材力解答（能量法）

13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆

的变形能。

解：方法1:

两杆的变形

?l(a)?PLEA1?4PLE?d22d d l d 2d P (a)

3l/8 l/4 3l/8 P (b)

?l(b)?2?P?3L/8?E??2d?/42?P?L/4?E?d/42?7PL4E?d2

外力的功

W(a)?12P?l(a)?2PLE?d22 W(b)?12P?l(b)?7PL8E?d22

功能原理

U(a)?W(a)?2PLE?d22 U(b)?W(b)?7PL8E?d22

方法2:

两杆的内力

N(a)?P N(b)?P

变形能

U(a)?NL2EA2?P2PL2E?d/422?2PLE?dP222U(b)?2??3L/8?22E??2d?/4C ??L/4?22E?d/4?7PL8E?d22

13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在P力作用下，试求桁架的变形能。

解：(1) 求约束力

XA A D B P l YA l l RB ?X?M?Y(2) 分析铰B

?0 P?XA?0 XA?PA?0 RB?2l?P?l?0 RB?P2P2

?0 RB?YA?0 YA?NBC NBD

B RB NBC 45o

RB

NBD?RB?P2 NBC?NBD

2RB?2P2

(3) 分析铰D

NDA D NDC NDB

P2 NDC?0

NDA?NDB?NBD?(4) 分析铰C

P NCA C NCA NCB

P 2P2NCB

NCA?NCB?NBC?

(5) 桁架的变形能

U??Nili2EA2??N2EA2P???2?212BClBC?NAClAC?NBDlBD?NDAlDA?2222?1??2???2EA????2?Pl??P?2l?2????l????2EA??2???2?1?Pl?0.957?2?EA2

13.3. 计算图示各杆的变形能。

解：(b)

l/3 (b)

A C EI 2l/3 P M B EI A dθ R (c) θ O B ds 方法1：

(1) 查表得C截面的转角

?C(2) 由功能原理

22?24ll?Ml ?l?3??3?????6EIl?99?9EIMU?W?12M?C?Ml18EI2

方法2

(1) 列出梁的弯矩方程

A C M B EI M/l x1 x2 M/l

M?M(x1)??x1??l ??M(x)??Mx?M22?l?(2) 求弯曲变形能

U??l/30M(x1)2EI2dx1??ll/3M(x2)2EI2dx2?Ml162EI2?8Ml162EI2?Ml18EI2

(c)

(1) 列出梁的弯矩方程

P Q(?) M(?) N(?) R θ O B M(θ)??PRsinθ

(2) 求弯曲变形能

U???M(?)l222EI3ds???/20(?PRsin?)2EI2?Rd??PR8EI

13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为40 mm，E=210 GPa，G=80 GPa。试计算轴的变

形能。

解：(1) 传动轴受力

ZA A A 1kN 0.36kN 0.08kN.m C B 200 200 0.36kN 0.08kN.m C 1kN 0.08kN.m B YA ZB YB

ZA?ZB?0.5 kN YA?YB?0.18 kN

(2) 弯矩方程和扭矩方程

My?x??ZAx?500x Mz?x??YAx?180x T?x??80

(3) 变形能

U?2??1EI0.20?500x?2EIy0.202dx?2?20.20?180x?2EIz2dx??0.20?80?222GIPdx???500x?dx?1?0.20?180x?dx?2??80??0.22GIP33?0.20.2?22??180??500?? 94210?10???0.04/64?33???80?92?0.242?80?10???0.04/32?0.0604 J(4) 使用功能原理求解本题 U?W??1212Pyfy?Pyl312Pzfz??312T?Pzl3?Py?1248EIz0.49?Pz?48EIy?122T?T?l/2GIP2?P?96EI2l32y?Pz2??4GI4TlP2

?96?210?10???0.04/644?360?1000??4?80?1080?0.49???0.04/32?0.0604 J13.7. 试用互等定理求跨度中点C的挠度，设EI=常量。

A C B P D

A l/2 (b) C l/2 P B

l/2 l/2 (a)

a 解：(a)

(1) 将P力移到C截面处，如下图

(2) 由位移互等定理

fC??21??12??B?a?Pl2P A C 2 B 1 D

16EI?a?Pal216EI

方向向上

(b)

(1) 将P力移到C截面处，如下图

(2) 由位移互等定理

fC??21??12?fC??C?l2??P?l/2?3EI3P A C 2 1 B

?P?l/2?2???2EI??3?l5Pl ????248EI??方向向下

13.8. 车床主轴可简化成EI=常量的当量轴，如图所示，试求在载荷P作用下，截面C的挠

度和前轴承B处的截面转角。

P B A C

解：(1) 约束反力

RA x2 4a RB x1 a RA?14P RB?54P

(2) 弯矩方程

M?x1???Px1 M?x2???14Px2

(3) 在C处作用单位集中力

1/4 截面C的挠度

A x2 B x1 1 C xM1?x1???x1 M5/4??2?2?14x2

fC???M?x1?M1?x1?l1EIdx1??M?x2?M1?x2?l2EIdx2?a0??Px1????x1?EIdx1??4a0 ?1??1???Px2????x2?35Pa?4??4?dx2? ?EI3EI??(4) 在B处作用单位集中力偶

1 A B x2 x1 C

1/4a 1/4a M2?x1??0 M2?x2???14ax2

截面B的转角

?B??M?x1?M2?x1?l1EI4a0dx1??M?x2?M2?x2?l2EIdx2?0???1??1??Px???x2??2?24Pa?4??4a?dx2?EI3EI

顺时针转向

13.9. 试求图示各梁截面B的挠度和转角。EI=常量 q

A a l C B

(a)

解：(1) 在B处作用虚加力Pf和Mf，并列出弯矩方程

A q C x2 x1 Pf Mf

B M(x1)??Pfx1?MM(x2)??122fqx2?Pf(l?a?x2)?M

f(2) 上式分别对Pf和Mf求偏导数

?M(x1)?Pf?M(x1)?Mf??x1 ??1 ?M(x2)?Pf?M??(l?a?x2)?M(x2)f

??1(3) 用卡氏定理求挠度和转角

fB??U?Pf??M(x1)?M(x1)l1EI?Pfdx1??M(x2)?M(x2)l2EI?Pfdx2??l?a0(?Pfx1?Mf)EI12(?x1)dx1??a0?qx2?Pf(l?a?x2)?MEI?M(x1)?M(x1)l12f[?(l?a?x2)]dx2

dx2?B??U?Ml?a0f?EI?Mdx1???M(x2)?M(x2)l2fEI2?Mf12??(?Pfx1?Mf)EI(?1)dx1??a0qx2?Pf(l?a?x2)?MEIf(?1)dx2（4）令上两式中的Pf和Mf为零

a0?1fB?0???2EI12EIqx22[?(l?a?x2)]dx2?3qa324EI(4l?a)

?B?0?a0?qx22(?1)dx2?qa6EI挠度和转角的方向与虚加力的方向一致

13.11. 图示刚架各杆的的EI相等。试求A的位移和截面C的转角。

a b P A C

解：(a) 应用莫尔定理

(1) 刚架各段的弯矩方程

M(a) x2 x3 h x1 ?x1??Px1 M?x2??0 M?x3??Pb

(2) 在A处垂直方向作用单位集中力

M1?x1??0 M1?x2??x2 M1?x3??a

1 A x2 x3 x1 C

A的垂直位移

?AV????M?x1?M1?x1?l1h0EIPb?aEIdx3?dx1??M?x2?M1?x2?l2EIdx2??M?x3?M1?x3?l3EIdx3

PabhEI1 A ???C x1 (3) 在A处水平方向作用单位集中力

M2?x1??0 M2?x2??0 M2?x3??x3

x2 x3 A的水平位移

?AH????M?x1?M2?x1?l1h0EIPb?x3EIdx3?dx1?2?M?x2?M2?x2?l2EIdx2??M?x3?M2?x3?l3EIdx3

Pbh2EI ???(4) 在C处作用单位集中力偶

A

x2 x3 C x1 1 M3?x1??1 M3?x2??0 M3?x3??1

C截面的转角

?C????M?x1?M3?x1?l1b0EIPx1?1EIdx1?dx1??M?x2?M3?x2?l2EIPb2dx2?=?M?x3?M3?x3?l3EIdx3?h0Pb?1EIdx3?2EI+PbhEIPb?b?2h?2EI

顺时针转向

13.12. 图示刚架各部分的EI相等，在一对P力作用下，求A、B两点间的相对位移。

P P B A

解：(1) 由于结构和载荷对称，取刚架一半分析

P A

x1 C a D h

C x2 (2) 弯矩方程

M?x1??Px1 M?x2??Ph?M?x1??P?x1 ?M?x2??P ?h(3) 应用卡氏定理

?A????M?x1??M?x1?l1h0EIPx1?x1EI?Pdx1?dx1??M?x2??M?x2?l2EIdx2?Ph3?P3EI?dx22?a/20Ph?hEIPah2EI?Ph2?2h?3a?6EI

(4) A、B间的相对位移

?AB?2?A?A、B两点相互靠近。

Ph2?2h?3a?3EI

13.13. 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P作用下，试求节点B与D间的相

对位移。

A D B C P

l l

解：(1) 在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力

XA?P?B 2 C Pf 1 4 3 P

XA A 5 D YA 22ND 22Pf

Pf YA?P ND?P?(2) 求各杆的轴力

N1??N4?22Pf N2??22Pf N3??P?22Pf

2P?Pf N5?0 (3) 上式分别对Pf求偏导数

?N1?Pf??22 ?N2?Pf??22 ?N3?Pf??22 ?N4?Pf?1 ?N5?Pf?0

(4) 用卡氏定理求B点沿BD方向的位移

?BD??U?Pf?5?2?i?1Nili?NiEA?Pf22?)?Pf?l22(?)EA2(2P?Pf)?EA2l2?2EAPf?l(?22EA

(?P??Pf)?l(?22)??1?0(5) 令上式中的Pf为零

?BD?0?0?(?P)?lEA(?22)?(2P)?EA2l?0?(22?2)PlEA?2.71PlEA

方向为B向D靠近

13.14. 图示简易吊车的撑杆AC长为2 m，截面的惯性矩I=8.53×106 mm4。拉杆BD的A=600

mm。P=2.83 kN。如撑杆只考虑弯曲影响，试求C点的垂直位移，设E=200 GPa。

解：(1) 求出约束反力

XA?22D 45o B C 2

P

45o A 1m RD D 45o x2 45o B x1 C P

XA A YA P YA?22P RD?2P

(2) 求BD杆的轴力和AC杆的弯矩

N?2P M(x1)??22Px1 M(x2)??22P(1?x2)?2Px2

(3) 用卡氏定理求C点垂直位移

?CV??U?P?NlBD?NEA?P??M(x1)?M(x1)l1EI2Px1(??x12222dx1??M(x2)?M(x2)l2EI?x2dx2?2P?1EA?10?2???102EIx1)dx1

(1?x2)]dx222P(1?x2)?EI2Px2[????2PEA?P6EI?P6EI?2PEA?P3EI?0.0472?0.553?0.60mm方向向下。

13.15. 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。

解：(1) 求各杆的弯矩方程

C x3 D 3l P A B 4l C P A x1 ? B x2 D M(x1)??Px1 M(x2)?P(3l?x2cos?) M(x3)??Px3

(2) 在梁上A处单独作用一单位力偶，并列出弯矩方程

C x3 D 1 A x1 ? B x2 M(x1)??1 M(x2)?1 M(x3)??1

(3) 用莫尔定理求A截面的转角

?A?????M(x1)M(x1)l13l02EI(?Px1)(?1)EI?15Pl2EI2dx1??5l0M(x2)M(x2)l2EIEIdx2??M(x3)M(x3)l3EIdx3dx3

dx1??9Pl?2P(3l?x2cos?)?133Pl2EI2dx2??4l0(?Px3)(?1)EI9Pl2EI2EI?转角的方向与单位力偶方向相同。

13.16. 等截面曲杆BC的轴线为四分之三的圆周，如图所示。若AB可视为刚性杆，在P作

用下，试求截面B的水平位移及垂直位移。

A C P P B

R A d? M(?) ? B

解：(1) 写出曲杆的弯矩方程

M????PRcos?

(2) 在B处垂直方向作用单位集中力

M1?????R?1?cos??

A C 1 B A d? M1??1 ? B ? B的垂直位移

?BV???M???M1??l3?EIds??3?/203PRcos?????R?1?cos?????Rd?EIPR?3?PR??1?3.36 ???EI?4EI?

??(3) 在B处水平方向作用单位集中力

C A d? M2??B 1 ? A B ? M2????Rsin?

B的水平位移

?BH???M???M2??l3?EI ???ds??3?/20PRcos??Rsin?EI?Rd?

PR2EI13.18. 图示折轴杆的横截面为圆形，在力偶矩m作用下，试求自由端的线位移和角位移。

h l m

解：(1) 求水平杆的扭矩方程和垂直杆的弯矩方程

T(x1)?m M(x2)?m

x2 x1 m (2) 在自由端分别单独作用一单位力和单位力偶，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程

x1 x1 1 x2 1 x2 T1(x1)?0 M1(x2)?x2T2(x1)?1 M2(x2)?1

(3) 用莫尔定理求自由端的位移

?H??T(x1)T1(x1)l1GIpdx1?mh?2M(x2)M1(x2)l2EI?32mhE?d2dx2?0??h0mx2EIdx2?2EI4?????T(x1)T2(x1)l1l0GIpm?1GIpdx1?dx1?h?M(x2)M2(x2)l2EImlGIp?mhEIdx2?32mlG?d4?m?1EI0dx2??64mhE?d4

自由端的线位移和角位移和方向与单位力和单位力偶方向一致。

13.19. 图示曲拐的自由端C上作用集中力P。曲拐两段材料的相同，且均为同一直径的圆截

面杆，试求C点的垂直位移。

A a x2 B a C x1 P

解：(1) 求BC杆的弯矩方程及AB杆的扭矩方程和弯矩方程

M(x1)?Px1 M(x2)?Px2 T(x2)?Pa

(2) 在C端单独作用一单位力，并求出相应的扭矩方程和弯矩方程

C x1 A x2 B 1 M(x1)?x1 M(x2)?x2 T(x2)?a

(3) 用莫尔定理求C端的垂直位移

?V????M(x1)M(x1)l1a03EIPx1?x1EI?Padx1?3dx1?a03?T(x2)T(x2)l2GIpdx2?34dx2??M(x2)M(x2)l2EIdx2?Pa?aGIp??a0Px2?x2EI34dx2

?Pa3EIGIp?Pa128Pa3E?d3EI?32PaG?d自由端的垂直位移单位力方向一致。

13.20. 平均半径为R的细圆环，截面为直径为d的圆形。两个力P垂直于圆环轴线所在的

平面(见图)。试求两个力P作用点的相对位移。

解：(1) 求曲杆的扭矩方程和弯矩方程

P P R R M(?) T(?)

) Q(?)? P T(?)?PR(1?cos?) M(?)?PRsin?

(2) 上两式分别对P求偏导数

?T(?)?P?R(1?cos?) ?M(?)?P?Rsin?

(3) 用卡氏定理求垂直位移

?V???T(?)?T(?)lGIpGIp34?Pds??M(?)?M(?)lEI?Pds2?0?2?0PR(1?cos?)?R(1?cos?)?Rd???PRsin?EI?Rsin??Rd?

?96PRGd?64PREd4313.23. 图示杆系各杆的材料相同，截面面积相等。试用力法求各杆的内力。

? ? A C B l P (b)

解：(1) 属一次静不定问题，取C为多余约束，约束反力为X1 X1

A C B ? ? D P 列出用力法求解的基本方程

?11X1??1P?0

(2) 求?1P

由上图知

A 2 C 1 3 B A 2 1 C 1 3 B ? ? D ? ? P N1?0 N1?1

D 分别对D点受力分析

2sin?由莫尔定理

3N2 D N1 α α N3 P P2sin?N2 N1 α α D N3

N2?P N3?? N2??12cos? N3??12cos?

?1P???i?1NiNiliEA[0?1lP1l???????????????]?0?????2sin??2cos??cos??2sin???2cos??cos?P1EA

(3) 求?δ11

3?11???i?1NiNiliEA?l????[l???????]???EA?2cos??cos??2cos??cos?112l12

l?1?1???3EA?4cos??(4) 求出X1

X1?0

(5) 求杆的内力

N1?N1?N1?X1?N1?0N2?N2?N2?X1?N2?PPPP2sin?P2sin?

N3?N3?N3?X1?N3??

列出用力法求解的基本方程

?11X1??1P?0

(2) 求?1P

由上图知

A 2 C 1 3 B A 2 1 C 1 3 B ? ? D ? ? P N1?0 N1?1

D 分别对D点受力分析

2sin?由莫尔定理

3N2 D N1 α α N3 P P2sin?N2 N1 α α D N3

N2?P N3?? N2??12cos? N3??12cos?

?1P???i?1NiNiliEA[0?1lP1l???????????????]?0?????2sin??2cos??cos??2sin???2cos??cos?P1EA

(3) 求?δ11

3?11???i?1NiNiliEA?l????[l???????]???EA?2cos??cos??2cos??cos?112l12

l?1?1???3EA?4cos??(4) 求出X1

X1?0

(5) 求杆的内力

N1?N1?N1?X1?N1?0N2?N2?N2?X1?N2?PPPP2sin?P2sin?

N3?N3?N3?X1?N3??

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