直线、平面平行的判定与性质

考点3 直线、平面平行的判定与性质

1.（徐州市2014届高考信息卷）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD DC CB a， ABC 60o．平面ACEF 平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上．

（1）求证：BC 平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM 平面BDE？证明你的结论．

zl066

第1题图

【考点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理.

【解】（1）证明：由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB

2a，AC， 所以AC BC，

又平面ACEF 平面ABCD，平面ACEF 平面ABCD AC，

所以BC 平面ACEF． …………………6分

，AM 平面BDE． …………………8分 在梯形ABCD中，设AC BD N，连结EN，则CN:NA 1:2，

（2

）当FM

因为FM

，EF AC ， ，又EM AN， 3

所以四边形EMAN为平行四边形，…………11分

所以AM NE，

又NE 平面BDE，AM 平面BDE，

所以AM 平面BDE． …………………14分

所以EM

AN=

zl067

第1题图

2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一点.

(1 )求证：BC⊥AM；

(2 )若N是AB的中点，且 CN 平面AB1M，求CM的长

.

第2题图 FGQ12

【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定.

【解】(1 )证明：∵ABC A1B1C1为直三棱柱，∴CC1 平面ABC，∴BC CC1， 又BC⊥AC，AC CC1 C.∴BC⊥平面ACC1A1，

∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM.

(2 )取AB1的中点P，连接MP，NP，

∵P为AB1中点，N为AB中点，∴NP为△ABB1的中位线，∴NP BB1，

又∵C1C,B1B，都是直三棱柱的棱，

∴C1C B1B，∴MC B1B，

∴NP CM，∴NPCM共面，

又∵CN 平面AB1M，PM 平面AB1M,∴CN MP，

∴PNCM是平行四边形，

∴CM=NP=111BB1 =CC1= 4

2. 222

第2题图 FGQ13

3. (淮安都梁中学2015届高三10月调研)在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，△SBC，△SDC为正三角形，E为侧棱SC上一点．

（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；

（2）求证：平面BDE⊥平面SAC．

zl089

第4题图

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

zl090

第3题图

【证明】（1）设AC与BD的交点为O，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点， 又E为SC的中点，所以，OE为三角形SAC的中位线，所以SA∥OE，又OE 面BDE， SA 面BDE，所以，SA∥平面BDE；

（2）连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O是BD的中点，所以BC=CD， 又，△SBC，△SDC为正三角形，所以，SB=BC=CD=SD，故SB=SD，所以BD⊥SO 又SO∩AC=O，SO，AO 平面SAC，所以BD⊥平面SAC，又BD 平面BDE，所以有： 平面BDE⊥平面SAC．

4. （南通市2015届高三第三次调研）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，BC1⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．

（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）如果点D,E分别为AC11,BB1的中点，

求证：DE∥平面ABC1．

zl075

第4题图

【证明】（1）三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，

故B1C⊥BC1．……………………………………………………………………… 2分 又BC1⊥AB，且AB,BC1为平面ABC1内的两条相交直线，

故BC1⊥平面ABC1． 5分

因B1C 平面BCC1B1， 故平面ABC1⊥平面BCC1B1． 7分

zl076

第4题图

（2）如图，取AA1的中点F，连DF,FE． 又D为AC11的中点，故DF∥AC1，EF∥AB． 因DF 平面ABC1，AC1 平面ABC1， 故DF∥面ABC1． ………… 同理EF∥面ABC1． 因DF,EF为平面DEF内的两条相交直线， 故平面DEF∥面ABC1．…………………………………… 因DE 平面DEF， 故DE∥面ABC1．…………………………………………………………………… 14分 12分 10分 5．（2015江苏苏州市高三上调考）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且AF ． AC

（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；

（2）求证：平面BCD⊥平面AED．

JSY38

第5题图

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【解】（1）因为EF∥平面ABD，易得EF 平面ABC，

平面ABC∩平面ABD=AB，

所以EF∥AB，

又点E是BC的中点，点F在线段AC上，

所以点F为AC的中点， 由AF1 得 ； AC2

（2）证明：因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，

所以BC⊥AE，BC⊥DE，

又AE∩DE=E，AE、DE 平面AED，

所以BC⊥平面AED，

而BC 平面BCD，

所以平面BCD⊥平面AED．

6．（15南通市直调考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥CD．

（1）求证：直线AB∥平面PCD；

（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．

第6题图 cqn04

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【证明】（1）∵ABCD为矩形，∴AB∥CD． …（2分）

又DC 面PDC，AB不包含于面PDC，…（4分）

∴AB∥面PDC． …（7分）

（2）∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，…（9分）

又PA⊥CD，PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，

∴CD⊥平面PAD． …（11分）

又CD 面PDC，∴面PAD⊥面PCD．…（14分）

7. （15南京市湖滨中学高三上学期10月学情检测数学试卷）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：

（1）PB∥平面AEC；

（2）平面PCD⊥平面PAD．

第7题图Abc4

【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

【证明】（1）连结BD，AC交于O．

∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=1AC, 2

连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB,

∵EO 平面AEC，PB 平面AEC，∴PB∥平面AEC

.

第7题图 Abc5

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，

∴CD⊥PA.

又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PADI， ∵CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.

8．若直线a平行于平面α，给出以下结论：①a平行于α内的所有直线；②α内

有无数条直线与a平行；③直线a上的点到平面α的距离相等；④α内存在无数条直线与a成90°角．其中错误的结论是________(填序号)．

【答案】①

【分析】若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以①不正确，②，④正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以③正确．

9．平面α∥平面β，点A、C∈α，B、D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件

是________(填序号)．

①AB∥CD；②AD∥CB；③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面．

【答案】④

【分析】充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.

必要性显然成立．

10．(2015·常州监测)给出下列命题：

①若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； ②若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； ③若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； ④若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 则其中所有真命题的序号为________．

【答案】①②

【分析】利用相关定理逐一判断．由面面平行的性质可知①正确；

由线面垂直的性质可知②正确； 若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线可能与另一个平面平行，也可能在另一个平面内，所以③错误； 若两个平面垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线一定垂直于另一个平面，所以④错误．

故真命题序号是①②.

11．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，现给出以下结论：①BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形；②EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形；③HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形；④EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形．其中结论正确的序号是________．

【答案】②

JSY161 第11题图

∴EF∥HG，且EF≠HG.

∴四边形EFGH是梯形．

又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．

12．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

【分析】由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，

13．(2015·吉林九校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出以下命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中命题正确的是________(填序号)．

【答案】②

【分析】对于①，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故①错误；

对于②，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故②正确；

对于③，n可以平行β，也可以在β内，故③错；

对于④，α与β可以相交，因此④错．

14. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面ABC1，则线段EF的长度等于

________．

JSY162 第14题图

【分析】因为直线EF∥平面ABC1，EF 平面ABCD，

且平面ABC1∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，

又E是DA的中点，所以F是DC的中点，

又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，

15．(2014·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a γ.如果命题“α∩β＝a，b γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．

【答案】①或③

【分析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

16．(2014·苏北四市模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，

M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

JSY163 第16题图

求证：(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点

O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

JSY164 第16题图

又BE 平面DMF，MO 平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE 平面MNG，GN 平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又BD 平面MNG，MN 平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

17．(2014·苏北四市调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．

JSY165 第17题图

(1)求证：DE∥平面ABC；

(2)求三棱锥E－BCD的体积．

【解】(1)证明：如图，取BC中点G，连接AG，EG，又E是B1C的中点，

JSY166 第18题图

由直棱柱知，AA1 BB1，而D是AA1的中点，∴EG∥AD，

∴四边形EGAD是平行四边形，

∴ED∥AG，又DE 平面ABC，AG 平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

(2)∵AD∥BB1，

∴AD∥平面BCE，

∴VE－BCD＝VD－BCE＝VA－BCE＝VE－ABC，

19．(2015·广东七校联考)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β

的一个充分条件是________(填序号)．

①存在一条直线a，a∥α，a∥β；

②存在一条直线a，a α，a∥β；

③存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α.

【答案】④

【分析】对于①，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以①是α∥β的一个必要条件； 同理，②也是α∥β的一个必要条件；

易知③不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；

对于④，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，

则有α∥β，所以④是α∥β的一个充分条件．

20．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．

JSY167 第21题图

【答案】①④

【分析】对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；

对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；

图形②，③都不可以．

22.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1 (请填上你认为正确的一个条件)．

JSY168 第22题图

【答案】M∈线段HF

【分析】如图，连接FH，HN，FN，

JSY169 第22题图

由题意知HN∥面B1BDD1，

FH∥面B1BDD1.

且HN∩FH＝H，

∴面NHF∥面B1BDD1.

∴当M在线段HF上运动时，

有MN∥面B1BDD1.

23．(2014·南京模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，

AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A EF位置，使得A C＝

(1)求五棱锥A －BCDFE的体积；

(2)在线段A C上是否存在一点M，使得BM∥平面A EF？若存在，求A M；若不存在，请说明理由．

JSY170 第23题图

【解】(1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A

H.

JSY171 第23题图

∵四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，

∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，

从而有A H⊥EF，CH⊥EF，又A H∩CH＝H，

所以EF⊥平面A HC，且EF 平面ABCD，

从而平面A HC⊥平面ABCD，

过点A 作A O垂直HC且与HC相交于点O，

则A O⊥平面ABCD，

因为正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，

所以五棱锥A －BCDFE

的体积

(2)线段A

C上存在点M，使得BM∥平面A EF， 连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点．

所以OM∥A H，又OM 平面A EF，A H 平面A EF， 所以OM∥平面A EF，

又BD∥EF，BD 平面A EF，EF 平面A EF， 所以BD∥平面A′EF，

又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A EF， 因为BM 平面MBD，所以BM∥平面A EF.

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