北京市高一上学期期中考试数学试卷含答案

1 北京市2019-2020学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题（本大题共8小题）

1.方程-x 2-5x +6=0的解集为（ ）.

A. {}6,1-

B. {}2,3

C. {}1,6-

D. {}2,3-- 2.“2x >”是“24x >”的 （ ）

A. 必要不充分条件

B. 充分不必要条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（ ）.

A. 31y x =--

B. 2y x =

C. 245y x x =-+

D. 12y x =-+ 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x =，则1

()2

f -= A. 14

-

B. 14

C. 94-

D. 94 5.设函数f （x ）=4x +

1x -1（x ＜0），则f （x ）（ ）. A. 有最大值3

B. 有最小值3

C. 有最小值5-

D. 有最大值5- 6.若函数()a f x x x =+

(a ∈R)在区间(1，2)上有零点，则a 的值可能是( ) A. －2

B. 0

C. 1

D. 3

7.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x

-+≤??=?>??是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是 A. (0，3) B. (0，3] C. (0，2) D. (0，2] 8.设函数f （x ）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x ，y ∈R ，有|f （x ）-f （y ）|＜|x -y |并且函数f （x +1）的对称中心是（-1，0），若函数g （x ）-f （x ）=x ，则不等式g （2x -x 2）+g （x -2）＜0的解集是（ ）.

A. ()(),12,-∞?+∞

B. ()1,2

C. (]

,1(2-∞-?,)+∞ D. ()1,2-

2 二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）

9.已知x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，则x 12+2x 1+x 1x 2的值为______．

10.已知方程210ax bx ++=的两个根为14

-，3，则不等式210ax bx ++>的解集为______． 11.命题“?x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______．

12.已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）=x 3+x 2+2，则f （1）+g （1）的值等于______．

13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为______．

14.已知函数()2,x x x x a

f x x a -+≥?=

． ①若0a =，则函数()f x 的零点有______个；

②若()()1f x f ≤对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______．

15.设集合A ={x 2，x -1}，B ={x -5，1-x ，9}．

（1）若x =-3，求A ∩B ；

（2）若A ∩B ={9}，求A ∪B ．

16.已知函数()2f x ax x

=-． （1）求定义域，并判断函数f （x ）的奇偶性； （2）若f （1）+f （2）=0，证明函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f （x ）在区间[1，4]上的最值． 17.一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）求x 1?x 2的最值； （3

）如果12x x -m 的取值范围．

18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．

（1）设总造价为S元，AD的边长为x米，DQ的边长为y米，试建立S关于x的函数关系式；

（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．

19.已知函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c∈R．

（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称时，b=______；

（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；

（3）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．

3

4 参考答案

1【答案】A

【详解】∵-x 2-5x +6=0，

∴x 2+5x -6=0，

∴(x +6)(x -1)=0，

∴x =-6或1，

方程-x 2-5x +6=0的解集为{-6，1}．

故选：A ．

2【答案】B

【详解】因为242x x >?>或2x <-，

所以，“2x >”能推出“24x >”， “24x >”不能推出“2x >”，

“2x >”是“24x >”的充分不必要条件，故选B.

3【答案】D

【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+∞)上为减函数，故A 错误； 由反比例函数的性质可知，y =2x

在区间(1，+∞)上为减函数， 由二次函数的性质可知，y =x 2-4x +5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C 错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y =|x -1|+2在(1，+∞)上单调递增． 故选：D ．

4【答案】A

【详解】由奇函数的性质结合题意可得：

2

11112224f f ??????-=-=-=- ? ? ???????. 本题选择A 选项.

5【答案】D

【详解】当x ＜0时，f (x )=4x +1x -1=-[(-4x )+1x -]-1

15≤-=-． 当且仅当-4x =-1x ，即x =-12

时上式取“=”． ∴f (x )有最大值为-5．

5 故选：D ．

6【答案】A

【详解】函数()a f x x x

=+()a R ∈的图象在()12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a ＝－时，()()112022110f f ＝－

＜，＝－＝＞，.故()f x 在区间()12，上有零点，同理，其他选项不符合， 故选A.

7【答案】D

【详解】因为函数()f x 为R 上的减函数，

所以当1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，当1x >时，()f x 递减，即0a >， 且2(3)151

a a -?+≥，解得2a ≤， 综上可知实数a 的取值范围是(0,2]，故选D.

8【答案】A

【详解】由函数f (x +1)的对称中心是(-1，0)，可得f (x )的图象关于(0，0)对称即f (x )为奇函数， ∴f (-x )=-f (x )，

∵g (x )-f (x )=x ，

∴g (x )=f (x )+x ，

∴g (-x )=f (-x )-x =-f (x )-x =-g (x )，

∵对于任意的x ，y ∈R ，有|f (x )-f (y )|＜|x -y |，

∴|g (x )-g (y )-(x -y )|＜|x -y |， ∴()()()g x g y x y 1x y

----＜， 即|()()

g x g y 1x y ---|＜1，

∴0＜()()

g x g y x y --＜2，

由对任意实数,()x y x y ≠有

()()0g x g y x y

->-得g (x )单调递增， ∵g (2x -x 2)+g (x -2)＜0， ∴g (2x -x 2)＜-g (x -2)=g (2-x )，

6 ∴2x -x 2＜2-x ，

整理可得，x 2-3x +2＞0，

解可得，x ＞2或x ＜1，

故选：A ．

9【答案】0

【详解】∵x 1，x 2是方程x 2+2x -5=0的两根，

则x 12+2x 1-5=0，x 1x 2=-5．

∴x 12+2x 1+x 1x 2=5-5=0．

故答案为：0．

10【答案】134x x ?

?-<

【详解】由题意得：1341134b a a ?-=-+????=-??? 43113a b ?=-?????=??

则不等式可化为：241130x x --< 134x ?-

<< 本题正确结果：134x x ?

?-<

11【答案】?x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0

【详解】命题为全称命题，则命题“?x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为?x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0， 故答案为：?x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．

12【答案】2

【详解】f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， ∴f (-x )=f (x )，g (-x )=-g (x )，

∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+2，

∴f (-x )+g (-x )=x 3+x 2+2，

则f (1)+g (1)=-1+1+2=2．

故答案为：2

13【答案】{-3，3}

【详解】因为函数f (x )=x 2-2x +1=(x -1)2，

7 所以对称轴为x =1，顶点坐标为(1，0)．

令x 2-2x +1=4得：x 2-2x -3=0，

解得：x =-1或3，

所以a +2=-1或a =3，

即：a =-3或3．

故答案为：{-3，3}

14【答案】 (1). 2

(2). 1??-??

【详解】①当a=0，2

2,0

(),0x x x f x x x ?-+≥=?

当0x ≥,时，22x x -+=0，解得x=2或x=0，

当0x <，x=0无解

故有两个零点

②（1）当1a >时，f （1）=1，此时()1f a >，不成立，舍； （2）当a=1，此时f （x ）的最大值为f （1），所以成立； （3）当1a <，2,(),x x x x a

f x x x a ?-+≥=?

()22,0x x x g x x x x x x x ?+<=-+=?-+>?

()(1)1f x f ≤=

()1g x ∴≤

当x<0

时，221,[1x x x +≤∈--

当0x ≥时，221x x -+≤，恒成立；

故1a ≥--

综上11a -≤≤

故答案为1??-??

15【答案】（1）{9} （2）x =-3时，A ∪B ={-8，-4，4，9}，x =10时， A ∪B ={-9，5，9，100}．

8 【详解】(1)x =-3时，A ={9，-4}，B ={-8，4，9}，

∴A ∩B ={9}；

(2)∵A ∩B ={9}，

∴9∈A ，

∴x 2=9，或x -1=9，解得x =±

3或10， x =3时，不满足集合B 中元素的互异性，∴x =-3或10，

由(1)知，x =-3时，A ∪B ={-8，-4，4，9}，

x =10时，A ={100，9}，B ={5，-9，9}，∴A ∪B ={-9，5，9，100}． 16【答案】（1）{}|0x x ≠ ，奇函数 （2）单调递增，证明见详解，最大值

72，最小值-1； 【详解】(1)由题意可得，x ≠0，故定义域为{}|0x x ≠

∵f (-x )=-ax +

2x =-f (x )， ∴f (x )奇函数；

(2)由f (1)+f (2)=a -2+2a -1=0，

∴a =1，f (x )=x -

2x ， 设0＜x 1＜x 2，

则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 22122x x +

-=(x 1-x 2)(1+122x x )， ∵0＜x 1＜x 2，

∴x 1-x 2＜0，1+12

2x x ＞0， ∴(x 1-x 2)(1+12

2x x )＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(0，+∞)上的单调递增，

∴函数f (x )在区间[1，4]上的最大值为f (4)=72

，最小值为f (1)=-1． 17【答案】（1）223m -≤≤ （2）最小值为54-，最大值为1 （3）113??-- ??

?， 【详解】(1)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴△=(-m )2-4(m 2+m -1)≥0，

9 从而解得：-223

m ≤≤． (2)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2． ∴由根与系数关系得：22

121

51()24x x m m m ?=+-=+-， 又由(1)得：-223

m ≤≤

， ∴2515()1424

m -≤+-≤， 从而，x 1?x 2最小值为54-，最大值为1． (3)∵一元二次方程x 2-mx +m 2+m -1=0有两实根x 1，x 2．

∴由根与系数关系得：212121x m m m x x +=?=+-，x ，

∴12x x -==

从而解得：113

--

＜m ＜， 又由(1)得： 223m -≤≤， ∴113m ??∈-- ??

?，． 18【答案】（

1）(22400000400038000,0S x x x =++<<；（2）118000元 【详解】(1)由题意，有 AM =2

200x 4x

-，由AM ＞0，有 0＜

x ＜； 则S =4200x 2+210(200-x 2

)+80×2×2

2200x ()4x -； S =4200x 2+42000-210x 2

+24

24000004000x 10x x -+=4000x 2+2400000x +38000； ∴S 关于x 的函数关系式：

S =4000x 2+2400000x

+38000，(0＜

x ＜ )； (2)S =4000x 2+2

400000x +38000=118000； 当且仅当4000x 2=

2400000

x 时，即x

∈(0，)，S 有最小值；

10 ∴当x

米时，S m in =118000元．

故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区． 19【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3）（0，

116） 【详解】(1)函数f (x )=x 2+bx +c 的对称轴为x =-2b ， 由f (x )的图象关于直线x =1对称，

可得-2

b =1，解得b =-2， 故答案为：-2．

(2)证明：由f (x )在[-1，1]上不单调，

可得-1＜-b 2

＜1，即-2＜b ＜2， 对任意的x ∈R ，f (x )≥f (-2b )=24b -22b +c =c -2

4

b ， 由-2＜b ＜2，可得f (x )≥

c -2

4

b ＞

c -1； (3)f (x )在区间(0，1)上有两个不同的零点，

设为r ，s ，(r ≠s )，r ，s ∈(0，1)，

可设f (x )=(x -r )(x -s )，

由c 2+(1+b )c =c (1+b +c )=f (0)f (1)=rs (1-r )(1-s )， 且0＜rs (1-r )(1-s )＜[()

12r r +-]2?[()

12s s +-]2=116

， 则c 2+(1+b )c ∈(0，

116

)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m2me.html