Mathematica数学软件系统使用入门

- 1 - Ch1. a Mathematic 概述

1.1a Mathematic 的工作环境

a Mathematic 的基本系统是用C 语言编写的，因此能够方便的移植到各种计算机系统上。

打开a Mathematic ，可以看到它是一个窗口软件，包括一个执行各种功能的工作条（屏幕顶端）和一个工作区窗口。激活工作区窗口，输入希望的计算式（如：“3+8-4”），同时按下“Shift ”和“Enter ”键便可执行计算。

使用a Mathematic 的几个注意点：

1. 每次使用a Mathematic ，第一次计算时间较长，这是系统在进行初始化工作，从第二次计算开始就很快了。

2. 输入计算公式和普通文本输入一样，系统将把每次输入记录在案，并自动给每个输入记录用“In[n]”编号，计算结果用“Out[n]”编号。“%”表示上一次计算结果，“%n ”表示“Out[n]”的内容，这样可以减少重复输入。

3. 输完计算式后，同时按下“Shift ”和“Enter ”键，a Mathematic 将完成计算。

4. 必须严格按照系统所规定的格式输入算式，否则将无法完成计算任务，通常给出一段文字，告诉你出错的（可能）原因。

1.2a Mathematic 的基本功能

1.基本计算功能,如：

In[1]:= 3+8-4

Out[1]= 7

In[2]:= 12.5^3 (*即12.53*)

Out[2]= 1953.13

2.强大的符号计算功能

a Mathematic 的最大特点是能进行符号计算。如:

(1) 解方程x a x 2=+

In[3]:= Out[3]=I

注意，方程的解用“ ”代替了“=”。

(2) 求不定积分dx x e x ?sin

In[4]:= Out[4]= 注意，不定积分的任意常数C 均省略。

- 2 - 3.绘图功能

a Mathematic 有强大的图形功能，可作各种二维、三维图形。如：

(1) 作函数x x y 6.1sin sin +=的二维图形

--Graphics (2) 作函数)sin(xy z =的三维图形

In[6]:=

--phics SurfaceGra

1.3从a Mathematic 中获得帮助信息

1. 点击工作条中的Help 可获得帮助信息。特别是下拉菜单“Help Browser ”中的“Mathematica Book ”系统而完整地介绍了本软件的使用方法。

2. 用“？”可获得帮助信息（常用信息）。如：

In[7]:= ?Sin

Sin @z D gives the sine of z. 3. 用“??”可获得帮助信息（详细信息）。如：

In[8]:= ??Sin

Sin @z D gives the sine of z.

Attributes @S in D =8L istable,NumericFunction,Protected <

花括号内的多项内容可到“Help Browser ”中查询，只要在“Go To ”右面的对话框中输入想查询信息的名称后打回车键即可找到相应的信息了。

- 3 - Ch2. a Mathematic 的基本命令

2.1算术运算

1.算术运算

用a Mathematic 运算与用计算器一样简单。如： In[1]:= 3.55+12.879/(4.33-1.203)^2.3

Out[1]= 4.4856

a Mathematic 有强大的计算功能，总可以得到精确值。如： In[2]:= (30000*12345)^9

Out[2]=1310723665724312245850482517300821679687500000000000000/

0000000000000000000000

如果想得到近似值，可在输入结尾加上“//N ”。如： In[3]:= (30000*12345)^9//N

Out[3]=771031072.1?

用“N[ ]”也有相同效果。如：

In[4]:= N[Pi,50] (*表示π的近似值，取50位有效数字*) Out[4]= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

输入整数时，a Mathematic 认为是精确值；

输入小数时，a Mathematic 认为是近似值。如： In[5]:= (30000*12345)^9.0

Out[5]=771031072.1?

In[6]:= 3/8+2/67

Out[6]= 536217

2.2 常用函数与常数

1.

- 4 -

2. Pi(圆周率π) E(自然对数的底e) I(虚数单位i) Infinity(+∞) -Infinity(-∞) Degree(π/180)角度 注意，1.a Mathematic 中内部函数和常数须用大写字母开头; 2.函数的自变量应放在方括号内。例如； In[7]:= Sin[Pi/3]

Out[7]=

23 (*这是符号解，即3

sin

的精确解*) In[8]:= N[%,6] (*上述2

3

的近似值，取6位有效数字*)

Out[8]= 866025.0

3.复数 “I ”表示虚数单位i ，如： In[9]:= Log[-737.3]

Out[9]= 6.60299+3.14159?

- 5 -

a Mathematic 1.赋值与消除赋值

有时某些变量（或函数）在计算中重复出现，为避免重复输入，可以先给它们赋值。

如果要对变量赋值可用以下方法：

(1)在变量计算前先赋值。如：

In[1]:= x=3； (*分号表示不立即输出*)

这时变量x 就已赋值为3，以后遇到x 时，a Mathematic 就认为是3了。

In[2]:= x+x

Out[2]= 6

(2)在变量计算后赋值。如：

In[3]:= y+2y/.y->3 (*这时y 已赋值为3*)

Out[3]= 9

In[4]:= x^2+2y

Out[4]= 15

(3) 定义函数（对函数赋值）

a Mathematic 中有很多内部函数，如：Log[x],Sin[x],Abs[x]等；用户也可以自己定义函数，如定义32)(2++=x x x f

In[5]:= f[x_]:=x^2+2 x+3

这样函数f(x)就定义好了，在定义函数时，等号一般用“:=”，方括号内自变量右边必须有下划线“_”。

下面就可以使用此函数了。

In[6]:= f[2]

Out[6]= 7

In[7]:= f[t+1]

Out[7]= 3+2 (1+t)+(1+t)2

In[8]:= Integrate[f[x],{x,0,1}]

Out[8]= 3

13 定义分段函数可用Which(或If)命令来完成，如:?????>≤≤--<-=1

21112)(x x x

x x f In[9]:= f[x_]:=Which[x<-1,-2, x<=1,x,x>1,2]

同样可定义多元函数

In[10]:= g[x_,y_,z_]:=Sin[x]+y-z

- 6 - In[11]:= g[Pi/2,1/2,3]

Out[11]= 23

-

要消除赋值，可用以下方法：

(1)赋值x=. 如：

In[12]:= x=.

In[13]:= x^2+2y

Out[13]= x 2+6

(2)用函数“Clear ”。如：

In[14]:= Clear[y]

In[15]:= x^2+2y

Out[15]= x 2+2y

清除定义的函数也用 Clear[f]。

In[16]:= Clear[f]

2.常用的初等代数符号计算

(1)展开多项式 Expand

In[17]:= Expand[(x+1)(x^2+2x+2)+2x+5]

Out[17]= 7+6x+3x 2+x 3

(2)因式分解 Factor

In[18]:= Factor[x^2+2x+1]

Out[18]= (1+x)2

(3)通分 Together

In[19]:= Together[2/(3+x)^2+3x/(3+x)^2+x^2/(3+x)^2] Out[19]= 22

x)(3x x 32+++

(4)拆分（把有理分式分解为部分分式之和） Apart In[20]:= Apart[(2-3x+x^3)/(9+3x-5x^2+x^3)] Out[20]= ()()()x 141

x 3419x 35

12+++-++-+

(5)约分 Cancel

In[21]:= Cancel[(1+2x+x^2)/(x^2-x-2)]

Out[21]= x 2x

1+-+

3.解代数方程

a Mathematic 中的方程的等号以双等号“= =”表示。 In[22]:= Solve [x^2+3x-8==0,x]

Out[22]= ()()???

?????????+-→??????

--→41321

x ,41321

x

In[23]:= N[%]

- 7 - Out[23]= {}{}{}1.70156x ,4.70156x →-→

In[24]:= Solve[{x+y-1==0,x-y==0},{x,y}]

Out[24]= ?

???????????→→21y ,21x 要求5次以上的高次方程，Solve 就无能为力了，可用NSolve 求多项式方程的近似解。

In[25]:= NSolve[x^3-2x^2-4x-7==0,x]

Out[25]=8x ?-0.81599-1.12316?<,8x ?-0.81599+1.12316?<,8x ?3.63198<

也可用命令FindRoot

In[26]:= FindRoot[x^3-2x^2-4x-7==0,{x,4}]

Out[26]= 8x ?3.63198<

其中4表示方程在从4出发求解。

2.4微积分的符号计算与数值计算

1.微分（导数）运算

(1)D[f,x] 求导数或偏导数

In[1]:= D[Sin[x],x]

Out[1]= Cos[x]

In[2]:= D[y+Sin[x](x+y),y]

Out[2]= 1+Sin[x]

(2)D[f,{x,n}] 求n 次（偏）导数

In[3]:= D[x^3+x^2+1,{x,2}]

Out[3]= 2+6x

(3)D[f,x1,x2] 求混合偏导数

In[4]:= D[(x^2)Sin[y],x,y]

Out[4]= 2xCos[y]

In[5]:= D[f[x^2,x y],x]

Out[5]= y f H 0,1L @x 2,x y D +2x f H 1,0L @x 2,x y D

2.积分运算

(1)不定积分 ?fdx

In[6]:= Integrate[x^2,x]

Out[6]= 33

x

a Mathematic 可做几乎所有标准函数的不定积分，但对于“积不出”的可积函数a Mathematic 也不能求。如：

In[7]:= Integrate[x^x,x]

Out[7]= àx x ax

- 8 - (2)定积分 ?b

a fdx

In[8]:= Integrate[Sin[x],{x,a,b}]

Out[8]= -Cos[b]+Cos[a]

此方法也只能求“积得出”的可积函数的定积分，用NIntegrate 可求定积分的近似值（包括“积不出”的可积函数）。如： In[9]:= NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,1,2}]

Out[9]= 0.81645

(3)重积分，必须先化为累次积分后上机计算，如dy

y x dx x x ??????

??12

21 In[10]:= Integrate[(x/y)^2,{x,1,2},{y ,x,1/x}]

Out[10]= 49

3.求和、求积运算

(1)求和(Σ) Sum

In[11]:= Sum[(n+1)^2,{n,10}]

Out[11]= 505

In[12]:= Sum[n^2,{n,1,100,2}]

Out[12]= 166650

其中{n,1,100,2}表示n 2 按n 从1加到100，步长为2

（即2229931+++ ）

In[13]:= Sum[(1/3)^n,{n,1,Infinity}]//N

Out[13]= 0.5

若级数发散，将得不到任何值。

In[14]:=

Out[14]= 用NSum 可求近似值。

In[15]:= NSum[1/n^3,{n,1,Infinity}]

Out[15]=1.20206

(2)求积（Π） Product

In[16]:= Product[x^n+y^n,{n,1,5}]

Out[16]=H x +y L H x 2+y 2L H x 3+y 3L H x 4+y 4L H x 5+y 5L

用NProduct 可求近似值。

In[17]:= NProduct[n/20-n,{n,1,20}]

Out[17]= 8.72161′1017

4.解微分方程

例如求微分方程1)()(+='x ay x y 的通解。

- 9 - In[18]:= DSolve[y'[x]==a y[x]+1,y[x],x] Out[18]= ?

???????????+-→C[1]e a 1y[x]ax 其中C[1]为任意常数。

也可以求初值问题的解。

In[19]:= DSolve[{y'[x]==a y[x]+1,y[0]==0},y[x],x]

Out[19]= ??????????

??+-→a e 1y[x]ax

5.幂级数展开

Taylor 展式（按x 在x 0处展开n 项）

In[20]:=

Out[20]= (*最后一项为余项*)

上式是将sin[x] 在0处展开9项。

若要将余项o[x]10去掉，可用Normal 。

In[21]:=Out[21]=

6.极限 极限用Limit 表示。例如求极限x

x x sin lim 0→。 In[22]:= Limit[Sin[x]/x,x->0]

Out[22]= 1

7.数据处理

(1)函数的最小值

a Mathematic 系统中可以从一点出发求函数的最小值。

In[23]:= FindMinimum[Sin[x]Cos[x],{x,0.5}]

Out[23]= 8-0.5,8x ?-0.785398<

(2)数据拟合

在数据处理中常用到数据拟合（用一个函数描述所得到的一组数据），a Mathematic 中可用Fit 来完成。

例如得到一组数据{{1，2.18}，{1.2，2.56}，{1.6，3.03}，{1.8，2.66}}，作二次拟合。

In[24]:= t1={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}

Out[24]= {{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}

In[25]:= Fit[t1,{1,x,x^2},x] Out[25]= -4.206+9.465x -3.125x 2

- 10 -

练习1

1.计算下列各式的数值：

(1)10621 (2)12+π (3)264log 3 (4)e e

(5)O 25sin (6))2cos(2π (7)3

1arcsin (8)108! (9)54.0tan (10)πe arctan (11)1+-πi e (12)1.0sin +πi

2.计算下列各式到20，50，100位精度： (1)12+πe (2)12log 5-π (3)12

--πi e (4))132ln(π

(5))(log 2e π (6)))(arctan(log 2π+e (7)3log 352i e + (8))210ln(ln 2+π

3.求下列积分 (1)dx x x ?

+221 (2)xdx x sin )sin(cos 2? (3)?xdx x a x 2cos sin (4)?+π20sin 35x dx (5)dx x a x a a ?-2422 (6)()()?+--2933232322dx x x

4.已知x x y arctan =，求高阶导数()100y 及它在x=0的值。

5.求下列极限（精确到5位小数）

(1)??

????-??? ??++++∞→n n n ln 1...31211lim (3)x x x x x x ln 1lim 1+--→ (2)??? ??-??? ??-??? ??-∞→22211...311211lim n n (4)x

x x ??? ??+∞→arctan 2lim π

6.把下列函数展开为x 的幂级数 (1)x e （展开7项）

(2)

3

212--x x （展开7项）

Ch3. a Mathematic 的表

a Mathematic 中的“表”是重要的表示结构，是用花括号“{”

、“}”括起来的若干式子。式子之间用逗号分开。

3.1表的生成

1.直接生成

- 11 - In[1]:= {2,35,11}

Out[1]= {2,35,11}

In[2]:= {Sqrt[2.0],2+4,x+1}

Out[2]= {1.41421,6,1+x}

2.用函数 Table 定义

In[3]:= Table[n^2,{n,1,20}]

Out[3]= 81,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400<

上式表示生成由n 2组成的表，{n,1,20}表示n 从1到20，每次加1（默认值）

{n,1,20}是{n,1,m}的形式，可换成以下形式:

{n,m}表示n 从1（默认值）到m ，每次加1（默认值） {n,m1,m2}表示n 从m1到m2，每次加1（默认值）

{n,m1,m2,m3}表示n 从m1到m2，每次加m3

如：

In[4]:= Table[n^2,{n,20}]

Out[4]= 81,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,

289,324,361,400<

In[5]:= Table[Sin[x],{x,0,1,0.1}] Out[5]= 80,0.0998334,0.198669,0.29552,0.389418,

0.479426,0.564642,0.644218,0.717356,0.783327,0.841471<

3.2表的结构

1.表的层次

表可以有1 层，如：{1,2,3};也可以有多层，如：t1={1,{2,3},{{4},5}} 表的层次没有限制。

抹平层（去掉一些括号）可用函数 Flatten 。

In[6]:= t1={1,{2,3},{{4},5}};

In[7]:= Flatten[t1]

Out[7]= {1,2,3,4,5}

Flatten 不改变原表，此时表t1仍为{1,{2,3},{{4},5}}

Flatten[t,n]表示抹平表的n 层

In[8]:= Flatten[t1,1]

Out[8]= {1,2,3,{4},5}

2. 表作为向量和矩阵

表{1,2,3}表示向量{1，2，3}

- 12 - 表{{1,1,2},{1,x,1},{1,1,x}}表示矩阵????

? ??x x 1111211

a Mathematic 运算时根据法则自动作出判断。

练习2

1.造下面的表：

(1){1,4,9,16, (10000)

(2){{1,2,3,…,100},…,{1,2,3,100}},共10个子表

(3){n 1,n 2,…,n 50},其中n i =n/n!精确到小数后40位数字

2.做一个10项的表，它的每项sn 是sinx 在x=1点的值与sinx 在0点的n 阶幂级数展式在x=1点的值之差（n=1,2,…,10），要求30位精度。

3.生成5阶方阵A ，B ，C 用演算证明：

(A+B)C=AC+BC (AB)C=A(BC)

4.设(1)A=????? ??6141123205,(2)A=??????? ??---62011111213243

21,求A -1及|A| 5.求向量a={3,-1,2},b={4,2,-5}数量积和向量积。

Ch4. a Mathematic 的图形

4.1二维图形

二维图形是a Mathematic 中最基本的作图，由Plot 实现

1.Plot[f[x],{x,x1,x2}]

表示画f[x]的图形，作图区间[x1,x2]

2.Plot[{f1[x],f2[x],…},{x,x1,x2}]

表示在同一平面上画f1[x],f2[x],…的图形，作图区间[x1,x2]

In[1]:= Plot[Cos[x],{x,0,4Pi}]

Out[1]=-

-Graphics

In[2]:=Plot[Tan[x],{x,0,2Pi}]

Out[2]=-

-Graphics

In[3]:= Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[4x]},{x,0,2Pi}]

Out[3]= -

-Graphics

画用Table生成的表的图形时，Evaluate表示Table表中的值，不可省略。例如；

In[4]:= Plot[Evaluate[Table[Sin[n x],{n,4}]],{x,0,2Pi}]

- 13 -

- 14 -

--Graphics

用“??”看一下 Plot 的可选参数（Option ），可用于改变图形的颜

--Graphics

In[6]:=Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},AspectRatio->Automatic, AxesLabel->{"x","y"},

- 15 - Out[6]= --Graphics

Show 可将任意多个做好的图形显示在一个图形中

--Graphics

In[8]:= --Graphics

--Graphics

画参数方程所决定的曲线的图形可用命令ParametricPlot ，如：画椭圆19162

2=+y x

In[10]:= ParametricPlot[{4Cos[t],3Sin[t]},{t,0,2Pi}]

- 16 -

--Graphics 4.2三维图形

三维图形用Plot3D 命令实现。

Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]

Out[11]= --phics SurfaceGra

画参数方程所决定的空间曲面和空间曲线的图形可用命令

ParametricPlot3D ，如：画出螺旋线???????===10sin cos t z t

y t x ，]20,0[π∈t 的图形。

In[12]:=

- Graphics3D

-4.3多个点的作图

ListPlot 可画离散点的图形。如：

In[13]:= t=Table[2n,{n,0,10,0.5}]

- 17 - Out[13]= 80,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,10.,11.,12.,13.,14.,15.,16.,17.,18.,19.,20.<

--Graphics

此时我们可看一下上一章中数据拟合的图形。 In[15]:= t1={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}} Out[15]= {{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}

In[16]:= f1=Fit[t1,{1,x,x^2},x]

Out[16]= -4.206+9.465x -3.125x 2

--Graphics

--Graphics

-

-Graphics

练习3

1.画下列图形（使用不同的颜色、点数）：

(1)sin(cos(sin x)), [-π,π]

(2)sin(tan x)-tan(sin x), [-π,π]

(3)(tan(sin x)-sin(tan x))/x n,n=4,5,6,7,8,9, [-π,π]

(4)sinx, [-10.10]

(5)

()

()

∑

=

+

+

-

9

1

2

!1

2

1

n

n

n

n

x[-10.10]

(6)把(4)(5)显示在一个图形上。

2. (1)在一张图中画出函数y=x n(n=1,2,3,…,10)，0≤x≤1的图形;(2)在一张图中画出函数y=x1/n(n=1,2,3,4)，-1≤x≤1的图形;(3)在一张图中画出函数y=x-1/n(n=1,2,3,4)，-1≤x≤1的图形。

3.(1)定义一个函数,它同时画出一个函数及其导函数的图形

(1)定义一个函数，它同时画出一个函数及其直至n阶导函数的图形。

- 18 -

附:a

Mathematic基本菜单

这里主要介绍File菜单中的调色板（Palettes）中的三个常用子菜单。

1．File/Palettes/1 AlgebraicManipulation（代数运算）

先输入要计算的代数式并选中它，点击此下拉菜单，在工作区右侧出现一个虚拟盘，单击所徐命令即可完成运算。

2．File/Palettes/2 BasicCalculations（基本计算）

在工作区右侧出现一个带有滚动条的窗口，有七大标题，点击可

里面包含各种函数，点击函数可将函数输入到工作区中。

在工作区右侧出现一个窗口，有各种计算函数和符号，点击可将它们输入到工作区中。

- 19 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m2cq.html