FC，且三角形ABD全等于三角形FBC。【命题4】

现在，平行四边形BL等于三角形ABD的二倍，因为它们有同底BD且在平行线BD，AL之间。【命题24】

又正方形GB是三角形FBC的二倍，因为它们有同底FB且在相同的平行线FB，GC之间。【命题24】

故，整体正方形BDEC等于两个正方形GB，HC的和。【公理2】

而正方形BDEC是再BC上作出的，正方形GB，HC是在BA，AC上作出的。 所以，在边BC上的正方形等于边BA，AC上正方形的和。

所以，BC边的平方等于BA边的平方加上AC边的平方。【公式1】 证完。

参 考 文 献：

欧几里德《几何原本》，陕西科学技术出版社 2003年6月第二版。

则可证平行四边形ABCD的对边相等，对角线BC二等分其面片。 事实上，因为AB平行于CD，且直线BC与它们相交的错角ABC与BCD彼此相等。【命题19】

又因为AC平行于BD，且BC和它们相交，内错角ACB与CBD相等。【命题19】

所以，ABC，DCB是具有两个ABC，BCA分别等于角DCB，CBD的三角形，且一条边等于一条边，即与等角相邻且是二者公共的边BC。

所以，它们其余的边也分别等于其余的边，且其余的角也相等。【命题17】 所以边AB等于CD，AC等于BD，且角BAC等于角CBD。

角ABC等于角BCD，且角CBD而已角ACB，整体角ABD等于整体角ACD。【公理2】

而且也证明了角BAC等于角CBD。

所以，在平面四边形中，对边相等，对角彼此相等。 其次，可证对角线也二等分其面片。 因为，AB等于CD，且BC公用。

两边AB，BC分别等于两边DC，CB，且角ABC等于角BCD，所以，底AC等于底DB，且三角形ABC全等于三角形DCB。【命题4】

所以，对角线BC二等分平行四边形ABCD。 证完。

? 【命题22】在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。

命题 22

设ABCD，EBCF是平行四边形，它们有同底BC且在相同二平行线AF，BC之间。

则可证ABCD等于平行四边形EBCF。

因为，由于ABCD是平行四边形，故AD也等于BC。【命题21】 同理也有EF等于BC，这样AD也等于EF。【公理1】 又DE公用，所以整体AE等于整体EF【公理2】 但AB也等于DC。【命题21】

所以两边EA，AB分别等于两边FD，DC，且角FDC等于角EAB，这是因为同位角相等。【1.29】

所以，底EB等于底FC。

且三角形EAB全等于三角形FDC。【1.4】 由上边每一个减去三角形DGE，

则剩余的梯形ABGD仍然等于剩余的梯形EGCF 【公理3】 给上边每一个加上三角形GBC，

则整体平行四边形ABCD等于整体平行四边形EBCF。【公理2】 证完。

? 【命题23】在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。

命题 23

设三角形ABC，DBC同底且在相同二平行线AD，BC之间。 则可证三角形ABC等于三角形DBC。

向两个方向延长AD至E，F，过B作BE平行于CA。【命题31】 过C作CF平行于BD

因图形EBCA，DBCF都是平行四边形，且它们相等。 因它们在同底BC上且在二平行线BC，EF之间。【命题22】

此外，三角形ABC是平行四边形EBCA的一半，因为对角线AB二等分它。【命题21】

又三角形DBC是平行四边形DBCF的一半，因为对角线DC平分它。【命题21】

但是相等的量的一半也彼此相等。 所以，三角形ABC等于三角形DBC。 证完。

? 【命题24】命题：如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之

间。则平行四边形是这个三角形的二倍。

命题 24

证明：

因为可设平行四边形ABCD和三角形EBC有共同的底BC，又在相同二平行线BC，AE之间。

则可证平行四边形ABCD是三角形BEC的二倍。 连接AC。

那么，三角形ABC等于三角形EBC，因为二者有同底BC，又在相同的平行线BC，AE之间。【命题23】

但是平行四边形ABCD是三角形ABC的二倍，这是因为对角线AC二等分ABCD。【命题21】

这样一来，平行四边形ABCD也是三角形EBC的二倍。 证完。

? 【命题25】命题：在已知线段上作一个正方形

命题 25

设AB是已知线段；要求在线段AB上作一个正方形。

令AC是从线段AB上的点A所画的直线，它与AB成直角。【命题10】 取AD等于AB；

过点D作DE平行于AB，过点B作BE平行于AD，所以ADEB是平行四边形；从而AB等于DE，且AD等于BE。【命题21】

但是，AB等于AD，所以四条线段BA、AD、DE、EB彼此相等；所以平行四边形ADEB是等边的。

其次，又可证四个角都是直角。

由于线段AD和平行线AB，DE相交，角BAD，ADE的和等于二直角。又角BAD是直角；故角ADE也是直角。【命题21】

所以，对角ABE，BED的每一个角也是直角，从而ADEB是直角的。并且它也是等边的。【定义3】

所以，它是在线段AB上做成的一个正方形。

作完。

根据上述25个命题的证明，下面给出毕达哥拉斯定理的主证明： 补充公式：

【公式1】正方形面积等于其边长的平方。

【主证明】命题：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

证明：

设ABC是直角三角形，已知角BAC是直角。 则可证BC上的正方形等于BA，AC上正方形的和。

事实上，在BC上作正方形BDEG，且在BA，AC上作正方形GB，HG。【命题25】

过A作AL平行于BD或GE，连接AD，FG。

因为角BAC，BAG的每一个都是直角，在一条直线上BA上得一个点A有两条直线AC、AG不在它的同一侧所成的量邻角的和等于二直角，于是CA与AG在同一条直线上。【命题12】

同理，BA也与AH在同一条直线上。

又因为角DBC等于角FBA；因为每一个角都是直角；给以上两个角各叫上角ABC；

所以，整体角DBA等于整体角FBC。【公理2】

又因为DB等于BC，FB等于BA；两边AB，BD分别等于两边FB，BC。 又角ABD等于角FBC；所以底AD等于底FC，且三角形ABD全等于三角形FBC。【命题4】

现在，平行四边形BL等于三角形ABD的二倍，因为它们有同底BD且在平行线BD，AL之间。【命题24】

又正方形GB是三角形FBC的二倍，因为它们有同底FB且在相同的平行线FB，GC之间。【命题24】

故，整体正方形BDEC等于两个正方形GB，HC的和。【公理2】

而正方形BDEC是再BC上作出的，正方形GB，HC是在BA，AC上作出的。 所以，在边BC上的正方形等于边BA，AC上正方形的和。

所以，BC边的平方等于BA边的平方加上AC边的平方。【公式1】 证完。

参 考 文 献：

欧几里德《几何原本》，陕西科学技术出版社 2003年6月第二版。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m5ef.html