2019届北师大版(文科数学) 定积分与微积分基本定理(普通高中) 单元测试
更新时间:2023-05-05 19:37:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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(十六) 定积分与微积分基本定理
(一)普通高中适用
A 级——基础小题练熟练快
1.定积分??0
1(3x +e x )d x 的值为( ) A .e +1
B .e
C .e -12
D .e +12 解析 选D ??0
1 (3x +e x )d x =????32x 2+e x ???10=32+e -1=e +12. 2.若f (x )=?????
x 3+sin x ,-1≤x ≤1,3,1<x ≤2,则??-12f (x )d x =( ) A .0
B .1
C .2
D .3
解析 选D ??-12f (x )d x =??-11(x 3+sin )d x +??1
23d x =0+3x ???21=6-3=3. 3. -?2
2π
π
(1+cos )d x =( )
A .π
B .2
C .π-2
D .π+2 解析 选D 因为(x +sin )′=1+cos , 所以-?22ππ (1+cos )d x =(x +sin ) ???π2-π
2
=π2+sin π2-????-π2
+sin ????-π2=π+2. 4.若??0
1(x 2+mx )d x =0,则实数m 的值为( ) A .-13
B .-23
C .-1
D .-2
解析 选B 由题意知??01 (x 2+mx )d x =????x 33+mx 22???10=13+m 2=0,解得m =-23.
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5.若f (x )=?????
lg x ,x >0,
x +??0
a 3t 2dt ,x ≤0,f (f (1))=1,则a 的值为( ) A .1
B .2
C .-1
D .-2 解析 选A 因为f (1)=lg 1=0,f (0)=??0a 3t 2d t =t 3???a
0=a 3,所以由f (f (1))=1得a 3=1,所以a =1.
6.已知f (x )为偶函数且??06f (x )d x =8,则??-6
6f (x )d x 等于( ) A .0
B .4
C .8
D .16
解析 选D 因为原函数f (x )为偶函数,即在y 轴两侧的图象对称,所以对应的面积相等, 即??-66f (x )d x =2??0
6f (x )d x =8×2=16. 7.若函数f (x )=x +1x ,则??1
e f (x )d x =________. 解析 ??1e f (x )d x =??1e ????x +1x d x =????12x 2+ln x ???e
1=12e 2+12. 答案 12e 2+12
8.若??1
a ????2x +1x d x =3+ln 2(a >1),则a 的值是________. 解析 ??1a ????2x +1x d x =??1a 2x d x +??1
a 1x d x =x 2???a 1+ln ???a 1
=a 2-1+ln a =3+ln 2, 所以?????
a 2-1=3,ln a =ln 2,解得a =2. 答案 2
9.汽车以v =3t +2(单位 m /s )作变速直线运动时,在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .
解析 s =??12 (3t +2)d t =????32t 2+2t ???2
1 =32×4+4-????32+2=10-72=132(m ).
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答案 132
10.如图,由曲线y =x 2和直线y =t 2(0 解析 设图中阴影部分的面积为S(t ),则S(t )=??0t (t 2-x 2)d x +??t 1(x 2-t 2)d x =43t 3-t 2+13.由S ′(t )=2t (2t -1)=0,得t =12 为S (t )在区间(0,1)上的最小值点,此时S (t )min =S ????12=14. 答案 14 B 级——中档题目练通抓牢 1.由直线x =-π3,x =π3 ,y =0与曲线y =cos 所围成的封闭图形的面积为( ) A .12 B .1 C .32 D. 3 解析 选D 由题意知封闭图形的面积S =-?3 3π π cos d x =sin =32-??? ?-32=3. 2.已知(x ln )′=ln +1,则??1 e ln d x =( ) A .1 B .e C .e -1 D .e +1 解析 选A 由(x ln )′=ln +1,联想到(x ln -x )′=(ln +1)-1=ln ,于是??1 e ln d x =(x ln -x ) ???e 1 =(eln e -e)-(1×ln 1-1)=1. 3.(2018·湘中名校联考)设f (x )=??? 1-x 2,x ∈[-1,1),x 2-1,x ∈[1,2], 则??-12f (x )d x 的值为( ) 第 4 页 共 6 页 A .π2+43 B.π2+3 C.π4+43 D.π4+3 解析 选A ??-12f (x )d x =??-11 1-x 2d x +??12(x 2-1)d x =12×π×12+????13x 3-x ???21=π2+43,故选A . 4.若f (x )=x +2??0 1f (t )d t ,则f (x )=________. 解析 记a =??0 1f (t )d t ,则f (x )=x +2a , 故??01f (x )d x =??01 (x +2a )d x =????12x 2+2ax ???1 0=12+2a , 所以a =12+2a ,a =-12 ,故f (x )=x -1. 答案 x -1 5.由直线y =x +3和曲线y =x 2-6x +13围成的封闭图形的面积为________. 解析 由直线y =x +3和曲线y =x 2-6x +13围成的图形如图中阴影部分所示. 由????? y =x +3, y =x 2-6x +13, 得x 1=2,x 2=5, 所以所求面积为S =??25[(x +3)-(x 2-6x +13)]d x =??2 5 (-x 2+7x -10)d x =????-13x 3+72x 2-10x ???51=92. 答案 92 6.计算下列定积分 (1) ??0 1 (-x 2+2x )d x ; (2) ??12????e 2x +1x d x ; 第 5 页 共 6 页 (3) ?2 0π 1-sin 2x d x . 解 (1) ??01 (-x 2+2x )d x =??01 (-x 2)d x +??0 12x d x =-13x 3| 10+x 2| 10=-13+1=23 . (2) ??12????e 2x +1x d x =??12e 2x d x +??1 21x d x =12e 2x | 21+ln | 21=12e 4-12 e 2+ln 2-ln 1 =12e 4-12 e 2+ln 2. (3) ? 20π1-sin 2x d x =?20π|sin -cos |d x =?4 0π (cos -sin )d x +?24 π π (sin -cos )d x =(sin +cos ) ????π40+(-cos -sin ) ???π2 π 4 =2-1+(-1+2)=22-2. 7.已知f (x )为二次函数,且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2. (1)求f (x )的解析式; (2)求f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值. 解 (1)设f (x )=ax 2+b x +c(a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b. 由f (-1)=2,f ′(0)=0, 得????? a -b +c =2,b =0,即????? c =2-a , b =0, 所以f (x )=ax 2+2-a . 又??01f (x )d x =??01 (ax 2+2-a )d x
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