2013届高三数学培优补差辅导专题讲座-正弦定理、余弦定理及其应

正弦定理、余弦定理及其应用

考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

正、余弦定理的五大命题热点

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：

一、求解斜三角形中的基本元素

是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ?ABC中，A????3，BC＝3，则?ABC的周长为（ ） ???????3 B．43sin?B???3 3?6??A．43sin?B?C．6sin?B???????? D．?36sinB?????3 3?6??分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果． 解：由正弦定理得：

3sin?3?bsinB2?3?csinC?b?csinB?sinC?b?csinB?sin(2?3?B)，

得b＋c＝23[sinB＋sin(－B)]＝6sin(B??6)．故三角形的周长为：3＋b＋c＝

???6sin?B???3，故选(D)．

6??评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝

故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．

例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知AB?463?6，周长应为33＋3，

,cosB?66，AC边上的中

线BD=5，求sinA的值．

分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE?22212AB?263，设BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得：BD8326366?BE?ED?2BE?EDcosBED，

5?x?2?2??x，解得x?1，x??73（舍去） 书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库

故BC=2，从而AC2?AB2?BC2?2AB?BCcosB?283，即AC?2213又sinB?306，

221故

2sinA?3306，sinA?7014 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

例3 在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由2sinAcosB?sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)． 解法2：由题意，得cosB＝

sinC2sinA2

?c2a2

，再由余弦定理，得cosB＝

a?c?b2ac222．

∴

a?c?b2ac222＝

c2a，即a＝b，得a＝b，故选(B)．

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一

化为边，再判断(如解法2)．

三、 解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

?例4 在?ABC中，若?A?120，AB?5，BC?7，

则?ABC的面积S＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝

AB?AC?BC2AB?AC12222212AB?ACsinA即可解决．

12解：由余弦定理，得cosA＝?25?AC?4910?AC12??，解得AC＝3．

∴ S＝

12AB?ACsinA＝

1534．∴ AB?AC?sinA＝AC?h，得h＝AB? sinA＝

322，

故选(A)．

四、求值问题

例5 在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c，

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设a、b、c满足条件b2?c2?bc?a2和

cb?12?3，求?A和tanB的值．

分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理cosA?b?c?a2bc222?12，因此，?A?60?

在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.

由已知条件，应用正弦定理

12?3?cb?sinCsinB?sin(120??B)sinB

12?sin120?cosB?cos120?sinBsinB?32cotB?12,解得cotB?2,从而tanB?.

五、正余弦定理解三角形的实际应用

利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题

例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。

解析：由正弦定理得

ACsin?CBA?ABsin?ACB12C A

图1

D

B

，∴AC=AB=120m，

12AB?CD，解得CD=60m。

又∵S?ABC?AB?ACsin?CAB?点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。

（二.）遇险问题

例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。

西 A 南 15° B 30° 图2

东 C

北 这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知

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与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。

（三.）追击问题

例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°

北 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？

解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。

在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理

AC?AB?BC?2AB?BCcos?，

222A 45° B 15°

?28t?22?81??20t??2?9?20t?(?212图3

)，

34C （4t－3）（32t+9）=0，解得t=128t?60t?27?0，∴AC=28×

34，t=

932（舍）

=21 n mile，BC=20×

34=15 n mile。

3根据正弦定理，得sin??BCsin?AC7214531415??2?53，又∵α=120°，∴β为锐角，

21145314β=arcsin

5314，又

5314＜＜

22，∴arcsin＜

?4，

∴甲船沿南偏东

?4－arcsin的方向用

34h可以追上乙船。

点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，

但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。

这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。

五、交汇问题

是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．

例6 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB?????????3 （Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）设BA?BC?，求a＋c的值.

234.

分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定

理等．

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解：（Ⅰ）由cosB?34,得sinB?3271?()?,

44由b2=ac及正弦定理得 sin2B?sinAsinC. 则cotA?cotC? ?1tanA??1tanCsinB?cosAsinA?1?cosCsinC?4?sinCcosA?cosCsinAsinAsinC

7. 22sinBsinBsinB7????????3332

（Ⅱ）由BA?BC?，得ca?cosB＝，由ㄋB＝，可得ac＝2，即b＝2．

224sin(A?C)由余弦定理b=a+c－2ac+cosB，

得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. (a?c)2?a2?c2?2ac?5?4?9,a?c?3

222

易错题解析

例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2?b2?c2，求A的取值范围。 错解：∵a2?b2?c2，∴b2?c2?a2?0。则

b?c?a2bc222cosA??0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数

且cos90°?0，∴A?90°

又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形

的普通一条边，造成解题错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。

又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC中，若

ab222?tanAtanB，试判断△ABC的形状。

错解：由正弦定理，得

sinAsinB2?tanAtanB

即

sinAsinB22?sinAcosA·cosBsinB，∵sinA?0，sinB?0

∴sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B。

∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。

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辨析：由sin2A?sin2B，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函

数的性质，三角变换生疏。

正解：同上得sin2A?sin2B，∴2A＝2k??2B

或2A?2k????2B(k?Z)。

∵0?A??，0?b??，∴k?0，则A?B或A?故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 例题3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC?错解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC?∴3?12?2?B。

3，求

12a?b?csinA?sinB?sinC的值。

3，又S△ABC?bcsinA，

csin60°，解得c＝4。

b?c?2bccosA?22由余弦定理，得a?1?16?8cos60°?13

又由正弦定理，得sinC?639，sinB?3239。

∴

a?b?csinA?sinB?sinC?13?1?432?3239?639。

辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得c?4，a?asinA13sin60°13。由正弦定理，得

2R???2393。∴a?b?csinA?sinB?sinC?2R?2393。

例题4 在△ABC中，c?6?2，C＝30°，求a＋b的最大值。

错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得

asinA?bsin(150°?A)?6?2sin30°

∴a?2(6?b?2(6?2)sinA，

2)sin(150°?A)

又∵sinA?1，sin(150°?A)?1

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∴a?b?2(6?2)?2(6?2)?4(6?2)。

故a?b的最大值为4(6?2)。

辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是

相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。

由正弦定理，得

asinA?bsin(150°?A)?6?2sin30°

因此a?b?2(6??2(6??4(6?2)[sinA?sin(150°?A)]

2·)sin75°cos(A?75°)2)6?42·cos(A?75°)

?(8?43)cos(A?75°)?8?43∴a＋b的最大值为8?43。

例题5 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。

错解：由余弦定理，得c?a?b?2abcos15°

6?42222?4?8?2×2×22×?8?43 ∴c?6?2。

asinCc0又由正弦定理，得sinA?00?12

0而0?A?180，∴A＝30或A?150。

辨析：由题意b?a，∴B?A。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利

用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c?6?02，sinA?012，∵b?a，

0∴B?A，且0?A?180，∴A?30。

例题6 在△ABC中，?cosA?bcosB，判断△ABC的形状。

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错解：在△ABC中，∵acosA?bcosB，由正弦定理

得2RsinAcosA?2RsinBcosB

∴sin2A?sin2B，∴2A?2B且2A?2B?180° ∴A＝B且A＋B＝90° 故△ABC为等腰直角三角形。

辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

正解：在△ABC中，∵acosA?bcosB，由正弦定理， 得2RsinAcosA?2RsinBcosB，∴sin2A?sin2B。 ∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

例题7 若a，b，c是三角形的三边长，证明长为a，b，角形。

错解：不妨设0?a?b?c，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。

cos??(a)?(b)?(c)2ab222c的三条线段能构成锐角三

?a?b?c2ab。

由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a?b?c，即cos??0。 ∴长为a，b，c的三条线段能构成锐角三角形。

辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长

线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。 正解：由错解可得cos??0

又∵a?b?c?(a?b?c)(a?b?cb?c)a?a?b?ca?b?c

?(a?a?b)?cb?c2??2aba?b?c?0

即长为a，b，

高考试题展示

c的三条线段能构成锐角三角形。

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1、（06湖北卷）若?ABC的内角A满足sin2A?1531532353，则sinA?cosA?

53A.

B．? C． D．?

解：由sin2A＝2sinAcosA?0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA?0， 又(sinA?cosA)2?1?sin2A?53，故选A

2、（06安徽卷）如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则

A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形

C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形

解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?A1B1C1是锐角三角形，若?A2B2C2是锐角

????sinA?cosA?sin(?A)A??A1211??222???????三角形，由?sinB2?cosB1?sin(?B1)，得?B2??B1，那么，A2?B2?C2?，

222??????sinC?cosC?sin(?C)C??C12112??22??所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。

3、（06辽宁卷）?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量

??????p?(a?c,b),q?(b?a,c?a),若p//q,则角C的大小为

(A)

?6 (B)

?3 (C)

?2 (D)

2?3

???222【解析】p//q?(a?c)(c?a)?b(b?a)?b?a?c?ab，利用余弦定理可得

2coCs?，即1cosC?12?C??3，故选择答案B。

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。

4、（06辽宁卷）已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ） Ａ．32 Ｂ．3 Ｃ．158 Ｄ．157

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解：依题意，结合图形可得tanA2?15152tanA222??1?(15151515?)2，故tanA?1?tan157A2，选D

5、（06全国卷I）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? A．

14 B．

34 C．

24 D．

23

解：?ABC中，a、b、c成等比数列，且c?2a，则b=2a，

cosB?a?c?b2ac222=

a?4a?2a4a2222?34，选B.

?36、06山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=3,b=1，则c=

(A) 1 （B）2 （C）3—1 （D）3 解：由正弦定理得sinB＝

12，又a?b，所以A?B，故B＝30?，所以C＝90?，故c＝2，选B

27、（06四川卷）设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a?b?b?c?是

A?2B的

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 解析：设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a?b?b?c?，

2则sinA?sinB(sinB?sinC)，则∴

1221?cos2a2?1?cos2B2?sinBsinC，

(cos2B?cos2A)?sinBsinC，sin(B?A)sin(A?B)?sinBsinC，

又sin(A?B)?sinC，∴ sin(A?B)?sinB，∴ A?B?B，A?2B， 若△ABC中，A?2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a?b?b?c?，

2所以a?b?b?c?是A?2B的充要条件，选A.

28、（06北京卷）在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则?B的大小是___________. 解： sinA:sinB:sinC?5:7:8?a?b?c＝5?7?8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

?由余弦定理可解得?B的大小为.

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9、（06湖北卷）在?ABC中，已知a?334，b＝4，A＝30°，则sinB＝

32 . 解：由正弦定理易得结论sinB＝

32。

10、（06江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，

ACsin45??BCsin60?解得AC?46 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 11、（06全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ． 解析: 由?ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=?可得?B?AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD?3。

?3

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，

则cos2C? . 解：由三角形面积公式，得

12BC?CA?sinC?20sinC?12，即sinC?35．

于是cos2C?1?2sinC?2725从而应填

725．

13、（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=?,∠ABC=?.

A （1）证明 sin??cos2??0;

β B ?2α （2）若AC=3DC,求?的值.

?2解：(1)．如图3，????(??2?)?2??,?sin??sin(2??图3

?2D C )??cos2?，

即sin??cos2??0．

（2）．在?ABC中，由正弦定理得

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DCsin??ACsin(???),?DCsin??3DCsin?.?sin??3sin?

由(1)得sin???cos2?，?sin???3cos2???3(1?2sin2?),

即23sin2??sin??3?0.解得sin??32或sin???33．

?0????2?,s?i?n32??,??3 .14、（06江西卷）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

已知sinA?（1）求tan2223，

?sin2B?C2A2的值；

（2）若a?2，S△ABC?2，求b的值．

22313解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?，sinA?2，所以cosA＝，则

tan2B＋C2＋sin2A2＝2＋sin2A22B＋Ccos2sinB＋C

＝1－cos（B＋C）11＋cosA17＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA3312bcsinA＝122（2）因为S?ABC＝2，又S?ABC＝将a＝2，cosA＝解得b＝3

13bc?22232，则bc＝3。

42，c＝

3b代入余弦定理：a＝b＋c－2bccosA中得b－6b＋9＝0

15、（06江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，

M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G， ?2?设?MGA＝?（???）

33A（1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示

为?的函数

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（2）求y＝

1S12＋1S22的最大值与最小值

解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以 AG＝

23?32＝33，?MAG＝

?6，

由正弦定理

GMsin?6＝GAsin（?－?－?6得GM＝）36sin（?＋?6

）sin?则S1＝

12GM?GA?sin?＝

sin?12sin（?＋?6，同理可求得S2＝

）12sin（?－?6

）（2） y＝

1S12＋1S22＝

1442sin?〔sin（?＋2?6）＋sin（?－2?32?6）〕＝72（3＋cot?），

2

因为

?3???2?3，所以当?＝

?3或?＝

时，y取得最大值ymax＝240

当?＝

?2时，y取得最小值ymin＝216

B?C216、（06全国卷I）?ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA?2cos取得最大值，并求出这个最大值。

πB+CAB+CA

.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

22222

B+CAAAA13

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+

2222222πA1B+C3

当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为 22322

255

17、（06全国II）在?ABC中，?B?45?,AC?（1）BC??

10,cosC?,求

(2)若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 解：（1）由cosC?255?得sinC??55

22(cosC?sinC)?31010sinA?sin(180?45?C)?

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由正弦定理知BC?ACsinB?sinA?10310??32 1022（2）AB?ACsinB?sinC?1022?55?2，BD?12AB?1

由余弦定理知CD?BD?BC?2BD?BCcosB?221?18?2?1?32?22?13 18、（06四川卷）已知A,B,C是三角形?ABC三内角， ??????向量m??1,3,n??cosA,sinA?，且m?n?1

??（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若

1?sin2BcosB?sinB22??3，求tanB

解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。

???（Ⅰ）∵m?n?1 ∴?1,3??cosA,sinA??1 即3sinA?cosA?1

???31???1?2?sinA??cosA???1, sin?A??? ?6?222????∵0?A??,?（Ⅱ）由题知

?6?A??6?5?6 ∴A?2?6??6 ∴A??3

21?2sinBcosBcosB?sinB22??3，整理得sinB?sinBcosB?2cosB?0

2∴cosB?0 ∴tanB?tanB?2?0

∴tanB?2或tanB??1

22而tanB??1使cosB?sinB?0，舍去 ∴tanB?2

?∴tanC?tan?????A?B?????tan?A?B???1?tanAtanB??1?23tanA?tanB2?38?5311

19、（06天津卷）如图，在?ABC中，AC?2，BC?1，cosC?（1）求AB的值； （2）求sin?2A?C?的值.

本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解

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34．

决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，

2 AB2?AC?BC?22. 23A.C.BcCos?4C?1?2?2?1?4? 2.那么，AB?34（Ⅱ）解：由cosC?，且0?C??,得sinC?1?cosC?274.

由正弦定理，

ABsinC?BCsinA,解得sinA?BCsinCAB?148。

所以，cosA?5282。由倍角公式sin2A?sin2A?cosA?9165716，

且cos2A?1?2sinA?，

378故sin?2A?C??sin2AcosC?cos2AsinC?20、（07重庆理5）在?ABC中，AB?A.3?【答案】：A 【分析】：?AB?asinA0.

03,A?45,C?75,则BC =（ ）

3 B.2 C.2 D.3?3

3,A?45,C?75,由正弦定理得：

00 ?csinC,?BCsin45??ABsin75??36?42,

?BC?3?3 .13?，C?150，BC?1，则AB?

21、（07北京文12理11）在△ABC中，若tanA?13?解析：在△ABC中，若tanA?，C?150，∴ A 为锐角，sinA?110，BC?1，

则根据正弦定理AB?BC?sinCsinA=102。．

22、（07湖南理12）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，

c?3，则B? ．

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【答案】

5π6

1?3?72?1?3325π6【解析】由正弦定理得cosB???,，所以B?.

23、（07湖南文12） 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

?若a?1,c?3,C?，则A= . 33【解析】由正弦定理得

asinA?csinC?sinA?asinCc?23?12，所以A=

。

π6

24、（07重庆文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 【答案】：3

【分析】：由余弦定理得：AC?1?2?2?1?2?cos60?3.?AC? 24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小

222?3.

的锐角为?，那么cos2?的值等于 ．

解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，

?a2?b2?25?设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则?1，

ab?6??2∴ 两条直角边的长分别为3，4， 设直角三角形中较小的锐角为?，cosθ=25、（07福建理17）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．

1?1435?35??1．

4514，cos2θ=2cos2θ－1=，tanB?35725。

．

解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??41?书利华教育网【www.ShuLiHua.net】您的教学资源库

又?0?C?π，?C?（Ⅱ）?C?3434π．

?，?AB边最大，即AB?17．

又?tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．

???sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，????得sinA?1717．由ABsinC?BCsinA得：BC?AB?sinAsinC?2．

所以，最小边BC?2．

26、（07广东理16）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)． （1）若c?5，求sin∠A的值； （2）若∠A是钝角，求c的取值范围． 解析：

????（1）AB?(?3,?4)????，AC?(c?3,?4)，若c=5，

????则AC?(2,?4)， 255∴cos?A??????????6?161cos?AC,AB???5?255??3c?9?16?0?c?0，∴sin∠A＝

?253；

253,??)2）若∠A为钝角，则?解得c，∴c的取值范围是(；

27、（07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．

解：在△BCD中，?CBD?π????．

由正弦定理得

BCsin?BDC?CDsin?CBD．

所以BC?CDsin?BDCsin?CBD?s?sin?sin(???)．

在Rt△ABC中， AB?BCtan?ACB?s?tan?sin?sin(???)．

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????????????????28、（07湖北理16）已知△ABC的面积为3，且满足0?AB?AC?6，设AB和AC的

夹角为?．

（I）求?的取值范围；（II）求函数f(?)?2sin2?????????4? 3cos2?的最大值与最小值．

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．

解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则由

1?ππ?． bcsin??3，0≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，∴???4，?22???π??????4???π??3cos2???1?cos??2?????2???3cos2?

（Ⅱ）f(?)?2sin2??(1?sin2?)?3cos2??sin2??π?3cos2??1?2sin?2??3????1． ?π?π2π?π???ππ?∵???，?，2????，?，∴2≤2sin?2????1≤3．

3?63?3???42?即当??5π12时，f(?)max?3；当??π4时，f(?)min?2．

29、（07全国卷1理17）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

a?2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B???π612，

．

（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???1232??????A??cosA?sin??A? ???6????3sin?A??．

3???cosA?cosA?sinA??2?2由△ABC为锐角三角形知，?A??B，

?2?B??2??6??3．

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2?3?A??3??6，所以

1??3?． sin?A???232??3，

由此有

32???3?3sin?A????3?2??33所以，cosA?sinC的取值范围为?，?22??． ?????30、（07全国卷2理17）在△ABC中，已知内角A?周长为y．

（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?BCsinA23sin????，边BC?23．设内角B?x，

，B?0，C?0得0?B?2??．

应用正弦定理，知AC?sinB?sinx?4sinx，

AB??2??sinC?4sin??x?． sinA???BC 因为y?AB?BC?AC，

?2?2?????x??23?0?x??， ?3??????1?sinx??23 ?2?

所以y?4sinx?4sin???

（2）因为y?4?sinx??cosx? ?4?????3si?nx?????????5????2?3?x???，

????? 所以，当x??，即x???时，y取得最大值63．

31、（07山东理20）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向?匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两

船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向

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的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结A1B1，由已知A2B2?102，

A1A2?302?2060北 ?102，

?120 A2

?A1A2?A2B1，

B2 ?105 A1

又∠A1A2B2?180??120??60?，

?△A1A2B2是等边三角形，

B1 乙 甲

?A1B2?A1A2?102，

由已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105??60??45?， 在△A1B2B1中，由余弦定理，

222B1B2?A1B1?A1B2?2A1B2?A1B2?cos45?20?(102)?2?20?102??2222?200．

?B1B2?102．

10220因此，乙船的速度的大小为． ?60?302（海里/小时）

答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图，连结A2B1，

由已知A1B2?20，A1A2?302????2060?102，∠B1A1A2?105，

????cos105?cos(45?60)?cos45cos60?sin45sin60

??2(1?43)北 ，

120 ??A2

???????sin105?sin(45?60)?sin45cos60?cos45sin60 B2 105 A

1?2(1?43)B1 ．

乙 甲

在△A2A1B1中，由余弦定理，

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A2B1?A2B2?A1A2?2A1B1?A1A2?cos105

222??(102)?20?2?102?20?222(1?43)?100(4?23)．

?A1B1?10(1?3)．

A1B1A2B22010(1?3)2(1?43)22由正弦定理sin∠A1A2B1??sin∠B1A1A2???，

?∠A1A2B1?45，即∠B1A2B1?60?45?15，cos15?sin105???????2(1?43)．

在△B1A1B2中，由已知A1B2?102，由余弦定理，

B1B2?A1B1?A2B2?2A2B1?A2B2?cos15

222??10(1?23)?(102)?2?10(1?223)?102?2(1?43)?200．

?B1B2?102，

10220乙船的速度的大小为?60?302海里/小时．

答：乙船每小时航行302海里．

tanC?37． 32、（07山东文17）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求cosC；

????????5（2）若CB?CA?，且a?b?9，求c．

2?解：（1）?tanC?37，sinCcosC?37 1818

又?sinC?cosC?1

22解得cosC???cosC?． ．

?tanC?0，?C是锐角．

????????55（2）?CB?CA?， ?abcosC?， ?ab?20．

22

22又?a?b?9?a?2ab?b?81．

?a?b?41．

22222?c?a?b?2abcosC?36． ?c?6．

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33、（07上海理17）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．

若a?2,C?π4，cos3B2?255，求△ABC的面积S．

45解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?5，

sinA?sin(π?B?C)?sin? 由正弦定理得 c?107?3π?72， ?B??410??12ac?sinB?12?2?107?45?87， ? S?．

4534、（07天津文17）在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??（Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）求sin?2B??????的值． 6?．

本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在△ABC中，sinA?BCsinAACsinB1?cosA?23?4?1?????，

5?5?ACBCsinA?23?35?252由正弦定理，?45．所以sinB?．

（Ⅱ）解：因为cosA??，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是

2cosB?1?sinB?2?2?1?????5?215，

cos2B?2cosB?1?2?221525?1?1725，

sin2B?2sinBcosB?2??215?42115．

4213171127?17??????????． sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin252252506?66?35、（07浙江理18）已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?（I）求边AB的长；

2sinC．

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（II）若△ABC的面积为

16sinC，求角C的度数．

解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?两式相减，得AB?1．

（II）由△ABC的面积

12BC?AC?sinC?222?1，BC?AC?2AB，

16sinC，得BC?AC?2213，

2由余弦定理，得cosC?AC?BC?AB2AC?BC?(AC?BC)?2AC?BC?AB2AC?BC?12，

所以C?60?．

36、（07天津文理15） 如图，在?ABC中，

?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边BC上一

A点，

C????????DC?2BD,则AD?BC?__________.

BD【答案】?83

AB?AC22【分析】法一：由余弦定理得cosB?可得BC?7,AD?133?BC22?AB?AC?AB?AD22?BD22?AB?BD

，

????????又AD,BC夹角大小为?ADB，

cos?ADB?????????BD?AD?AB2?BD?AD222??329?89413?7??891，

所以AD?BC?AD?BC?cos?ADB??.

3????????????法二：根据向量的加减法法则有:BC?AC?AB

????????????????1????????AD?AB?BD?AB?(AC?AB)?3?????????????????1????2???AD·BC?(AC?AB)(AC?AB)?33?13?83?13??83?1????2???AC?AB,此时 33?2????21????22???????AC?AC·AB?AB 333.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m4cg.html