2012年武汉市中考数学试题及答案解析

2012年湖北省武汉市中考数学试卷

一．选择题（共12小题） 1．（2012武汉）在2.5，﹣2.5，0，3这四个数种，最小的数是（ ） A． 2.5 B． ﹣2.5 C． 0 考点：有理数大小比较。

解答：解：∵﹣2.5＜0＜2.5＜3， ∴最小的数是﹣2.5， 故选B．

2．（2012武汉）若

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

C． x＞3

D． x≥3

D． 3

A． x＜3 B． x≤3 考点：二次根式有意义的条件。

解答：解：根据题意得，x﹣3≥0， 解得x≥3． 故选D．

3．（2012武汉）在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（ ） A．

B．

C． D．

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。

解答：解：x﹣1＜0，

∴x＜1，

在数轴上表示不等式的解集为：

，

故选B．

4．（2012武汉）从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（ ） A． 标号小于6 考点：随机事件。

解答：解：A．是一定发生的事件，是必然事件，故选项正确； B．是不可能发生的事件，故选项错误； C．是随机事件，故选项错误； D．是随机事件，故选项错误． 故选A．

B． 标号大于6 C． 标号是奇数 D． 标号是3

5．（2012武汉）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（ ） A． ﹣2 B． 2 C． 3 D． 1 考点：根与系数的关系。

解答：解：由一元二次方程x2﹣3x+2=0， ∴x1+x2=3， 故选C．

6．（2012武汉）某市2012年在校初中生的人数约为23万．数230000用科学记数法表示为（ ）

A． 23×10 B． 2.3×10 考点：科学记数法—表示较大的数。

解答：解：23万=230 000=2.3×105． 故选B．

7．（2012武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（ ）

4

5

C． 0.23×10

3

D． 0.023×10

6

A． 7

B． 8

C． 9

D． 10

考点：翻折变换（折叠问题）。

解答：解：∵△DEF由△DEA翻折而成， ∴EF=AE=5， 在Rt△BEF中， ∵EF=5，BF=3， ∴BE=

=

=4，

∴AB=AE+BE=5+4=9， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=9． 故选C．

8．（2012武汉）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

考点：简单组合体的三视图。

解答：解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形． 故选D．

9．（2012武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=则a4的值为（ ） A．

B．

C．

D．

（n为不小于2的整数），

考点：规律型：数字的变化类。

解答：解：将a1=代入an=

得到a2=

=，

将a2=代入an=得到a3=

=，

将a3=代入an=故选A．

得到a4=

=．

10．（2012武汉）对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（ ）

A． 2.25 B． 2.5

考点：加权平均数；扇形统计图；条形统计图。

解答：解：总人数为12÷30%=40人， ∴3分的有40×42.5%=17人 2分的有8人

C． 2.95

D． 3

∴平均分为：故选C．

=2.95

11．（2012武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ）

A． ①②③

考点：一次函数的应用。

B． 仅有①②

C． 仅有①③

D． 仅有②③

解答：解：甲的速度为：8÷2=4米/秒； 乙的速度为：500÷100=5米/秒； b=5×100﹣4×（100+2）=92米； 5a﹣4×（a+2）=0， 解得a=8，

c=100+92÷4=123， ∴正确的有①②③． 故选A．

12．（2012武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（ ） A． 11+ C． 11+

或11﹣

B． 11﹣D． 11﹣

或1+

考点：平行四边形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5，BC=AD=6， ①如图：

由平行四边形面积公式地：BC×AE=CD×AF=15， 求出AE=

，AF=3，

2

2

2

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB=AE+BE， 把AB=5，AE=同理DF=3∴CE=6﹣

，

，CF=5﹣3

，

，

代入求出BE=

，

即CE+CF=11﹣②如图：

∵AB=5，AE=同理DF=3

，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，

，CF=5+3，

，

，

由①知：CE=6+∴CE+CF=11+故选C．

二．填空题（共4小题） 13．tan60°= ．

考点：特殊角的三角函数值。

解答：解：tan60°的值为

．

故答案为：． 14．（2012武汉）某校九（1）班8名学生的体重（单位：kg）分别是39，40，43，43，43，45，45，46．这组数据的众数是 ． 考点：众数。

解答：解：在这一组数据中43是出现了3次，次数最多， 故众数是43． 故答案为：43．

15．（2012武汉）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．

考点：反比例函数综合题。

解答：解：连DC，如图， ∵AE=3EC，△ADE的面积为3，

∴△CDE的面积为1， ∴△ADC的面积为4， 设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a， 而点D为OB的中点， ∴BD=OD=b， ∵S

梯形OBAC

=S△ABO+S△ADC+S△ODC，

∴（a+2a）×b=a×b+4+×2a×b， ∴ab=

，

把A（a，b）代入双曲线y=， ∴k=ab=故答案为

． ．

16．（2012武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 ．

考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。

解答：解：

当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小， AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=， ∵∠BOA=∠AC′O=90°， ∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°， ∴∠BOC′=∠OAC′， tan∠BOC=

=

，

随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°， ∴tan∠BOC≥故答案为：≥

， ．

三．解答题（共9小题） 17．（2012武汉）解方程：考点：解分式方程。

解答：解：方程两边都乘以3x（x+5）得， 6x=x+5，

解得x=1，

检验：当x=1时，3x（x+5）=3×1×（1+5）=18≠0， 所以x=1是方程的根，

因此，原分式方程的解是x=1． 18．（2012武汉）在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点（﹣1，1），求不等式kx+3＜0的解集．

考点：一次函数与一元一次不等式。

解答：解：如图，∵将（﹣1，1）代入y=kx+3得1=﹣k+3，

．

∴k=2， 即y=2x+3， 当y=0时，x=﹣，

即与x轴的交点坐标是（﹣，0），

由图象可知：不等式kx+3＜0的解集是x＜﹣．

19．（2012武汉）如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：DE=AB．

考点：全等三角形的判定与性质。

解答：证明：∵∠DCA=∠ECB， ∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB， ∵在△DCE和△ACB中

，

∴△DCE≌△ACB， ∴DE=AB．

20．（2012武汉）一个口袋中有4个相同的小球，分别与写有字母A，B，C，D，随机地抽出一个小球后放回，再随机地抽出一个小球．

（1）使用列表法或树形法中的一种，列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果； （2）求两次抽出的球上字母相同的概率． 考点：列表法与树状图法。

解答：解：（1）如图所示：

则共有16种等可能的结果；

（2）由树形图可以看出两次字母相同的概率为

=．

21．（2012武汉）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2． （1）画出线段A1B1，A2B2；

（2）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．

考点：作图-旋转变换；弧长的计算。

解答：解：（1）所作图形如下：

（2）由图形可得：AA1=

，

=

+

． =

，

故点A经过A1到达A2的路径长为：

22．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，

（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；

（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

考点：三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。

解答：（1）解：作直径CD，连接BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°，∠A=∠D， ∵BC=4，sin∠A=， ∴sin∠D=∴CD=5，

答：三角形ABC外接圆的直径是5．

（2）解：连接IC．BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E， ∵AB=BC=4，I为△ABC内心， ∴BF⊥AC，AF=CF， ∵sin∠A==∴BF=

，

，

， =，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=AC=2AF=

，

∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC， ∴IE=IF=IG，

设IE=IF=IG=R，

∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积， ∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF， 即4×R+4×R+∴R=， 在△AIF中，AF=

，IF=，由勾股定理得：AI=

．

×R=

×

，

答：AI的长是．

23．（2012武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣

（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离

不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

考点：二次函数的应用。

解答：解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8）， ∴64a+11=8， 解得a=﹣∴y=﹣

2

，

x+11；

（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6， ∴6=﹣

（t﹣19）2+8，

解得t1=35，t2=3， ∴35﹣3=32（小时）．

答：需32小时禁止船只通行．

24．（2012武汉）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6

（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点M，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；

（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．

①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明） ②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．

考点：作图—相似变换。

解答：解：（1）①△AMN∽△ABC， ∴=

，

∵M为AB中点，AB=2∴AM=， ∵BC=6， ∴MN=3； ②△AMN∽△ACB， =

，

∵BC=6，AC=4，AM=∴MN=1.5； （2）①如图所示：

，

②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．

25．（2012武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C （1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则：

，解得

∴直线AB解析式为y=2x﹣2．

∵点C为直线y=2x﹣2与抛物线y=x2﹣2的交点，则点C的横、纵坐标满足：

，解得

∴点C的坐标为（4，6）．

、（舍）

（2）直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D．E两点． ∴yD=4，yE=，∴DE=． ∵FG=DE=4：3，∴FG=2．

∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点． ∴yF=2a﹣2，yG=a2﹣2 ∴FG=|2a﹣a2|=2，

解得：a1=2，a2=﹣2+2，a3=2﹣2． （3）设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H； 设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m； ∴0=﹣t﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t． ∴y=x﹣t，∴点P坐标为（0，﹣t）．

∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：

2

2

2

2

2

，解得

∴N（2﹣t，2﹣2t）． NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t， ∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．

、（舍）

∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形， ∴MO=OT，HT=HN ∴OT=4，NT=﹣∵PN平分∠MNQ， ∴PT=NT， ∴﹣t+t=

2

，NH=

（2﹣t），PT=﹣t+t2．

（2﹣t），

∴t1=﹣2，t2=2（舍）

）2，∴m=2．

﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2

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