数理统计试卷及答案

数理统计考试试卷

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(0,1)的样本,则Y??Xi~________。

i?12n22、设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，则D(X)________。

3、设总体X~N(?,?2)，若?未知,?已知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为

21??的置信区间为(X??n2?,X??n?)，则?的值为________。

4、设总体X~N(?,?2),?已知，在显著性水平0.01下，检验假设H0:??u0,H1:??u0， 拒绝域是________。

5、设总体X~U[0,?],??0为未知参数，X1,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的矩估计量是______。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（

（A）X?Y服从正态分布

22

2）

2

（B）X?Y服从?2布 （D）X/Y都服从F分布

222（C）X和Y都服从?分布

2、设X~N(1,9)，X1,X2,...,X9为取自总体X的一个样本，则有（ ）。 （A） （C）

X?1X?1~N(0,1) （B）~N(0,1) 13X?1X?1~N(0,1) （D）~N(0,1) 933、设X服从参数为p的(0-1)分布，p?0是未知参数，X1,X2,...,Xn为取自总体X的样本，

X2为样本均值，Sn1n??(Xi?X)2，则下列说法错误的是（ ）。 ni?1

2（B）Sn是D(X)的矩估计

（A）X是p的矩估计

（C）X2是E(X2)的矩估计

（D）X(1?X)是D(X)的矩估计

4、设总体X~N(?,4),由它的一个容量为25的样本，测得样本均值x?10，在显著性水平0.05下进行假设检验，??(1.96)?0.975?，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。

（A）H0：??9 （B）H0：??9.5 （C）H0：??10 （D）H0：??10.5 5、设总体X~N(?,?2),样本容量为n，已知在显著性水平0.05下，检验H0:???0,

H1:???0的结果是拒绝H0，那么在显著性水平0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0

的结果（ ）。

（A）一定接受H0 （B）一定拒绝H0 （C）不一定接受H0 （D）不一定拒绝H0 三、（本题14分） 设灯泡寿命X服从参数为?的指数分布，其中??0未知，抽取10只测得寿命（单位：h）x?990，求：（1）?的极大似然估计量；（2）P{X?1290}的矩估计值。 四、（本题14分）假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的样本值，已知Y?lnX~N(?,1)。（1）求?的置信水平为0.95的置信区间；（2）求E(X)的置信水平为0.95的置信区间；（z0.05?1.645，z0.025?1.96）。

五、（本题10分）为了考查某厂生产的水泥构件的抗压强度（kg/cm2），抽取了25件样品进行测试，得到平均抗压强度为415（kg/cm2），根据以往资料，该厂生产的水泥构件的抗压强度X~N(?，202)，试求?的置信水平为0.95的单侧置信下限； （z0.05?1.645，z0.025?1.96）。

六、（本题14分）随机地从一批钉子中抽取16枚，测得：x?2.125（以厘米计）， 设钉长服从正态分布，求总体均值?的90%的置信区间： （1）若已知??0.01厘米；（2）若?为未知。

（z0.05?1.645，z0.025?1.96，t0.05(15)?1.7531, t0.025(15)?2.1315）。

七、（本题10分）在漂白工艺中要考察温度对针织品断裂强度的数据，在70℃和80℃下分别重复作了8次试验，设两种温度下断裂强度分别为X，Y，测得数据（单位：kg）为：

22问是否可以认为70℃下的断裂强度与80℃下的断裂强x?20.4,SX?6.2,y?19.4,SY?5.8；

度有相同的方差？（??0.05,F0.025(7.7)?4.99）

八、（本题8分）设总体X 服从[?,2?]上的均匀分布，证明：??为参数?的无偏估计。

一、填空题（本题15分，每题3分）

?21、?(n)； 2、； 3、Z?； 4、z?z0.05 ； 5、2X。

n22二、选择题（本题15分，每题3分） 1、C； 2、A； 3、C； 4、A； 5、B.

三、（本题14分）解：

(1) 似然函数为 L(xi,?)??ei?1n1?xi??，xi?0

ndlnLn1???(?xi)2?0， d???i?1lnL??nln??1??xi，令

i?1n1n???X。 得???xi?x， 即?的极大似然估计量为?ni?1??x?990，而P{X?x}?1?P{X?x}?1?(1?e（2）由于E(X)??，得?所以P{X?1290}的矩估计值为e

四、（本题14分）解：

?1290990?x?)，

?e?4333。

??111?z?,y?z??。y?(ln0.5?ln1.25?ln0.8?ln2)?0, （1）?的置信区间为y??4n2n2???故总体均值?的置信区间为(-0.98, 0.98)。 （2）E(X)?E(eY)????12??ye??f(y)dy?12????y?ee??(y??)22dy2??1???e2???12?e?[y?(??1)]22dy

?e由于e

??12

；

??12是?的单调增加函数，所以E(X)?e的置信区间为(e??11??2，e2)，

即为(e?0.48，e1.48)。

五、（本题10分）?的单侧置信下限为??x??nz?，?= 408.44，

即以0.95的置信水平断定水泥构件的抗压强度至少为408.44（kg/cm2）。

六、（本题14分）

解：(1) 已知?=0.01，当?=0.10时，取Z?=1.645，

2于是 x??nZ?=2.125±1.645×

20.01=2.125±0.004， 4故总体均值?的90%的置信区间为(2.121, 2.129)。 (2) 未知?，当?=0.10时，取t0.05(15)=1.7531， 于是 x?s0.1711×1.7531=2.125±0.0075 t?(n－1)=2.125±

16n2故总体均值?的90%的置信区间为(2.1175, 2.1325)。

七、（本题10分）

2222解：选用F检验。作出假设H0 :?1，H1 : ?1。 ??2??2对?=0.05， F?(n1–1, n2–1)=F0.025(7.7)=4.99，

2 F1??2(n1–1，n2–1)=F0.975(7.7)=

11?=0.20。

F0.025(7.7)4.99于是,拒绝域为F≥4.99或F≤0.20。 经计算，得 F=

2SX2SY的观测值为：F?6.2?1.069没有落在拒绝域内，故接受H0。 5.8八、证明题（本题8分）证明：∵ 总体X服从[?,2?]上的均匀分布，

?1??x?2?2???3?∴ f(x)=?? ∴ E（x）= =?

22其它??0n2221 而E(??) = E(X) =E(X) =E(?Xi) = ? ，故 ??为?的无偏估计。

33ni?13

中南大学考试试卷（时间：100分钟 闭卷）

《数理统计I》(补考) 24学时 1.5 学分 2008级(第三学期) 总分：100分 一、填空题（本题15分，每题3分）

1、设X1,X2,?,Xn是取自总体X~N(0,1)的样本,则Y??Xi~________。

i?1n222、设总体X~N(?,?2)，X是样本均值，则D(X)________。

3、设总体X~N(?,?2)，若?未知,?已知，n为样本容量，总体均值?的置信水平为

21??的置信区间为(X?2?n?,X??n?)，则?的值为________。

4、X~N(?,?2),?已知，在??0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0，拒绝域是____。 5、设X~U[0,?],??0未知，则未知参数?的矩估计量是______。 X1,?,Xn来自X的样本，二、选择题（本题15分，每题3分）

1、设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（

（A）X?Y服从正态分布

22

2）

2

（B）X?Y服从?2布 （D）X/Y都服从F分布

22（C）X和Y都服从?2分布

2、设X~N(1,9)，X1,X2,...,X9为取自总体X的一个样本，则有（ ）。 （A） （C）

X?1X?1~N(0,1) （B）~N(0,1) 13X?1X?1~N(0,1) （D）~N(0,1) 933、设X服从参数为p的(0-1)分布，p?0是未知参数，X1,X2,...,Xn为取自总体X的样本，

X2为样本均值，Sn1n??(Xi?X)2，则下列说法错误的是（ ）。 ni?1

2（B）Sn是D(X)的矩估计

（A）X是p的矩估计

（C）X2是E(X2)的矩估计

（D）X(1?X)是D(X)的矩估计

4、设总体X~N(?,4),由它的一个容量为25的样本，测得样本均值x?10，在显著性水平0.05下进行假设检验，??(1.96)?0.975?，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。

（A）H0：??9 （B）H0：??9.5 （C）H0：??10 （D）H0：??10.5 5、设总体X~N(?,?2),样本容量为n，已知在显著性水平0.05下，检验H0:???0,

H1:???0的结果是拒绝H0，那么在显著性水平0.01下，检验H0:??u0,H1:??u0

的结果（ ）。

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