勾股定理单元测试综合卷学能测试试卷

一、选择题

1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：

①BD =CE ，

②BD ⊥CE ，

③∠ACE +∠DBC=30°，

④()2222BE AD AB =+．

其中，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3

D ．4 3．△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)250a b c -+-+-=，则△ABC 的形状为

（ ）．

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形

4．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）

A ．47

B ．62

C ．79

D ．98

5．如图，分别以直角ABC ?三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（ ）

A ．9

B ．5

C ．53

D ．45

6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ）

A ．12cm

B ．14cm

C ．20cm

D ．24cm 7．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC D

E BC ?∠=⊥于点E ，B

F ⊥DC 于点F ，

DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①12

CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）

A ．①②③

B ．②③⑤

C ．①⑤

D ．③④ 8．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．∠A+∠B=∠C

B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2

C ．a=2，b=3，c=4

D ．(b+c)(b-c)=a2

9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）

A ．7.5平方千米

B ．15平方千米

C ．75平方千米

D ．750平方千米

10．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，则BC 的长是（ ）

A ．32

B ．2

C ．22

D ．10

二、填空题

11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．

12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．

13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．

14．在ABC ?中，90BAC ∠=?，以BC 为斜边作等腰直角BCD ?，连接DA ，若22AB =42AC =DA 的长为______．

15．在ABC ?中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ?的面积为______2cm ．

16．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交

BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．

17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)

①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．

①线段OA 的取值范围是______________；

②若BD -AC =1，则AC ?BD = _________．

19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．

20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π

，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______

三、解答题

21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ??∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；

（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；

（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

22．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）当2t =秒时，求PQ 的长；

（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？

（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

23．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______．

（2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°

（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF

①求证：△AED ≌△AFD ；

②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；

（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．

25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？

（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，

①如图1，若90ACB ∠=?，b a ≥，6b =，求a 的值.

②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.

（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=?，4BC =，求ABC 的面积.

26．在ABC ?中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,5AB BC ==.

（1）求CD 的长.

（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.

①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.

②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.

27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．

（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；

（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．

（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 122），P 2（2，2），P 3（2，22），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）

28．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：

（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；

（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；

（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．

①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．

29．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .

（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .

①求证：BE EF =;

②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.

30．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．

（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．C

解析：C

【分析】

结合等边三角形得性质易证△ABE ≌△CAD ，可得∠FBG ＝30°，BF ＝2FG ＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．

【详解】

∵△ABC 为等边三角形

∴∠BAE ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，CD ＝AE

∴△ABE ≌△CAD （SAS ）

∴∠ABE=∠CAD

∴∠BFD ＝∠ABE+∠BAD ＝∠CAD+∠BAF ＝∠BAC ＝60°，

∵BG ⊥AD ，

∴∠BGF ＝90°，

∴∠FBG ＝30°，

∵FG ＝1，

∴BF ＝2FG ＝2，

∵∠BEC ＝75°，∠BAE ＝60°，

∴∠ABE ＝∠BEC ﹣∠BAE ＝15°，

∴∠ABG ＝45°，

∵BG ⊥AD ，

∴∠AGB ＝90°，

∴222221BF FG -=-3

AB 2=AG 2+BG 2323)2=6．

故选C ．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG 为等腰直

角三角形是解题关键．

2．B

解析：B

【分析】

①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；

②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；

③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．

【详解】

解：如图，

① ∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，

即∠BAD=∠CAE ，

∵在△BAD 和△CAE 中，

AB AC BAD CAE AD AE ??∠∠???

＝＝＝

∴△BAD ≌△CAE （SAS ），

∴BD=CE ，

故①正确；

②∵△BAD ≌△CAE ，

∴∠ABD=∠ACE ，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，

∴∠BDC=90°，

∴BD ⊥CE ，

故②正确；

③∵△ABC 为等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°，

∵∠ABD=∠ACE

∴∠ACE+∠DBC=45°，

故③错误；

④∵BD ⊥CE ，

∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，

∵△ADE 为等腰直角三角形，

∴AE=AD ，

∴DE 2=2AD 2，

∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，

在Rt △BDC 中，BD BC <，

而BC 2=2AB 2，

∴BD 2<2AB 2，

∴()2222BE AD AB

<+

故④错误，

综上，正确的个数为2个．

故选：B ．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 3．D

解析：D

【分析】

由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由222+=a b c 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．

【详解】 ∵2(1)250a b c --=

又∵(

)21000a c ?-≥≥-≥??

∴(

)21=0a c ?-??????

∴12a b c ?=?=??=? ∴222+=a b c

∴△ABC 为直角三角形

故选：D ．

【点睛】

本题考察了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．

4．C

解析：C

【分析】

依据每列数的规律，即可得到222

1,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】

解：由题可得：222

321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+

当21658c n n =+==时，

63,16x y ∴==

79x y ∴+=

故选C

【点睛】

本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.

5．A

解析：A

【分析】

根据勾股定理与正方形的性质解答．

【详解】

解：在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，

∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，

∴S 1=S 2+S 3．

∵S 2=7，S 3=2，

∴S 1=7+2=9．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

6．D

解析：D

【分析】

将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求．

【详解】

解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，

作A 关于E 的对称点A'，连接A'B 交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm ，

延长BG ，过A'作A'D ⊥BG 于D ，

∵AE=A'E=DG=4cm ，

∴BD=16cm ，

Rt △A'DB 中，由勾股定理得：22201612-=cm

∴则该圆柱底面周长为24cm ．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

7．B

解析：B

【分析】

根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．

【详解】

解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=?∠=∠，

∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；

∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE

∴Rt BEH Rt DEC ?，∴BH=CD=AB ，③正确；

∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，

∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，

∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确

故选B ．

【点睛】

本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．

8．C

解析：C

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．

【详解】

A 、∠A+∠

B ＝∠

C ，可得∠C ＝90°，是直角三角形，错误；

B 、∠A ：∠B ：∠

C ＝1：3：2，可得∠B ＝90°，是直角三角形，错误；

C 、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；

D 、∵（b+c ）（b ﹣c ）＝a 2，∴b 2﹣c 2＝a 2，即a 2+c 2＝b 2，故是直角三角形，错误； 故选C ．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

9．A

解析：A

【解析】

分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．

详解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：

12

×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A ．

点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 10．D

解析：D

【分析】

根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．

【详解】

解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，

∴∠E ＝∠ADC ＝90°，

∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．

∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，

∴∠EBC ＝∠DCA ．

在△CEB 和△ADC 中，

E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=?

， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），

∴CE ＝AD ＝3，

在Rt △BEC 中，22

22BC=BE +CE =1+3=10，

故选D ．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

二、填空题

11．【解析】

试题分析：将台阶展开，如图，

331312,5,AC BC =?+?==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm

考点：平面展开：最短路径问题．

12．

【解析】 试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，

连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC +，∵S △ABB′=12?AB?B′D=12?BB′?AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '??==,∴BE+ED= B′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.

13．48

【分析】

用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．

【详解】

解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，

则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()2

23S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，

∴()()22

22144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=

2233144a b +=

2248a b +=，

∴248S =．

故答案是：48．

【点睛】

本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．

14．6或2.

【分析】

由于已知没有图形，当Rt △ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：

①当D 点在BC 上方时，如图1，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ，证明A 、C 、E 三点共线，在等腰Rt △ADE 中，利用勾股定理可求AD 长；

②当D 点在BC 下方时，如图2，把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，证明过程类似于①求解．

【详解】

解：分两种情况讨论：

①当D点在BC上方时，如图1所示，

把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，

则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，

∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，

∴∠ACD+∠ECD=180°，

∴A、C、E三点共线．

∴AE=AC+CE=42+22=62

在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，

即2AD2=（62）2，解得AD=6

②当D点在BC下方时，如图2所示，

把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，

则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，

∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，

∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．

∴AE=AC-CE=42-22=22

在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．

故答案为：6或2.

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解． 15．36或84

【分析】

过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理列式求出BD 、CD ，再分点D 在边BC 上和在CB 的延长线上两种情况分别求出BC 的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【详解】

解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，

∵BC 边上的高为8cm ，

∴AD=8cm ，

∵AC=17cm ，

由勾股定理得： 22221086BD AB AD =-=-=cm ，

222217815CD AC AD =-=-=cm ，

如图1，点D 在边BC 上时，

BC=BD+CD =6+15=21cm ，

∴△ABC 的面积=

12BC AD =12

×21×8=84cm 2， 如图2，点D 在CB 的延长线上时，

BC= CD ?BD =15?6=9cm ， ∴△ABC 的面积=

12BC AD =12

×9×8=36 cm 2， 综上所述，△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2，

故答案为：36或84．

【点睛】

本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．

16．5【分析】

由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．

【详解】

解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，

AE AD ⊥，

DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，

又

BAC DAC 190∠∠∠=+=，

12∠∠∴=，

在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =??∠=∠??=?

，

ABD ∴≌()ACE SAS ．

BD CE ∴=，4B ∠∠=

BAC 90∠=，AB AC =，

∴B 345∠∠==

4B 45∠∠∴==，

ECF 3490∠∠∠∴=+=，

222CE CF EF ∴+=，

222BD FC EF ∴+=， AF 平分DAE ∠，

DAF EAF ∠∠∴=，

在DAF 和EAF 中

AD AE DAF EAF AF AF =??∠=∠??=?

，

DAF ∴≌()EAF SAS ．

DF EF ∴=．

222BD FC DF ∴+=．

22222DF BD FC 68100∴=+=+=， ∴DF 10=

BC BD DF FC 610824∴=++=++=， AB AC =，AG BC ⊥，

1BG AG BC 122

∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，

∴AD =

故答案为【点睛】

考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

17．①②③

【解析】

【详解】

解：∵△ABC 是等边三角形，

60ABC ∴∠=，

∵△BQC ≌△BPA ，

∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，

60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，

∴△BPQ 是等边三角形，①正确.

∴PQ =BP =4，

2222224325,525PQ QC PC +=+===，

222PQ QC PC ∴+=，

90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.

∵△BPQ 是等边三角形，

60PBQ BQP ∴∠=∠=，

∵△BQC ≌△BPA ，

∴∠APB =∠B QC ，

6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.

36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，

90PQC PQ QC ∠=≠，，

45QPC ∴∠≠，

即135APC ∠≠，④错误.

故答案为①②③.

18．①1＜OA ＜4． ②

672． 【解析】

(1)由三角形边的性质

5-3<2OA <5+3,

1＜OA ＜4.

(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,

由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()2

4CE +， ()()22

2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，

2AC ∴+ 2BD

=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，

BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC ?BD =1， ∴AC ?BD =672

.

19．

78

【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．

试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，

∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，

∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，

∴∠DAC=∠D′AC，

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，

∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，

设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，

在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，

∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=

78， 即BE 的长为78

． 205【分析】

先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

【详解】

圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽

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