圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识点。

圆锥曲线与方程单元复习与巩固

知识点一：圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数叫做离心率。 ①e∈（0，1）时轨迹是椭圆； ②e=1时轨迹是抛物线；

③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质 1．椭圆： (1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点． (2)标准方程

当焦点在轴上时，

椭圆的标准方程：

当焦点在 (3)

椭圆

轴上时，

椭圆的标准方程：

的的简单几何性质:

， ， ， ； a

2

，其中，其中

； ；

范围：，

对称性：关于x轴、y轴和原点对称 焦点 长轴长=

， 顶点， 短轴长=

、， 焦距＝

离心率是

焦半径公式

x

22

， 准线方程是PF1 e(x

a

2

c

)

，

PF2 e(

b(4)椭圆a

(5)椭圆的的内外部

P(x0,y0)P(x0,y0)

y

22

1(a b 0)

y bsin

的参数方程是 .

.

x acos

c

x)

x

2222

点

在椭圆a

x

ybyb

2222

1(a b 0)

x0ax0a

2222

y0by0b

2

的内部

1(a b 0)

22

1

. 1

点

(6)椭圆的切线方程

x

22

在椭圆a

的外部

2

.

x0x

y0yb

2

椭圆a

x

22

yb

22

1(a b 0)

上一点

yb

22

P(x0,y0)

处的切线方程是a

2

1

.

过椭圆a

x0xy0y

122ab

.

1(a b 0)

外一点

P(x0,y0)

所引两条切线的切点弦方程是

知识点。

x

22

椭圆a

2

2

2

2

yb

22

1(a b 0)

与直线Ax

B y

0 C相切的条件是

Aa Bb c.

2

2．双曲线

(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点． (2)标准方程

当焦点在轴上时，

双曲线的标准方程：当焦点在

轴上时，双曲线的标准方程：

，其中，其中

. ；

(3)

双曲线的简单几何性质

范围：，；

对称性：关于x轴、y轴和原点对称 焦点 实轴长= 离心率是

焦半径公式

， 顶点， 虚轴长=

， ， 焦距＝

；

； 渐近线：a

2

， 准线方程是PF1 |e(x

a

2

.

c

)|

，

PF2 |e(

c

x)|

.

(4)双曲线的内外部

x

2222

点点

P(x0,y0)P(x0,y0)

在双曲线a

x

ybyb

2222

1(a 0,b 0)

x0ax0a

2222

y0by0b

2

的内部

1(a 0,b 0)

22

1

. 1

在双曲线a

的外部

2

.

(5)双曲线的方程与渐近线方程的关系

x

22

若双曲线方程为a 若渐近线方程为

x

22

yb

ba

22

1

x

渐近线方程：ax yb 0

22

yb

22

0 y x

22

ba

x

. .

y x

a

双曲线可设为a

yb

22

若双曲线与a

yb

22

1

x

22

有公共渐近线，可设为a

yb

22

（ 0，焦点在x轴上， 0，焦点在y轴上）.

(6)双曲线的切线方程

x

22

双曲线a

yb

22

1(a 0,b 0)

x0x

上一点

P(x0,y0)

处的切线方程是a

2

y0yb

2

1

.

知识点。

x

22

过双曲线a

x0xa

2

yb

22

1(a 0,b 0)

外一点

P(x0,y0)

所引两条切线的切点弦方程是

y0yb

2

1

. x

22

双曲线a

2

2

2

2

yb

2

22

1(a 0,b 0)

与直线Ax

B y

C 0相切的条件是

Aa Bb c.

3．抛物线

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． (2)标准方程 四种形式：(3)抛物线

范围：，

对称性：关于x轴对称 焦点 离心率：焦半径公式

， 顶点

，

，

的几何性质

，

，

。

，

；

CD x1

p2 x2

p2

x1 x2 p

， 准线方程是

CF x0

2

p

2. 过焦点弦长

.

y ax bx c a(x

b2a

)

2

4ac b4a

2

(4)二次函数

(

b2a,4ac b4a

2

2

(a 0)的图象是抛物线：

)(

b2a

,

4ac b 1

4a

2

)

顶点坐标为； 焦点的坐标为.

；

y

4ac b 1

4a

2

准线方程是

(5)抛物线的内外部

点点点点点P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)P(x0,y0)y

2

在抛物线在抛物线在抛物线在抛物线

y 2px(p 0)y 2px(p 0)

22

的内部的外部

y 2px(p 0) y 2px(p 0)

22

2

. . . .

y 2px(p 0)y 2px(p 0)x 2py(p 0)x 2py(p 0)x 2py(p 0)

22222

的内部的外部

y 2px(p 0) y 2px(p 0)

2

2

在抛物线在抛物线在抛物线

的内部的外部的内部

x 2py(p 0) x 2py(p 0) x 2py(p 0)

222

. . . .

点在抛物线(6) 抛物线

2px

x 2py(p 0)P(x0,y0)

的外部

x 2py(p 0)y0y p(x x0)

上一点处的切线方程是.

知识点。

过抛物线y

2

2

2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是. y0y p(x x0)

2

抛物线y 2px(p 0)与直线Ax By C 0相切的条件是pB 2AC.

知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。 1．直线与圆锥曲线C的位置关系

判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也

2

可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax+bx+c=0。 ①当a≠0时，

若Δ＞0，则与C相交；

若Δ=0，则与C相切； 若Δ＜0，则有与C相离。

②当a=0时，得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，只有一个公共点

若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；

若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。

注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切， 也可能相交。

2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式： 斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设 （1）弦长公式：

，

，则

当

时, 弦长公式还可以写成：

AB

（2）弦长公式：

AB

|x1 x2| |y1 y2|（ 为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。 知识点四：曲线的方程和方程的曲线的关系 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程 （1）曲线 （2）以方程

的实数解建立了如下的关系：

的解； 上.

的曲线.

（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）

上所有点的坐标都是方程

的解为坐标的点都在曲线

的方程；曲线

那么，方程叫做曲线

两个常见的曲线系方程

f(x,y) 0

叫做方程

(1)过曲线1,2的交点的曲线系方程是 f1(x,y) f2(x,y) 0

(为参数).

x

22

f(x,y) 0

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程a k

k min{a,b}

2

2

2

y

22

2

b k

1

,其中

2

k max{a,b}

2

22

.当

时,表示椭圆; 当

min{a,b} k max{a,b}

时,表示双曲线.

知识点。

1.三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比 三种圆锥曲线定义、椭圆 双曲线 抛物线

1.到两定点 F1、F2 的距离之和 1.到两定点 F1、F2 的距离之差的 为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的 绝对值的为定值 2a(0<2a< 定义 轨迹 |F1F2|)的点的轨迹

2.与定点和定直线的距离之比 2. 与定点和定直线的距离之比为 与定点和定直线的距 为定值 e 的点的轨迹 (0<e<1)定值 e 的点的轨迹(e>1) 离相等的点的轨迹

图形

标 准 方 程 参 数 (参数 为离心角) (参数 为离心角) (t 为参数)

范围

,

,

中心

原点 O(0,0) (a,0)(-a,0),

原点 O(0,0)

顶点 (0,b),(0,-b) x 轴，y 轴； 对称轴 长轴长 2a,短轴长 2b

(a,0),(-a,0)

(0,0)

x 轴，y 轴； x轴 实轴长 2a,虚轴长 2b

焦点

F1(c,0),F2(-c,0)

F1(c,0),F2(-c,0)

焦距

离心率

e=1

准线

渐近线

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m2mm.html