高中数学第一章三角函数章末检测新人教A版必修4

第一章 三角函数

章末检测(一)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 4π

1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )

3πA． 62πC． 3

πB．

34πD．

3

4π4π4π

解析 与角－终边相同的角是2kπ＋(－)，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边

3332π

相同的角是，故选C．

3

答案 C

2．tan 150°的值为( ) A．3 3

B．－

3 3

C．3

解析 tan 150°＝－tan 30°＝－答案 B

D．－3 3

.故选B． 3

3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

解析 由题意，根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D．

答案 D

4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是( ) A．2，－2 C．1，－1

B．1，－3 D．2，－1

yrxr解析 ∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B．

答案 B

1

5．α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点且cos α＝A．3 C．－3

解析 ∵cos α＝＝去)或x＝－3.答案C．

答案 C

6．已知tan α＝3，则sin αcos α＝( ) 3A． 107C． 10

3B． 54D． 5B．±3 D．－2

2

x，则x的值为( ) 4

xrx2

＝x，∴x＝0(∵α是第二象限角，舍去)或x＝3(舍2

4x＋5

sin αcos αtan α3

解析 ∵tan α＝3，∴sin αcos α＝2＝＝． 22

sinα＋cosαtanα＋110答案 A

xπ

7．函数f(x)＝3tan(－)，x∈R的最小正周期为( )

24

πA． 2C．2π

B．π D．4π

xπ

解析 f(x)＝3tan(－)，

24

1π

∵ω＝，∴T＝＝2π，

21

2则函数的最小正周期为2π． 答案 C

ππ

8．把函数y＝sin(5x－)的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐

241

标缩短为原来的，所得的函数解析式为( )

2

3π

A．y＝sin(10x－)

43π

C．y＝sin(10x－)

2解析 将函数y＝sin(5x－

7π

B．y＝sin(10x－) 27π

D．y＝sin(10x－) 4

πππ)的图象向右平移个单位，得到函数为y＝sin[5(x－)244

2

－

π7π1]＝sin(5x－)，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝242

7π

sin(10x－)的图象，故选D．

4

答案 D

π

9．已知函数f(x)＝|sin(2x－)|，则下列说法中正确的是( )

6π

A．函数f(x)的周期是 4

π

B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝ 32π5π

C．函数f(x)在区间[，]上为减函数

36D．函数f(x)是偶函数 π

解析 当x＝时，f(x)＝1，

3

π

∴x＝是函数图象的一条对称轴，故选B．

3答案 B

π

10．下列函数中，在区间[0，]上为减函数的是( )

2A．y＝cos x C．y＝tan x

B．y＝sin x π

D．y＝sin(x－)

3

π

解析 对于A，函数y＝cos x在区间[0，]上是减函数，满足题意；

2π

对于B，函数y＝sin x在区间[0，]上是增函数，不满足题意；

2

ππ

对于C，函数y＝tan x在区间[0，]上增函数，且在x＝时无意义，不满足题意；

22ππ

对于D，函数y＝sin(x－)在区间[0，]上是增函数，不满足题意．

32故选A． 答案 A

11．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为( )

3

2π

A．y＝2sin(2x＋)

3

π

B．y＝2sin(2x＋)

3π

D．y＝2sin(2x－)

3

xπ

C．y＝2sin(－) 23

π5π

解析 由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点(－，2)和点(，－2)，则

1212

A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将(－，2)代入得－

π2π

＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，

23

2π2π

当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin(2x＋)，故选A．

33答案 A

1π

12．对于函数f(x)＝cos(2x－)，给出下列四个结论：

22①函数f(x)的最小正周期为2π；

ππ31

②函数f(x)在[，]上的值域是[，]；

6242π3π

③函数f(x)在[，]上是减函数；

44π

④函数f(x)的图象关于点(－，0)对称．

2其中正确结论的个数是( ) A．1 C．3

1π1

解析 f(x)＝cos(2x－)＝sin 2x，

2222π

∴T＝＝π≠2π，可排除①；

2

B．2 D．4

π12π6

πππππ

若x∈[，]，则2x∈[，π]，sin 2x∈[0,1]，故函数f(x)在[，]上的值域

623621

是[0, ]，可排除②；

2

4

π3ππ3ππ3π

若x∈[，]，2x∈[，]，y＝sin u在[，]上单调递减，故函数f(x)在

442222π3π

[，]上是减函数，③正确； 44

π1π

当x＝－时，f(x)＝sin(－π)＝0，故函数f(x)的图象关于点(－，0)对称，即④

222正确．

综上所述，正确结论有2个，故选B． 答案 B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm． 解析 根据题意得：S扇形＝答案

50π 3

2

nπR260π×10250π

360

＝

360

＝3

(cm)．

2

4

14．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．

5解析 由题意可得x＝－8m，y＝－6sin 30°＝－3，r＝|OP|＝64m＋9，cos α＝＝41

＝－，解得m＝． 2

5264m＋91

答案 215．函数y＝1＋

1

cos x－的定义域为________．

2

－8m2

xr11

解析 由cos x－≥0，得cos x≥，

22ππ

即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．

33∴函数y＝1＋1ππ

cos x－的定义域为{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．

233

ππ

答案 {x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}

3316．给出下列命题：

3π

①函数y＝cos(x＋)是奇函数；

22

②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α

5

3ππ

③y＝2sinx在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是2；

232π5

④x＝是函数y＝sin(2x＋π)的一条对称轴．

84其中正确命题的序号是________．

3π3

解析 ①函数y＝cos(x＋)＝－sinx是奇函数，正确；

222

②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；

3ππ

③y＝2sinx在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是2，不正确；

232π5π3π

④sin(2×＋)＝sin＝－1.正确．

842答案 ①④

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

π－α

17．(10分)已知f(α)＝

π

＋α2

π－α

π＋α

3π＋α2

．

13π

(1)若α＝－，求f(α)的值；

3

π3

(2)若α为第二象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．

25

π－α

解

(1)

∵

π－α

π

＋α2

π＋α

3π＋α2

f(α)＝＝

sin αcos αsin α－sin α－sin α

＝cos α，

13π13ππ1∴f(－)＝cos(－)＝cos＝．

3332π33

(2)∵cos(α－)＝，∴sin α＝．

255

42

∵α为第二象限角，∴f(α)＝cos α＝－1－sinα＝－．

5

ππ

18．(12分)已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域是[0，]，值域是[－5,1]，

62求a，b的值．

6

πππ7

解 ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，

26661π

∴－≤sin(2x＋)≤1．

26当a>0时，f(x)max＝3a＋b＝1，

f(x)min＝－a＋a＋b＝b＝－5．

?b＝－5，?∴???3a＋b＝1，

解得?

?a＝2，?

??b＝－5，

当a<0时，f(x)max＝－a＋a＋b＝b＝1，

f(x)min＝2a＋a＋b＝3a＋b＝－5，

??b＝1，∴?

?3a＋b＝－5，?

??a＝－2，

解得?

?b＝1?

∴a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1．

π

19．(12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，2)，

23ππ

由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)，φ∈(－，)．

222

(1)求这条曲线的函数解析式； (2)求函数的单调增区间．

13π

解 (1)依题意知，A＝2，T＝π－＝π，T＝4π，

4222π1

∴ω＝＝，

4π2

1ππ

由×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)得： 222

ππππφ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(－，)，∴φ＝，

42241π

∴这条曲线的函数解析式为y＝2sin(x＋)．

24π1ππ

(2)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得：

22423ππ

4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，

22

3ππ

∴函数的单调增区间是[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．

22

xπ

20．(12分)已知函数y＝2sin(＋)．

26

(1)试用“五点法”画出它的图象；

7

(2)求它的振幅、周期和初相； (3)根据图象写出它的单调递减区间．

xπ

解 (1)令t＝＋，列表如下：

26

x t y

描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：

－π 32π 3π 22 5π 3π 0 8π 33π 2－2 11π 32π 0 0 0

π

(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为．

6

2π8π

(3)由图象得单调递减区间为[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．

33

53π2

21．(12分)是否存在实数a，使得函数y＝sinx＋acos x＋a－在闭区间[0，]上的

822最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．

3

解 存在a＝符合题意．

2

y＝1－cos2x＋acos x＋a－ a251

＝－(cos x－)＋＋a－．

a2

2

5832

482

π

∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1．

2若>1，即a>2， 2

53

则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1，

8220

解得a＝<2(舍去)；

13

a 8

若0≤a2

≤1，即0≤a≤2．

则当cos x＝aa25

1

2时，ymax＝4＋8a－2＝1．

解得a＝3

2或a＝－4<0(舍去)；

若a2

<0，即a<0， 则当cos x＝0时，y51

max＝8a－2＝1，

解得a＝12

5

>0(舍去)．

综上所述，存在a＝3

2

符合题设条件.

22．(12分)函数f(x)＝1－2a－2acos x－2sin2

x的最小值为g(a)，a∈R． (1)求g(a)；

(2)若g(a)＝1

2，求a及此时f(x)的最大值．

解 (1)f(x)＝1－2a－2acos x－2(1－cos2

x)

＝2cos2

x－2acos x－1－2a＝2(cos x－a2

a2

2)－2－2a－1．

若a2

<－1，即a<－2，则当cos x＝－1时，

f(x)有最小值g(a)＝2(－1－a2

a2

2

)－2

－2a－1＝1；

若－1≤a≤1，即－2≤a2a≤2，则当cos x＝2

时，

f(x)有最小值g(a)＝－a2

2

－2a－1；

若a2

>1，即a>2，则当cos x＝1时， f(x)有最小值g(a)＝2(1－a2

a2

2

)－2

－2a－1＝1－4a．

?1 a<－

，

2

∴g(a)??－a－2a－

－2≤a，

?2?1－4a a

2

(2)若g(a)＝1a112，由所求g(a)的解析式知只能是－2－2a－1＝2或1－4a＝2

．9

?由?－2≤a≤2，?2?－a－2a－1＝1

?a＝－1或a＝－3(舍)．

?2

2 ?由?a>2，??1－4a＝1

?a＝1

?

2

8

(舍)．

此时f(x)＝2(cos x＋12)2＋1

2，得f(x)max＝5．

∴若g(a)＝1

2

，应有a＝－1，此时f(x)的最大值是5．10

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