四进五强化班数学讲义

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目录

第1讲 植树问题（一） ???????????? 2 第2讲 植树问题（二） ???????????? 10 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第10讲 第11讲 第12讲 第13讲 第14讲 数列的认识 ???????????? 18 等差数列的基本概念和性质 ??????????? 24 等差数列求和 ???????????? 30 方阵问题 ???????????? 36 倍数问题（一） ???????????? 44 倍数问题（二） ???????????? 52 年龄问题 ???????????? 56 鸡兔问题（一） ???????????? 62 鸡兔问题（二） ???????????? 70 盈亏问题 ???????????? 78 周期问题 ???????????? 86 还原问题 ???????????? 94

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第1讲 植树问题（一）

专题引导：

在我们的生活中，经常遇到这样的问题“在一条长500米的公路上，每隔50米架一根电线杆，问共要架多少根电线杆？”有些同学会很快想到，用500÷50=10（根），10＋1=11（根），我们划划线段图就可以分析发现，这仅仅是其中的一种可能，公路的两端都架电线杆就是这种情况，那如果我们一端架一端不架，或是两端都不架呢，情况自然就不同了。像这一类的问题就是我们今天要学习的植树问题。 一、概念及相关知识：

1、植树问题是研究在植树过程中有关棵数与段数之间的关系，它们之间的关系中段数相对固定，棵数则因线路类型和具体种植要求会作一定变化。 2、植树问题的线路有封闭和不封闭两种。

2、基本数量关系：

①总距离÷间隔距离＝段数； ②不封闭线路：

1）两端都植树：棵数就比段数多一棵，如图：

棵数=段数＋1=路长÷间距＋1；

2）一端植树，一端不植树：棵数就比两端都植树时少一棵，即棵数和段数相等。如图：

棵数=段数=路长÷间距；

3）两端都不植树：那么棵数比一端植树还少一棵，如图：

棵数=段数-1=路长÷间距-1； ③封闭线路：棵树等于段数，如图： 棵数=段数=路长÷间距

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3、要解决植树问题，首先要牢记三要素：①总线段长；②间距；③棵数。只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个。 例题精讲

例1：一段公路长3600米，在公路两旁:每隔9米栽一棵梧桐，两端都栽。那么共要准备好树苗多少棵？

解析：两端都栽，树苗的棵数比段数多1，每边需要树苗：3600÷9+1=401（棵），

两旁都栽，需要树苗数是401棵的2倍。 共要准备好树苗：（3600÷9+1）×2=802（棵）

答：共要准备树苗802棵。

例2：长120米的公路两旁从头到尾种树62棵（两行），树间间距相同，求相邻两树之间的距离是多少？

解析： 62÷2=31（棵）······单行树数

31-1=30(个)······间隔数 120÷30=4（米）······间距

答:相邻两棵树之间的距离是4米。

例3：在相距100米的两楼之间种树，每隔10米种一棵。那么共种树多少棵？ 解析：在两楼之间种树，属于两端都不栽树的情况，即树的棵数比段数少1。

共种树：100÷10-1=9（棵）

答：共种树9棵。

例4：在一条长2500米的公路的一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若一端不架，共需架多少根？

解析：一端不架，属于一端栽树，一端不栽树的情形，数的棵数和段数相等。

共需架：2500÷50=50（根）

答：共需架电线杆50根。

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例5：有一圆形花坛，绕它一圈120米，如果沿着一圈每隔6米栽一棵丁香，再在每相邻的两棵丁香之间等距离种2棵月季。那么共可栽丁香和月季各多少棵？ 解析：120米圆形花坛，每隔6米栽一棵丁香，属于封闭型植树问题，棵数等于段数，也等于路长除以间距，故可种丁香：120÷6=20（棵）；20棵丁香可将花坛分为20段，故月季的棵数是（20×2）棵。

共可栽丁香：120÷6=20（棵）； 可栽月季：20×2=40（棵） 答：共可栽丁香20棵，月季40棵。

例6：某校参加运动会的学生有1000人，排成10路纵队并排入场进行开幕式，前后每两人间隔1米。那么整个队伍有多长？

解析：1000人排成10路纵队，每路纵队有人：1000÷10=100（人），100人相当于100棵树，且属于两端都栽的情形，故100人有（100-1）个间隔，由每两人间隔1米，进而求出整个队伍的长度。

整个队伍有：（1000÷10-1）×1=99（米）

答：整个队伍长99米。

例7：一座桥全长168米，计划在桥的两侧的栏杆上各安装16块花纹图案，每块图案的横长为3米，靠近桥头的图案距离桥端都为15米，求相邻两块图案之间相隔几米？

解析：桥全长减去两桥头的图案到桥端的距离，则余下的部分可看作是由16块花纹图案组成的两端栽树的情形，但此时间距的总长度应为桥全长减去桥头图案到桥端的距离再减去花纹图案本身所占据的长度，

即间距总长为：168-15×2-16×3=90（米），两端栽树型中，间隔数比树的棵数少1，所以间隔数为（16-1）个。

相邻两块图案之间相隔：（168-15×2-16×3）÷（16-1）=6（米）

答：相邻两块图案的间隔是6米。

例8：两棵树相隔115米，在它们之间以相等距离增加22棵树后，第16棵与第1棵之间相隔多少米？

解析：原有的两棵树加上增加的22棵树共（2+22）棵树，属于两端植树的不封

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闭情形，共有间隔数（2+22-1）个，每个间隔的长度是：115÷（2+22-1）=5（米），第16棵与第1棵之间有（16-1）个间隔。

第16棵与第1棵之间相隔：115÷（2+22-1）×（16-1）=75（米）

答：第16棵与第1棵之间相隔75米。

【随堂练习】

1、在一条长300米的大路两旁种树，每隔5米栽一棵，如果起点和终点都种一棵，一共种多少棵树？

2、小明站在一棵梧桐树下，公路旁每隔8米栽一棵梧桐树，小明骑自行车出发5分钟又连续看到125棵梧桐树，小明每分钟骑多少米？

3、在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等，求相邻两盏彩灯之间的距离。

4、在一条路上按相等的距离植树。甲、乙二人同时从路的一端某一棵树出发，当甲走到从自己这边数的第22棵时，乙刚走到从他那一边数的第10棵树。已知乙每分钟走36米，求甲每分钟走多少米？

小结：植树问题的概念；

植树问题的线路类型------封闭与不封闭； 数量关系；

解决植树问题的三要素：①总线段长；②间距；③棵数。

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第2讲 植树问题（二）

专题引导：

上一讲中，我们系统的学习了植树问题，其实植树问题不仅仅局限于“植树”上，我们在日常生活中更多的是将植树原理运用到各个方面。植树原理简单的说，就是研究个数与间隔之间的数量关系，而在很多情况下，我们要将其他问题转化成植树问题进行分析，比如上一讲中的例7，就是将安装图案的问题转化成了植树问题。 知识要点

植树问题的数量关系通过类比被广泛应用于各类关于个数和间隔之间的问题的处理，而且还常被推广应用于方阵、点阵的研究中。 例题精讲

例1、数列4，7，10，13，??298，301共有多少项？

解析：可看作每个数的位置都栽一棵树，则每两棵树之间的间距都为3，总长是（301-4），又其属于两端都植树的不封闭型，项数比间距数多1。

共有：（301-4）÷3+1=100（项） 答：这个数列共100项。

思考：用我们学过的等差数列的知识做一做。

例2、将一根大小均匀的木头锯成6段要30分钟，那么如果是锯成9段将要多少时间？

解析：锯木头可看作是两端都不植树的不封闭型，锯的次数比段数少1，锯6段需要锯（6-1）次，每次需要时间：30÷（6-1）=6（分钟）；锯成9段需要锯（9-1）次，需要时间6×（9-1）分钟。

锯成9段将要：30÷（6-1）×（9-1）=48（分钟）

答：锯成9段将要48分钟。

例3、有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开，某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10层需要多少秒？

解析：此题从1层走到3层实际上走的每层之间的楼梯，所以可看作两端都植树的不封闭型植树问题，即间隔数比层数少1，间隔数为（3-1）个，每个间隔所

用时间为：30÷（3-1）=15（秒）；同样的道理，从3层到10层走了（10-3）个

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间隔，需要时间15×（10-3）秒。 从3层走到10层需要：

30÷（3-1）×（10-3）=105（秒） 答：他从第3层到第10层共需105秒。

例4、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完，那么12点钟敲12下，多少秒敲完？ 解析：敲4下间隔为（4-1）个，每个间隔的时间是：6÷（4-1）=2（秒）；敲12下，间隔数为（12-1），需要时间2×（12-1）秒。

敲完要：6÷（4-1）×（12-1）=22（秒）

答：22秒敲完。

例5、有海、陆、空三支士兵组成的仪仗队，每军种队伍400人，都排成8纵队并排前进，陆军前后每两人隔1米，海军前后每两人隔2米，空军前后每两人隔3米，每军种队伍之间隔4米。三军种士兵每分钟都走80米，那么这支仪仗队通过98米长的检阅台要多少时间？

解析：每军种每纵队有人：400÷8=50（人），50人有间隔数（50-1）个，三军种间有间隔数（3-1）个，即陆军队伍长：1×（50-1）=49（米），海军队伍长：2×（50-1）=98（米），空军队伍长：3×（50-1）=147（米），总队伍长：49+98+147+4×（3-1）=302（米），仪仗队要通过98米长的检阅台，则行的总路程为仪仗队队伍的长度加上检阅台的长度，即总路程是（302+98）米。

每军种每纵队有人：400÷8=50（人）； 每军种有间隔数：50-1=49（个）

通过98米长的检阅台要：[1×49+2×49+3×49+4×（3-1）+98]÷80=5（分钟）

答：队伍通过检阅台要5分钟。

例6、李大爷在马路边散步，路边均匀地栽着一行树。李大爷从第1棵树走到第15棵树用了7分，李大爷又往前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树时共用了30分。李大爷散步到第几棵树时开始往回走？

解析：从第1棵树走到第15棵树，走了（15-1）个间距，1个间距用时：7÷（15-1）=0.5（分钟），30分钟可以走间距：30÷0.5=60（个），回到第5棵树时，还差（5-1）个间距回到原处，即李大爷走了（60+5-1）÷2个间距就开始往回走，

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是第（60+5-1）÷2+1棵树。

李大爷走了间距数：30÷[7÷（15-1）]=60（个） 开始往回走时散步到第：（60+5-1）÷2+1=33（棵） 答：大爷散步到第33棵树开始往回走。

例7、建湘路一侧原有木电线杆97根，每相邻两根相距40米，现在全部换成大型水泥电线杆，每相邻两根相距60米，求现在需要水泥电线杆多少根？共有多少根无需另找位置？

解析：路长为：（97-1）×40=3840（米），全部换成大型水泥电线杆，需要水泥电线杆（3840÷60+1）根，而即在40的倍数，又是60的倍数的位置，即在40和60的最小公倍数的位置无需另找位置。

路长：（97-1）×40=3840（米）；

现在需求水泥电线杆：3840÷60+1=65（根）

40和60的最小公倍数：[40，60]=120；无需另找位置的有：3840÷120+1=33（根）

答：现在需要电线杆65根，共33根不需要另找位置。

例8、甲、乙两站分别是某路电车的起点和终点，每隔5分有一辆电车从甲发往乙，全程要15分。小明从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站，他出发时恰有一辆电车进站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到甲站，到达时又恰好有一辆从甲站正准备出发。求小明从乙到甲用了多久？

解析：小明从乙站到甲站共遇到（1+10+1）辆公共汽车，此时，他所遇到的车还有（15÷5）辆车没有进入乙站，进入乙站的只有：（1+10+1）-15÷5=9（辆），即小明从乙站到达甲站的时间内，只有9辆车进入乙站，共（9-1）个时间间隔。

小明从乙到甲用了：[（1+10+1）-15÷5-1]×5=40（分钟） 答：小明从乙到甲用了40分钟。 【随堂练习】

1、在等差数列3，12，21，30，39，48，??中，912是第几个数？

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2、一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟。已知每锯一段要3分钟，这根原木长多少米？

3、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到17楼时，乙跑到多少层楼？

4、某校五年级有（1）（2）（3）三个班，（1）（2）（3）班的人数分别为32人、36人、40人，现在这三个班参加该校运动会入场式，每个班4人为一行，前后每行之间相隔1米，每两个班之间相隔2米，主席台长12米，他们以每分钟20米的速度通过主席台，问：全年级一共需要多少分钟才能全部通过主席台？

5、河堤上有一排树共100棵，从左往右数，第78棵起往右都是一班种的；从右往左数，第67棵起往左都是三班种的；其余的是二班种的。问：二班种了多少棵？

6、在一根长100厘米的木棍上，从左往右每隔6厘米点一个红点，从右往左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？

小结：植树原理的运用最重要的是深刻的理解植树原理的内涵，对题目进行仔细

的分析，找到什么是树，什么是间隔，以及它们的数量关系。

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第3讲：数列的认识

专题引导：

有一列数1，2，3，4，5??；请问这列数的第9个数是多少？第99个数是多少？

分析：从1开始按照自然数的顺序排列，第1个数是1，第2个数是2??第9个数就是9，第99个数是99。那么像这样的一列数字就叫做数列。 问题：究竟什么是数列？数列到底有哪些性质呢？

一、数列的系列概念

1、数列的定义：按一定规律排列的一列数叫数列。 含义：数→按规律→列出

2、数列的项与项数：

数列中的每个数叫做数列的项。数按顺序排列于数列的第几位叫第几项。排在第一位的数叫做这个数列的第1项通常叫首项，排在最后一位的叫末项。例：1，3，5，7??5位于数列的第3项，也就是“5”的项数为3。这个“几”叫做项数。 练习：1，3，5，7，9??中11，49的项数是几？

二、数列的基本性质及按性质分类。 1、数列性质的观察 例：1，3，5，7，9??

性质分析①整数②逐渐增大③相邻两项的差相等④奇数⑤无限多项 练习：1，4，7，10，13有哪些性质呢？

2、数列的分类方法

①按数列中项的个数来分类：

项数有限的数列为“有限数列”，如数列：1，3，5，7，9，11，13??101；共512项，所以它是“有限数列”；

项数无限的数列为“无限数列”，如数列：1，3，5，7，9??有无数多个项，所以 它是“无限数列”。

②按数列中项的变化规律来分类：

从第2项起每一项都大于它的前一项的数列叫做“递增数列”； 如：1，2，3，4，5，6，7，8??100，它是递增数列。 从第2项起每一项都小于它的前一项的数列叫做“递减数列”；

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如：100，99，98，97??2，1

数列中各项都相等的数列叫做“常数列”

如：1，1，1，1，1??1，这个数列的每项都是“1”，所以它是常数列。

3、数列的重要类型：

①等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个差叫做等差数列的公差。

如：最常见的等差数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8??，自然数列。每相邻两项，后项减前项的差均为1，所以它是等差数列。

练习：请同学们判断，下面的数列是不是等差数列，对的打“√”，错的打“×”。 （1）数列1，3，5是等差数列。

②递推数列：

一般地，具有某递推关系的数列，就叫递推数列。例如，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89??这个数列从第3项起每项等于前两项之和，那么这就是它的递推关系，这就是一个递推数列。我们通常把这个数列叫做斐波拉契数列。

③周期数列：数列的各项呈周期性（有规律反复出现）变化的数列叫做周期数列：如，1，2，3，4，1，2，，3，4，1，2，3，4??数列由项“1”，“2”，“3”，“4“有规律反复出现而形成。所以它是周期数列。

三、数列性质的应用。

例：观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 （1）5，9，13，17， ， 。 （2）1，4，9，16， ， 。 （3）4，5，7，11，19， ， 。

分析：各个数列的排列规律，一般是按顺序依次对这个数列中相邻的数进行相同的四则运算，根据计算结果进行比较，从中找到规律。

（1）依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是4。故后两空依次填21，25。 （2）由于1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，因此，后两个数应分别为5×5=25，6×6=36。

（3）由于5=4+1，7=5+2，11=7+4，19=11+8，观察加上的1，2，4，8这个数列，这个数的2倍便是它后面的数。因此，两个空应分别填16+19=35，32+35=67。

（ ）

（2）数列2，5，8，11，14，17不是等差数列。 （ ）

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总结：对于一个数列的排列规律的分析，通常是对这个数列进行某种运算，然后依次将运算结果写下来，组成新的数列。而后观察新数列的排列规律，从而得出原来那数列的排列规律。

找数列规律的具体方法总结： ①看相邻项的和、差、积、倍的关系； ②看相间项的和、差、积、倍的关系； ③看连续项的和、差、积、倍的关系；

④关注一些特殊数列：平方列、质数列、立方列、合数列、斐波拉契数列?? 练习：

找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。 （1）2,5,8,11,14， ， ，23。 （2）4,14,44,134， ， 。 （3）4,9,7,12,10,15， ， 。 （4）1,2,2,5,9,16,30,55， ， 。 （5）2,3,5,7,11,13， ， ，23,29。 （6）5，15，45，135， ， 。 （7）60，63，68，75， ， 。 （8）180，155，131，108， ， 。 （9）0，1，1，2，3，5， ， 。

小结：概念，数列，数列的项，数列的性质观察；

数列的分类：递增数列，递减数列；有限数列，无限数列，常数列；等差数列；递推数列，周期数列；

数列性质的应用：观察数列运算规律，找出新数列，得到原数列规律。

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第4讲 等差数列的基本概念和性质

专题引导：

一只跳虫沿着笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次上升4厘米，它从离地10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落点，那么它的第100个落点正好是树梢，这棵树高多少厘米？

分析：跳虫第一落点是10厘米处，第二落点是14厘米处，第三落点是14+4=18厘米??每个落点增加4厘米。那么每一处的高度即组成了一个数列：10，14，18，22??那么第100次是多少呢？观察发现，每相邻两项的差为4，所以这个数列是等差数列。那么等差数列的项怎么求呢？第2项是10+4，第3项是10+4+4，第4项是10+4×（4－1）??第100项是10+4×（100-1）=406（厘米）。

一﹑等差数列的基本概念

1、观察数列→看性质：递增？递减？相邻两数的差？ ①1,2,3,4,5，?? ②1,3,5,7,9，?? ③2,4,6,8,10，?? ④1,4，7,10,13，?? ⑤5,10,15,20，?? ⑥100，95,90,85,80，??

2、等差数列的定义及符号表示：

从第2项起，后项与前项之差都相等的数列称为“等差数列”，后项与前项的差称为等差数列的公差（d）。

等差数列是由若干个数排列的，数列中的每一个数称为项，其中第一项为首项（a1），最后一项为末项（an），数列中数的个数称为项数(n)。 例： 1 , 4 ， 7 , 10 ,13 ，??，100 ，??

a1，a2，a3，a4，a5，?? ，an，?? 首项a1=1 公差d=3=4-1=7-4=10-7=??

二、寻找规律

1.怎样求an（即求第n项是多少）

例：①1,3,5,7,9，??，a17，??，a49，?? 求a17，a49

②1,4，7, 10,??，a15，??，a30，?? 求a15，a30

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解：①a1=1，a2=1+2，a3=（1+2）+2=1+2×2，a4=1+2×3，a5=1+2×4，??

依此类推：a17=1+2×16=33

a49=1+2×48=97

②a1=1，a2=1+3，a3=（1+3）+3=1+3×2，a4=1+3×3，?? 依此类推：a15=1+3×14=43

a30=1+3×29=88

总结得出如下规律：第n项=首项+公差×（项数－1)

an = a1 + d ×( n - 1)

2.已知an求n:怎样求项数

例：请求出划横线的数是第几项。

①1,4,7,10，??，40，??，70，??，97，?? ②10,17,24,31，?,94，??，710，?? 解：①40=1+3×？

？=（40-1）÷3=39÷3=13

a?=1+3×13

a14=1+3×13

因此40是第14项。 70=1+3×?

？=（70-1）÷3=69÷3=23

a?=1+3×23

a24=1+3×23

因此70是第24项。 同理：（97-1）÷3=96÷3=32 因此97是第33项。

总结：项数=（该项-首项）÷公差 + 1

n = ( an - a1 ) ÷ d + 1

②（94 -10）÷7+1= 84÷7+1= 12+1=13， 故94是第13项。 （710-10）÷7+1=700÷7+1=100+1=101，故710是第101项。

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三、运用公式计算：

1．公式： an = a1 + d × ( n - 1)

n = ( an - a1 ) ÷ d + 1 d = ( an - a1 ) ÷（n - 1）

2.公式的应用：

例：23,28,33,38，??，78，??，a20，??，123，??，a31，??

求：① 上的数是第几项；②a20，a31是多少？

例：已知一个数列中a1=3，a5=55

求：①d；②求143是第几项；③第21项是多少？ 3．拓展

例：如果一个等差数列的第4项是21，第6项是33，求它的第8项。 解析：方法一：根据通项公式，要求第8项，必须知道首项和公差。 因为a4=a1+3×d,又a4=21，所以a1=21－3×d， 又因为a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33－5×d

得，21－3×d=33－5×d，d=6，a1=21－3×d=21－3×6=3

a8=3+（8－1）×b=45

方法二：第8项比第6项多了2个公差，第6项比第4项多了2个公差， 所以33－21=12相当于2个公差，第8项应该用第6项的33再加上2个公差。 得，a2=33+(33－21)=45

练习：

1、在14,17,20,23,26，??中，（1）第50项是多少？（2）296在第几项？

2?、在一个等差数列中，第6项是29，第10项是45，问首项是几？ 3?、在一个等差数列中，第20项是200，第10项是150，问第8项是几？

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第5讲 等差数列求和

要想算得快，算得准，算得巧，不仅要掌握数与运算的性质，而且要善于观察，注意发现题目的特点。学会了求等差数列的某项和公差，还要学会求数列中所有数的和。

一、求和公式推导 1、倒序法（顺序倒过来）

①S=1+2+3+4+??+98+99 S=99+98+97+96+??+2+1 ∴S=（1+99）×99÷2=4950.

②S=1+3+5+7+??+97+99 S=99+97+95+93+??+3+1 ∴S=（1+99）×50÷2=2500.

总结得出如下规律：总和=（首项+末项）×项数÷2

Sn=（ a1 + an）× n ÷2

练习：1+2+3+4+??+49+50

2、平均值法

①1+3+5=[（1+5）÷2] ×3=（6÷2）×3=3×3=9 ②1+3+5+7=[（1+7）÷2] ×4=（8÷2）×4=4×4=16 ③1+3+5+7+9=[（1+9）÷2] ×5=（10÷2）×5=5×5=25 总结得出如下规律：总和= 平均值 × 项数

（又a=（a1+an）÷2） Sn = a × n

=（a1+an）× n ÷2

练习：1+3+5+??+29

二、等差数列综合计算

例1：先求项数，再求和（或平均值法+求和公式） 计算：2+4+6+?+98+100

解析：这是一个公差为2，即d=2的等差数列，根据等差数列求和公式，这道题中首项是2，即a1=2，末项是100，即an=100，那么还有项数不知道，所以要利用求项数公式，先求出这个等差数列共有多少项。

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项数=（100-2）÷2+1=50 和=（2+100）×50÷2=2550

还可利用观察法求项数：a1=2×1,a2=2×2,??an=2×50，所以项数n=50，也可结合倒序法求和。 练习：(1)2+4+6+?+500

(2)1+4+7+??+91

例2：计算：（2+4+6+?+100）-（1+3+?+99） 解析：方法一：等差数例求和法

利用求和公式，将上式看成两个等差数列。 2+4+6+?+100=（2+100）×50÷2=51×50 1+3+?+99=（1+99）×50÷2=50×50 51×50-50×50=50 所以原式=50

方法二：观察拆数法

2+4+6+?+100=1+1+3+1+5+1+?+99+1

拆成了 1+3+5+?+99+1+1+?+1=1+3+5+?+99+50

=50

例3：求200与800之间所有7的倍数的和。

解析：200与800之间所有7的倍数，组成了公差d=7的等差数列。试算，200与800之间7的倍数最小的是203，最大的798，即首项a1=203，末项an=798，公差d=7的等差数列求和问题，关键求出项数。

项数n=（798-207）÷7+1=86 因此，和=（203+798）×86÷2 =43043

例4：小刚准备在黑板上从1开始写下了若干连续自然数，写完之后发现漏掉了1个数，并且黑板上所有数的和为198。请问小明原本准备写多少个数？漏写了哪个数？

解析：从1开始连续的自然数构成等差数列，漏掉了一个数和为198，那假设小明没有漏写，所数的和应该比198大一点，比198多的那个数就是漏写的数。

估算：1+?+19=（1+19）×19÷2=1

50个1

原式=1+3+5+?+99+50-（1+3+?+99）

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1+?+20=210 210-198=12

所以小明原本准备写20个数，漏掉了312。

小结：等差数列的概念，项，项数，通项公式，项数公式。

通项公式an = a1 + d × ( n - 1) 项数公式n = ( an - a1 ) ÷ d + 1 公差公式d = ( an - a1 ) ÷（n - 1） 求和公式Sn=（ a1 + an）× n ÷2

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第6讲 方阵问题

专题引导：

每年的八月一日，是我国的建军节，每逢这一天，人民解放军要在操场上接受检阅。海、陆、空军各排成一个相同的正方形队列，已知最外面的那排有战士50人，请问海、陆、空军共有多少人？解这个题目的重点在于要算出每个正方形队列有多少人，这就是典型的方阵问题，也是我们今天要学的内容。

一、知识要点

1、概念：将人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据已知条件求人数或物数，这类应用题叫做方阵问题。如果一个方阵是“实心”的叫实心方阵，如果一个方阵是“空心”的，叫做中空方阵。

2、方阵特征：

①方阵不论在哪一层，每边上的人数都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。 ②方阵每向里一层，每层总人数就减少8。

3、基本数量关系：（设最外层每边人数为a，中空方阵层数为n，最内层每边人数为b） ①方阵总数：

1）实心方阵：总人数=a?a； 2）中空方阵：

ⅰ）总人数=a?a?(b?2)?(b?2)； ⅱ）总人数=4?(a?n)?n； ⅲ）总人数=4?(b?2?n)?n； ②每层总数和每边人数的关系： 1）每层总数=（每边人数-1）×4； 2）每边人数=每层总数÷4+1；

③在方阵中若去掉一行一列，则：去掉的人数=最外层每边人数×2-1；

4、解题思路与技巧：

①解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。 ②复杂的方阵问题可根据题意画出图，帮助分析思考找出解答方法。 ③理解每层总人数和每边人数之间的数量关系，以及相邻两边的人数相差2。

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二、例题精讲

例1、在正方形鱼塘四周等距离种树，四个角都种一棵树，这样每边都有6棵，这个鱼塘四周共种了多少棵树？

解析：此题已知每边数求该层总数，由每层总数和每边数的关系：每层总数=（每边人数-1）×4可求。

这个鱼塘四周共种了树：4×（6-1）=20（棵） 答：这个鱼塘四周共种了20棵树。

例2、有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？

解析：由每层总数和每边人数的关系可求最外层每边人数为：240÷4+1=61（人），再由实心方阵总数与最外层每边人数的关系求出总人数。

最外层每边人数为：240÷4+1=61（人）； 这个方阵共有：61×61=3721（人）

答：这个方正共有3721人。

例3、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有 20个学生,问这个空心方阵最里边一层有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生? 解析：由方阵每向里一层，每边人数减少2的特征，可求最里一层每边的人数是（20-2-2-2）人，进而求出最里一层人数，再由中空方阵总数与最外边每边人数和层数的关系或最里边每边人数和层数的关系求出总数。

最里一层每边的人数是：20-2-2-2=14（人）； 最里边一层有：4×（14-1）=52（人）

这个四层空心方阵共有：20×20-（14-2）×（14-2）=256（人） 或4×（20-4）×4=256（人）或4×（14-2+4）×4=256（人）

或52+60+68+76=256（人）

答：这个空心方正最里边一层有52人，这个空心方阵共有256人。

例4、解放军进行排队表演，组成一个外层有 48 人，内层有 16 人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？

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解析：内层比外层少：48-16=32（人），又由方阵的特征，每往里1层，每层总数减少8，所以层数为（32÷8+1）层，再由中空方阵总数与内外层每边人数的关系求总数。

这个方阵有：（48-16）÷8+1=5（层）； 最外层每边人数：48÷4+1=13（人）；

最内层每边人数：16÷4+1=5（人）

一共有：48+40+32+24+16=160（人）或13×13-（5-2）×（5-2）=160（人） 或4×（13-5）×5=160（人）或4×（5-2+5）×5=160（人）

答：这个方正有5层，共160人。

例5、军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？

解析：去掉一行去掉7人，此时每列只有6人，所以再去掉1列只能去掉6人，也可由去掉1行1列时，去掉的总人数与最外层每边人数的关系求出；7行7列是实心方阵，由实心方阵总数与最外层每边人数的关系可求出总数，减去去掉的人数，就是剩下的人数。

要去掉：2×7-1=13（人）；还剩下：7×7-13=36（人）

答：要去掉13人，还剩下36人。

例6、一农民要在承包地里栽上梨树，如果将这些树排成一个正方形实心方阵，还多12棵，如果横竖各增加一排，成为大一点的实心方阵，又差17棵，这批梨树共有多少棵？

解析：横竖各增加一排，除了原来多的12棵用了，还要17棵，说明大实心方阵最外层两边的棵数之和是（12+17）棵，最外层每边是：（12+17+1）÷2=15（棵），进而可求出大实心方阵的棵数，再减去补上的17棵，得原来的棵数。

大实心方阵最外层每边有：（12+17+1）÷2=15（棵） 这批梨树共有：15×15-17=208（棵）

答：这批梨树共208棵。

例7、五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心，五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

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