专题02 参数方程-一本通之备战2019高考数学（文）选做题

初中、高中、教案、习题、试卷

专题02 参数方程

知识通关

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数??x?f(t)，并

y?g(t)?且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，

?x?f(t)把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么?就是曲线的参数方程．在参

y?g(t)?数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致． （1）参数方程化为普通方程

基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角

22三角函数关系式消参.如sin??cos??1等.

（2）普通方程化为参数方程

曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.

3．常见曲线的参数方程

普通方程 参数方程 y－y0＝tan α(x－过点M0(x0,y0),α为直线的倾斜角的直线 x0) ?x?x0?tcos?(t为参?y?y?tsin?0?数) 初中、高中、教案、习题、试卷

圆心在原点，半径为r的圆 x2＋y2＝r2 ?x?rcos?(θ为参数) ??y?rsin??x?acos?(φ为参数) ?y?bsin??中心在原点的椭圆 x2y2?2?1(a>b>0) 2ab【注】（1）在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．

（2）若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为??x?x0?Rcos?(θ为参数).

?y?y0?Rsin??x?x0?acost（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为?(t为参数).

y?y?bsint0?基础通关

1．了解参数方程，了解参数的意义.

2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一 参数方程与普通方程的互化

（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．

（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形． 【例1】已知直线l的参数方程为（1）求直线l和圆C的普通方程；

（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 【解析】（1）直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. （2）因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d?题组二 参数方程及其应用

(t为参数)，圆C的参数方程为

(θ为参数)．

|?2a|?4，解得－25≤a≤25. 5

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