2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2

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第2课时 组合的综合应用

学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．

知识点 组合的特点 (1)组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求． (3)相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

类型一 有限制条件的组合问题

例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 考点 组合的应用

题点 有限制条件的组合问题 解 (1)C13－C11＝825(种)

(2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生；只有1名女生；没有女生， 所以共有C5C8＋C5C8＋C8＝966(种)选法． (3)分两类：

第一类女队长当选，有C12＝495(种)选法，

第二类女队长没当选，有C4C7＋C4C7＋C4C7＋C4＝295(种)选法， 所以共有495＋295＝790(种)选法．

反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉

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再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．

跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )

A．210种 B．420种 C．56种 D．22种 考点 组合的应用

题点 有限制条件的组合问题 答案 A

解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C4C7＋C4C7＝210(种)．

类型二 与几何有关的组合应用题

例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.

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(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 考点 组合的应用

题点 与几何有关的组合问题

解 (1)方法一 可作出三角形C6＋C6·C4＋C6·C4＝116(个)． 方法二 可作三角形C10－C4＝116(个)，

其中以C1为顶点的三角形有C5＋C5·C4＋C4＝36(个)． (2)可作出四边形C6＋C6·C6＋C6·C6＝360(个)．

反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．

(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．

跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( ) A．205 B．110 C．204 D．200 考点 组合的应用

题点 与几何有关的组合问题 答案 A

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解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C5C5＋C5C5＋C5C5＋C5C5＝205.

方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C10－C5＝205. 类型三 分组、分配问题

命题角度1 不同元素分组、分配问题

例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；

(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题

C6C4C215×6×1

解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为3＝＝15.

A36(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C6C3C1＝20×3＝60. C6C2C115×2

(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为2＝＝15.

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反思与感悟 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组元素数目相等，那么分组方法数是Cm1nCm2n－m1Cm3n－m1－m2…Cmpmp. kAk411

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跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；

(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题

解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C6C4C2＝90(种)不同的分配方法； (2)共有C6C5C3＝60(种)不同的分配方法； (3)共有C6C2C1＝30(种)不同的分配方法．

(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A3即可．因此，(4)共有C6C4C2÷A3×A3＝90(种)不同的分配方法；

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m42a.html