2009年浙江省高考数学试卷（文科）答案与解析

2009年浙江省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2009?浙江）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩?UB=（ ） A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．

【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合CUB，再求它与A的交集即可． 【解答】解：对于CUB={x|x≤1}， 因此A∩CUB={x|0＜x≤1}， 故选B．

【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列． 2．（5分）（2009?浙江）“x＞0”是“x≠0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．

【分析】由题意看命题“x＞0”与命题“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．

【解答】解：对于“x＞0”?“x≠0”； 反之不一定成立，

因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件， 故选A．

【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．

3．（5分）（2009?浙江）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z=（ ） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】数系的扩充和复数．

【分析】把复数z代入表达式化简整理即可．

2

【解答】解：对于，

故选D．

【点评】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度． 4．（5分）（2009?浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若l⊥α，α⊥β，则l?β B．若l∥α，α∥β，则l?β C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

1

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离．

【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．

【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误； 若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；

若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确； 若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误； 故选C

【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α?a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．

5．（5分）（2009?浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（ ）

A．（，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量． 【专题】平面向量及应用．

【分析】设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标．

【解答】解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，﹣1）． ∵（+）∥，⊥（+）， ∴2（y+2）=﹣3（x+1），3x﹣y=0． ∴x=﹣，y=﹣，

故选D

【点评】本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．

6．（5分）（2009?浙江）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B

在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（ ）

2

A． B． C． D．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 求出离心率．

【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故xB=﹣c，yB =∵

=2

，

﹣t）．

，设P（0，t）， =2

，得到a与c的关系，从而

∴（﹣a，t）=2（﹣c，∴a=2c， ∴e==， 故选 D．

【点评】本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想． 7．（5分）（2009?浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】程序框图．

【专题】算法和程序框图．

3

【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=

≥100的最小项数

【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表： 是否继续循环 S K 循环前/0 0

第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否 ∴最终输出结果k=4 故答案为A

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

8．（5分）（2009?浙江）若函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（ ） A．?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 B．?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数 C．?a∈R，f（x）是偶函数 D．?a∈R，f（x）是奇函数 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用．

2

【分析】利用导数考查函数f（x）=x+（a∈R）的单调性，可对A、B选项进行判断；考查函数f（x）=x+（a∈R）的奇偶性，可对C、D选项的对错进行判断． 【解答】解析：∵f′（x）=2x﹣

，

2

2

故只有当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上才是增函数， 因此A、B不对，

2

当a=0时，f（x）=x是偶函数，因此C对，D不对． 答案：C 【点评】本题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础题． 9．（5分）（2009?浙江）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆．

【分析】在平面直角坐标系内画出直角三角形，和半径为1的圆，不难求得结果． 【解答】解：对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，

4

此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化， 能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 故选B．

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，运动变化的观点分析求解，是中档题． 10．（5分）（2009?浙江）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（ ）

A． B．

C．

D．

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象． 【解答】解：对于振幅大于1时， 三角函数的周期为：

，∵|a|＞1，∴T＜2π，

，

而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系， 故选D．

【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）

5

11．（4分）（2009?浙江）设等比数列{an}的公比【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．

，前n项和为Sn，则

= 15 ．

【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q，进而把a1和q代入分化简可得到答案． 【解答】解：对于

，∴

3

约

【点评】本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用．属基础题． 12．（4分）（2009?浙江）若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体

3

积是 18 cm．

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】立体几何．

【分析】由图可知，图形由两个体积相同的长方体组成，求出其中一个体积即可．

【解答】解：由图可知，底下的长方体底面长为3，宽为1，底面积为3×1=3，高为3，因此体积为3×3=9；

上面的长方体底面是个正方形，边长为3，高为1，易知与下面的长方体体积相等， 因此易得该几何体的体积为9×2=18．

【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．

13．（4分）（2009?浙江）若实数x，y满足不等式组，则2x+3y的最小值是 4 ．

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

6

【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．

【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，

由图易得：当x=2，y=0时，2x+3y=4； 当x=1，y=1时，2x+3y=5； 当x=4，y=4时，2x+3y=20，

因此，当x=2，y=0时，2x+3y有最小值4． 故答案为4

【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解． 14．（4分）（2009?浙江）某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为 30 ．

【考点】频率分布直方图． 【专题】概率与统计．

【分析】根据频率分布直方图各组频率之和为1，从图中的各段的频数计算出在区间[4，5）

上的频率，再由频率=【解答】解：根据题意，

，计算其频数．

7

在区间[4，5]的频率为：1﹣（0.05+0.1+0.15+0.4）×1=0.3， 而总数为100，因此频数为30． 故答案为30． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 15．（4分）（2009?浙江）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价（单位：元/千瓦时） 低谷低谷（单位：千瓦时） 月用电价电量 （单（单位： 位：元/千瓦千瓦时） 时） 0.568 500.288 50及以下的部分 及以下的部分 0.598 超过50至200的部分 超过0.318 50至200的部分 0.668 超过200的部分 超过0.388 200的部分 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148.4 元（用数字作答） 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加．

【解答】解：高峰时间段用电的电费为 50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1 （元）， 低谷时间段用电的电费为 50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3 （元）， 本月的总电费为 118.1+30.3=148.4 （元）， 故答案为：148.4．

【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

8

16．（4分）（2009?浙江）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，

，

，成等比数列．

【考点】类比推理；等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．

【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，

4681+2++7828

则T4=b1q，T8=b1q=b1q，

121+2++111266

T12=b1q=b1q， ∴

=b1q，

422

=b1q，

438

即（）=

2

?T4，故T4，

，成等比数列．

故答案为：

【点评】本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）． 17．（4分）（2009?浙江）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k+1，其中k=0，1，2，…，19．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10）不小于14”为A，则P（A）=

．

【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题． 【专题】排列组合．

【分析】求任取一卡片，该卡片上两个数的各位数字之和不小于14的概率，可以求其反面任取一张其各位数字之和小于14的概率，分为2情况求得后，用1减去它即可得到答案． 【解答】解：卡片如图所示．

任取一张“其各位数字之和小于14”的分两种情况： ①两个1位数从②有两位数的卡片从

到

共有7种选法；

和

共8种选法， 共20张．

9

故得P（A）=1﹣故答案为．

=1﹣=．

【点评】此题主要考查等可能事件的概率求法问题，对于此类题目分析好题目条件是解题的关键，有一定的技巧性属于中档题目．

三、解答题（共5小题，满分72分） 18．（14分）（2009?浙江）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足

=

，

?

=3．

（Ⅰ）求△ABC的面积； （Ⅱ）若c=1，求a的值．

【考点】二倍角的余弦；平面向量数量积的运算；余弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）先求出cosA、sinA，利用（Ⅱ）利用余弦定理，即可求a的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵∴cosA=2cos∴sinA=∵

?

2

?=3，求出bc，即可求△ABC的面积；

=，

﹣1=，

=，

=bccosA=3，

∴bc=5，

∴△ABC的面积S=bcsinA=2； （Ⅱ）∵c=1，bc=5， ∴b=5， ∴a=

=

=2

．

【点评】本题考查三角形面积的计算，考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题． 19．（14分）（2009?浙江）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点． （Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；

（Ⅱ）求异面直线AE与BC所成角的余弦值； （Ⅲ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

10

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