本科毕业论文开题报告

毕业设计（论文）材料之二（2）

本科毕业设计(论文)开题报告

题目： 关于矩阵特征值的计算方法的研究

课 题 类 型： 设计□ 实验研究□ 论文√ 学 生 姓 名： 黎彬 学 号： 3080801143 专 业 班 级： 数学与应用数学081 学 院： 数理学院 指 导 教 师： 毕海云 开 题 时 间： 2012/3/17

2012年 3月 17 日

开题报告内容与要求

一 、毕业设计（论文）内容及研究意义（价值）

设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax?mx成立，则称m是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

我们在大学高等代数中学习的求矩阵特征值的方法：

? Axm, 等价于求m，使得(mE?A)x?0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE?A|?0|，求得的m值即为A的特征值。|mE?A|是一个n次多项式，它的全部

根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1，m2，……mn,则|A|?m1m2??mn。 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)?0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)?0; 特征值m可以从解方程求得g(m)?0。

随着科学的发展，矩阵理论已被广泛地运用到应用数学、计算机科学、经济学、工

程学、系统科学等诸多方面，成为现代科技领域处理大量有限维形式与数量关系的强有力的工具。对矩阵理论的现代研究与系统工程、优化方法及稳定理论、群论、图论等有着密切的相互关系。作为数学中的一个分支，包含了丰富的内容，成为一门最有实用价值的数学理论。特征值问题是矩阵理论的一个主要研究领域，对它的研究具有重要的理论意义和实用价值。许多科学和工程问题如结构力学中的固有频率分析以及控制系统中的稳定性问题，最终都转化为特征值问题。

数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！

二 、毕业设计（论文）研究现状和发展趋势（文献综述）

矩阵在中国古代的萌芽,孕育了丰富的数学思想与方法,推动了中国社会政治和经济的发展,奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题,因而没有将它作为一个独立的概念加以研究。矩阵的理论起源,可追溯到18世纪,见于著作则是在19世纪。西尔维斯特最先使用矩阵一词,引进了与矩阵有关的一些基本概念,给出了矩阵的一些重要结论与著名定理,为矩阵理论的发展做出了重要的贡献。凯莱把超复数视为矩阵的思想在19世纪未至20世纪初得到发展,由于积分方程的发展以及近代物理的需要数学家们开始了对无限矩阵理论、元

素属于抽象域的矩阵的研究。矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵等矩阵的现代理论也逐步发展起来。19世纪50年代以后,中国在保留了传统数学的同时吸收了西方数学之精华,从而使矩阵这一数学概念在历经翻译、教学、研究多方结合的情况下,伴随着其它数学知识一起传入中国。

三、毕业设计（论文）研究方案及工作计划（含工作重点与难点及拟采用的途径）

研究方案：1. 在不同数域上正交矩阵的特征值的计算；2. 利用POS法求解矩阵特征值和特征向量； 3. 运用遗传算法计算矩阵特征值； 4. 运用matlab软件求矩阵特征值；5. 对称Toeplitz- plus- Hankel 矩阵特征值的快速算法； 6. 基于 LDLT 分解求实对称矩阵特征值的递归算法； 7. 用简易求法求分块 Hermite矩阵特征值； 8. 用 ExcelVBA进行矩阵特征值的数值计算； 9. 利用与行列式的关系求矩阵特征值等；10. 用幂法、反幂法求矩阵特征值。

2.18—3.15 收集资料并查看有关文献，确定具体的研究课题，论文方案的确定，论

文的初步构想；

3.15—4.19 理论分析，收集资料，与导师讨论并完成论文的初步大纲，一篇英文文

献中文译文；

4.20—5.19 完成论文初稿，修改原稿，修改原稿及分析所用理论的有效性； 5.20—5.23 改善结果，深入讨论，再修改文稿，导师审阅； 5.24—6.10 论文定稿；

6月中旬. 制定PPT准备答辩并进行论文答辩。

四、主要参考文献（不少于10篇，期刊类文献不少于7篇，应有一定数量的外文文献，至少附一篇引用的外文文献（3个页面以上）及其译文）

[1] 华东师范大学数学系，数学分析[M]，第三版，北京，高等教育出版社, 2006, 11：148-153

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编．高等代数．（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2008,6：255-287

[3] 刘艳红, 吕全义，Jacobi矩阵特征值的并行算法[J] 西北工业大学应用数学系报 2005，12（2）：212-216

[4] 袁力，张剑，不同数域上正交矩阵的特征值[J] 郧阳师范高等专科学校学报2003,5：29-30??数学与财经系

[5] 黄金伟，矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J] 福建信息职业技术学院学报2005，7（2）：44-47

[6] 李 华，矩阵特征值的估计[J] 河南城建学院数理系学报2005,5：12-15??数学与财经系

[7] GPU I mplementati on for Solving Eigenvaluesof aMatri x*X I A J ian- m ing, WEI D e -min1( Department of CivilEngineering , Guangdong TechnicalCollege ofWaterResource and Electric Engineering 2006，2（3）：112-114)

[8] 韦杏琼，周永权，求解矩阵特征值和特征向量的 PSO算法广[J] 西民族大学数学与计算机科学学院学报2002，23（5）：53-55

[9] 翁代云，曹毅, 黄勇，遗传算法在矩阵特征值求解中的应用[J] 重庆大学 计算机学院学报2006，14（2）：16-22??

[10] 曾祝明，对称Toeplitz- plus- Hankel 矩阵特征值的快速算法[J] 福建工程学院数理系学报2007，2（4）：22-26

[11] 张 鹍 , 张有志，基于 LDLT 分解求实对称矩阵特征值的递归算法[J] 山东大学学报2003，2：31-35 [12] 卢潮辉，一类分块 Hermite矩阵特征值的简便求法及其推广[J] 揭阳职业技术学院 数学与计算机科学系学报2007，32：124-128

[13] Feng Junyan Ma Li Discussion on Relation between Characteristic Value and Determinant of Matrix 石家庄理工职业学院，职校论坛，2009，17：584-586） [14] 张德菊, 张晓敏. 正交矩阵的特征多项式及特征根[ J] . 大学数学, 2007, 23( 1) : 151- 154

[15] 邵 荣，用ExcelVBA进行矩阵特征值的数值计算[J] 南京大学 数学系学报2008, 9( 3) : 321-327

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m2qv.html