湘教版七年级下册（新）第6章《6.2 方差》教学设计

6．2 方 差

1．理解方差的概念，会求一组数据的方差；(重点)

2．理解方差的统计意义和在具体问题中的实际意义．(难点)

一、情境导入

甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下：

甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180.

为了达到最佳效果，希望选取一支身高比较整齐的仪仗队参加某项庆祝活动，经计算，两支仪仗队队员的平均身高为178厘米，那么选取哪支仪仗队呢？

二、合作探究 探究点一：方差

【类型一】 求一组数据的方差 已知一组数据：1，3，5，5，6，求这组数据的方差．

解析：先计算出这组数据的平均数，再利用方差计算公式进行计算即可．

111

解：x＝(1＋3＋5＋5＋6)＝×20＝4，s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2×2＋(6－4)2]

5551

＝×(9＋1＋2＋4)＝3.2. 5

方法总结：计算一组已知数据的方差，应先求出这组数据的平均数，再利用方差公式s2

1

＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]进行计算．在计算方差时，要先计算平均数，因此，记n忆方差的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均．这12个字是对方差计算公式的最好注释．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 利用方差的意义求方差 如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则另一组数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5

的方差是( )

A．3 B．8 C．9 D．14

解析：方差反映一组数据的波动大小，显然数据x1，x2，…，xn与数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的波动大小相同，因此它们的方差相等，所以数据x1＋5，x2＋5，…，xn＋5的方差是3，故选A.

方法总结：方差反映一组数据的波动大小，一组数据同时加上(或减去)同一个数，方差不变．但是如果把一组数据同时乘(或除)同一个绝对值不等于1的数，方差会发生改变． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 探究点二：方差的意义

甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方

222

差分别是s2甲＝0.65，s乙＝0.55，s丙＝0.50，s丁＝0.45，则射箭成绩最稳定的是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

解析：甲、乙、丙、丁四人中丁的方差最小，所以射箭成绩最稳定的是丁．故选D. 方法总结：本题考查了方差的意义，在平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点三：利用方差进行决策 【类型一】 比较品种的整齐 为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的长度

如下表所示(单位：厘米)：

编号 甲 乙 1 12 13 2 13 14 3 15 16 4 15 12 5 10 10 通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．

解析：求出甲、乙的平均数、方差，根据平均数、方差的意义，进行比较可得出结论． 1

解：x甲＝(12＋13＋15＋15＋10)÷5＝13，x乙＝(13＋14＋16＋12＋10)÷5＝13，s2甲＝[(125122

－13)2＋(13－13)2＋(15－13)2＋(15－13)2＋(10－13)2]＝3.6，s2乙＝[(13－13)＋(14－13)＋(165

2－13)2＋(12－13)2＋(10－13)2]＝4.∵s2甲＜s乙，∴甲种水稻出苗更整齐．

方法总结：要比较两个品种谁更整齐，首先应比较它们的平均水平，如果平均水平相同，再看方差，方差越小越整齐．

【类型二】 质量稳定评估 为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取

10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下(单位：秒)，你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

甲种 乙种 手表) 手表) －3 －4 4 1 2 －2 －1 1 －2 4 －2 1 1 －2 －2 －1 2 －2 1 －2 解析：根据题意，要比较两种手表中哪种走时稳定性好，需要计算两种手表走时误差的方差，所以先需求出甲、乙两种手表日走时误差的平均数，按平均数的求法求解即可，然后计算方差．

1

解：甲种手表走时稳定性好，理由如下：x甲＝(|－3|＋4＋2＋|－1|＋|－2|＋|－2|＋1＋|

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－2|＋2＋1)＝2，x乙＝(|－4|＋1＋|－2|＋1＋4＋1＋|－2|＋|－1|＋|－2|＋|－2|)＝2，s2[(2甲＝1010－3)2＋(2－4)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(2－1)2]＝10.8，s2[(2－4)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－4)2＋(2－1)2＋(2－2)2＋(2－1)2＋(2－2)2乙＝10

2＋(2－2)2]＝1.2.∵s甲＜s2乙，∴甲种手表走时稳定性好．

方法总结：要比较甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好，需比较它们的方差，方差越小越稳定．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第12题

【类型三】 确定比赛人选 为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，

两人在相同条件下各射击5次，命中的环数如下(单位：环)： 命中环数 甲命中相应环数的次数 乙命中相应环数的次数 7 2 1 8 2 3 9 0 1 10 1 0 为确保比赛时的水平能比较稳定地发挥，应选谁参加比赛？ 解析：要选取能稳定发挥的同学参加比赛，应选取方差比较小的同学，所以应先计算方差．

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解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为x甲＝(7×2＋8×2＋10×1)＝8，x乙＝(7×1

551122222

＋8×3＋9×1)＝8，s2甲＝[2×(7－8)＋2×(8－8)＋(10－8)]＝1.2，s乙＝[(7－8)＋3×(8－55

28)2＋(9－8)2]＝0.4.∵s甲＞s2乙，∴乙同学的射击成绩比较稳定，应选乙参加比赛．

方法总结：确定比赛人选时，要看制定的目标，如果为了确保比赛时的水平能稳定地发挥，则应比较方差的大小；如果为了冲击水平较高的金牌，一般可选取训练时单次水平最高的人参加．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第13题

三、板书设计

1．方差：一组数据中各数据与平均数之差的平方的平均值，叫做这组数据的方差． 2．方差的计算：设一组数据为x1，x2，x3，…，xn，平均数为x，则这组数据的方差为s2＝错误![(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]

3．方差的意义：一组数据的方差越小，说明这组数据离散或波动的程度就越小，这组数据也就越稳定．

4．求方差的一般步骤：先求平均数，再求每个数与平均数的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值．

在教学过程中，通过情境引入，引导学生观察、思考，经历数学概念(方差)的生成过程．通过实例说明如何求一组数据的方差，引导学生得出求方差的一般步骤：先求平均数，再求每个数与平均数的偏差，然后求偏差的平方，最后求偏差平方的平均值．通过实际问题利用方差进行决策，既强化学生掌握方差的计算方法，又让学生进一步理解方差的实际意义，这样突出重点，突破难点

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