量子力学第三章习题

第三章 量子力学中的力学量

223.1 一维谐振子处在基态 ??x?????xi2?2?t1e,求

?2(1) 势能的平均值 U?12??2x2; (2) 动量的几率分布函数;

T?p2(3) 动能的平均值 2?.

解: (1) 势能的平均值:

??U???*????x??x?Udx??2?????x?21??2??2x2dx?1?2??2??e??2x2dx???x?1?12??2????2?3?14??2112?1?2?4??????4??(2) 动量的几率分布函数

??C?p????*px?x???x?dx?1??x?e?i?pxdx??2??????1??2x2i2????e??2?2?te?i?pxdx????2??1??i?2?t2??x2?2ip???2x??2????edx???e??22

??i2?t?p?2?ip?2?22?2?32?e?e2?e??2??x????d??ip?????x???2??p2??e?2?2?2?i?t2?22?32???e?y2?dy??p2?12?2?22?t??e??i?所以

C?p?2?12?p?2?2???e

(3) 动能的平均值T?p22?

??p2T?1?22?p2?12????C?p?2p2dp?12??1??????e??2p2dp?22?1?1??3?3?y2e?y2???1?

2????dy???????2??24???????????13

计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点能??2的一半. 以上计算中,用到积分公式:

????xe2n??x2dx?2?1?3?5??2n?1?? ?2n?1?n费曼方法介绍:

设某系统的能量本征值方程为

?,E,n含有一参数?, 那么, 便有 其中Hn?n?En Hn??H??n??Enn?E?n n?Hn????????于是有

??nE, 得到 再根据nHn??n?n?En?H? nn?nH?nn?nEn??????????En?Hnn?nn. ????这个公式对于求某些力学量本征态下的平均值问题会非常有用.具体到这里的(1)、(3)小题,有

2?p1??(1) H???2x2. 2?2因而

??H21222??x2??x?U. ???2?这样便有

0这里, 用到了E0?2?U0?0?E010?? ??21??, 因此, 有 2U?0U0?1?? 4?2d21?(3) H?????2x2. 22?dx2因而

??H?d22??2d2?2????????T. ???dx2??2?dx2??根据费曼方法, 有

0这样, 便有

?E02?1T0?00?? ???2?0?1?? T?0T4从以上两例, 可以看到:利用费曼方法,可以非常简捷地得到所要的结果.这种方法,在后面

14

还会用到.

此外,根据(1)与(3)两道小题,有

H?T?U?T?U?1?? 23.2. 氢原子处在基态??r,?,???(1) r的平均值;

1?a30e?ra0,求:

e2(2) 势能?的平均值;

r(3) 最可几半径; (4) 动能的平均值; (5) 动量的几率分布函数. 解: (1) r的平均值:

?1223r??????r?r?rdrd??4??3?rea0dr?a00?2r?(2) 求势能的平均值:

4?a0??3?a0?2?4?3?x?xedx?0

4a033!?a02422???e?4e2?a0?a0U??4?3?redr??3???a00a0?2?2re2xedx?? ?a00?x(3) 求最可几半径:

电子在半径为r的球面上的几率为

1?a0222W?r????r?r?3er

?a0求上式对r的导数

2rd1?2r2??a0W?r??3?2r??e dr?a0?a0?令上式等于零, 则可求得最可几半径为:

2rr?a0

p2(4) 动能的平均值T?

2?T???*100???2?r???2??2?r???2??1????1?2???r?sin???rd????r??r?sin????22??100????sin???????????

r???1?4???ea03?a0?0??r????2??2???1a0?2?re?rdr?2?r2?r??r??3????a0???2r?1??2?2?a0?4????re3??a02???0?12???2?draar0??015

?a02?x?a0?xxedx?xedx????820?0?

2?2?a0a0??2e2??2?????2?a0?42?2?a02a02?2??2?a0(5) 动量的几率分布函数

欲求动量的几率分布,必须先将波函数按动量的本征函数展开.即

????r??C?p?e??2???32??1?ip?r?dp 其中 C?p????r?e??2???32??1?i?p?r?d?

将氢原子的基态波函数代入得:

C?p??2??2???32i??prcos?1a02ree?sin?d?dr 3???a000??r因为在积分过程中p不变,我们p选沿z轴方向,即p?r?prcos?对?的积分已经完成,以下作对?的积分:

?ipr??e0i?prcos???sin?d??eipr?0?i?prcos??iipr?pr????i????d??prcos???eydy??e?e? ??ipripr??i???pr?将上式的结果代入C?p?中,最后对r积分:

C?p???2??2???132?1i??1i?????p?r???p?r1?????a0??a0?????redr??redr?3??a0?0ipip?0???11??11??32?3a0ip??1i?2?1i?2???p???p??????a0???a0????44a0?1?4ip32?3a0ipa0???2?a2p2?2033?2a0???a0??8?223?3a0??2?a02p2????2?a02p2?32

??1??这就是当氢原子处在基态时,电子动量的绝对值取p的几率.电子动量的绝对值在p?p?dp范围内的几率,等于C?p?乘以动量空间的体积元4?p2dp.此题中势能动能平均值可用费曼方法

2求解.

费曼方法求动能势能平均值. 动能平均值:

?2e2p?H?? 2?re2?e4E1????2

2a02?于是有:

16

????HpT??2????2??2

?E1e??2??2?这样根据费曼的方法,有

4

?H??T???E41??1?1???1,111??e?????2?21???T??e4?e42

???1??e?2?2,?T?2?2?2a0同样地,有

?H?2e?e??r?2eU?E 14?e3?e??2?2这样根据费曼的方法,有

1?H??2?1??4?e3?4?e3?e1?1??eU??1,??2?2??1??2?21??2?eU???1??4?e3?e4e2

2?2,?U???2??a0当然有

U?e2e2H?T?U?T?e22a??? 0a02a0是自洽的.

*3.3. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标系中的分量是Jer?Je??0

Je?me????rsin??2nlm

解: 电流密度

Je??eJ 而J为电子的几率流密度 J?i?2?????*??*??? 在球坐标系中电子运动状态函数为

?mnlm?NlmRnl?r?Pl?cos??eim?

其中Rmnl,Pl?cos??均为实数，Nlm是实数，只有eim?是非实数，而

?eim??*?e?im?

另外球坐标中的梯度算符为

??e??r?e1?1?r?r???e?rsin??? 17

则电流密度的径向分量Jr为：

Jr????i???*??*??nlm?nlm??nlm?nlm?2???r?r?i??mmim??dRnl?r???im????NPcos?e?Rnl?r?NlmPl?cos??e???lml2??dr???i??mm?im??dRnl?r??im????????RrNPcos?eNPcos?e?nl?lml?dr?lml2?????

i??mdmmdm?RnlNlmPl?RnlNlmPlRnlNlmPl??0?RnlNlmPl2??drdr?电流密度?方向的J?分量为

i???d??im??mmim?????????J??RrNPcos?eRrNPcos?e?nl? lmlnllm?l?2??rd????i???d?im??mm?im?????????RrNPcos?eRrNPcos?e??0 ?nllmlnllm?l?2???rd?????im??im?其实Jr?J??0是很显然的，因为和对e,e不起作用，所以状态函数与实函数的

?r???情况相同.

电流密度?方向的J?分量为

J??????i?1??im??mmim?RrNPcos?eRrNPcos?e??????????nllmlnllml2??rsin????i?1?im??mm?im?RrNPcos?eRrNPcos?e??????????nllmlnllml2??rsin??????im?e?im??i?mmim?RrNPcos?eRrNPcos?????nl??lml??nl??lml2??rsin???im?eim??i?mm?im?RrNPcos?eRrNPcos??????????nl?lmlnllml2??rsin??m??rsin?nlm2

综上所述：?Je?r??Je???0

?Je????e?Je????eJe???em2?nlm

?rsin?3.4. 由上题知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆电流组成的. (1) 求一圆电流的磁矩;

?me??2??(2) 证明氢原子磁矩为 M?Mz????me??2?c?SI?

?CGS?18

?e??SI??Mz?2?原子磁矩与角动量之比 ??Lz?e?CGS????2?c这个比值,称为回转比磁比率.

解: (1) 一个微分的园环中通过电流所产生的磁矩

在球极坐标中(核处于原点),某一?,r的圆环附近流过电流dS面积的微分圆面积电流为

dI?Je?dS

该圆电流的磁矩为 dMz?AdI??r2sin2?Je?dS

22式中?rsin?是环子??,r?的所围成的面积.将Je???em2?nlm代入得

?rsin?zdMz??mz??em?rsin????nlmdS

22em?rsin??nlmrsin?J??mz是一圆周电流的磁矩.

(2) 氢原子的磁矩为:

??M?Mz???mzrdrd?00?rsin?drd? (SI) x2nlm2r??em???????002nlmO?题3.5图yem?1???2?em??2?2???2???????0002rsin?drd?d?em2?2????nlmd???000若用CGS单位制, dMz?AdI, cem (CGS) 2?c则 Mz???e??Mz?2?L?m?注意到z,则立即可以得到回转磁比率: ??Lz??e??2?c?SI?

?CGS?L23.5. 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是H?,L为角动量, 求与此对应

2I的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:

(1) 转子绕一固定点转动; (2) 转子绕一固定轴转动.

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解: 空间转子是在中心力场中运动的特例,即它是被约束在球面上运动的体系.这种情况下,体系的哈密顿为

22?2??L1??1??????? H????sin?????22?2I2I??sin????????sin????(1) 对于定点转动,状态与?,?都有关,设能量的本征函数为???,??,有

????,???E???,?? H?2L???,???E???,?? 即 2I?2Y??,???l?l?1?2Y??,?? 而 Llmlm比较上两式,我们得到:

当???,???Ylm??,??时，则

l?l?1??2El?

2I此时我们同时求得能量的本征值和本征函数.

(2) 转子绕一固定轴转动.

对于定轴转动,即转子被约束在某个平面内的圆周上转动,我们可以假设??无关.此时体系的哈密顿算符亦与?无关,写作

?2,波函数与??2L?2d2? H???2I2Id?2m波函数与?无关,只取决于Ylm?Pl?cos???m???中的?m???

即 ??????m????将哈密顿算符作用于上式得到能量的本征值为

1im?e 2?m2?2Em?m?0,?1,?,?

2I2d2?????E???? 或直接解本征值方程 ?22Id?d22IE???????0 其中 ??????22d??其解

?????Asin???Bcos??

考虑单值条件, 即??0????2??, 得

B?Asin2???Bcos2??

由此得

??m2也可以将本征函数改写为

?m?0,1,2,?

?

20

?????Aeim??Be?im?,?m?0,1,2,即

?????Ae,?m?0,?1,?2,im??

2

可归一化为:

2??????????d??*02??0A*Ad??A2??1

1 2?A?最后得

?????因此本征值为

1im?e,?m?0,?1,?2,2??

m2?2Em?2I3.6. 设t?0粒子的状态为

m?0,?1,?,?

??x??A?sin2kx?coskx?

求此时的平均动量和平均动能.

解: 方法I:

??12????x??1?2?????C?p?e????ipx?dp

Adx?2?ｉ1?2??px?sinkx?coskx?edx?2?????1C?p??2?A?2?1A?42?????ｘ?eｉ?px??eikx?e?ikx?21?eikx?e?ikx??????2i2?2??????????ｉpx??edx?????eｉ?px

??????e2ikx?e?2ikx?2?e?eikx?ikxdxA2????2k?p????2k?p??2??p????k?p????k?p?????4将上式代入??x???1?2?????C?p?eipx?dp中得

???px?p?x???12??i???e??x?px?pxdxiiipxpxpxAAA??x??????2k?p?edp????2k?p?edp??2??p?edp4??4??4??iipxpxAA????k?p?edp????k?p?edp4??4????

A?ei2kx?e?i2kx?2ei0kx?eikx?e?ikx??4A2??11211i2kx?i2kxi0kxikx?ikx???e?e?e?e?e?4?2?2?2?2?2????21

可见动量可以取5个值,依次是:2k?,?2k?,0,k?和?k?

由归一化条件:

2?C?p??1得

22222?A2????A2????2A2????A2????A2????????????????1 ?4???4????????4???????4??4?1所以归一化系数为 A?

??2?11211i2kx?i2kxi0kxikx?ikx???e?e?e?e?e?? 4?2??2??2??2??2????11111它们出现的几率分别为是:,,,和

88288??x??动量的平均值:

111112p??C?p?p?2k????2k????0?k????k???0

88288p动能的平均值:

2p21T??Cpp2???2?2?p1?12?4k2??852??k?8??方法II:

21?4k2821?0?k2821?k282?? ???x??A?sin2kx?coskx???eikx?e?ikx?21?eikx?e?ikx???A???????2i22????????

A???ei2kx?e?i2kx?2ei0kx?eikx?e?ikx?4A2??11211i2kx?i2kxi0kxikx?ikx???e?e?e?e?e?4?2?2?2?2?2???上面利用欧拉公式直接展开,结果与方法I一样,以下运算与方法I完全相同. 3.7. 一维运动粒子的状态是

??12???Axe??x??x????0其中??0,求

(1) 粒子的动量的几率分布函数; (2) 粒子的平均动量.

当x?0当x?0

解: (1) 按照波叠加原理，任一波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加.叠加系数为

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