大学物理第2章 运动学

第二章 运动学

2-1 有人说：“分子很小，可将其当作质点；地球很大，不能当作质点，只能

将其当作刚体。”这句话对吗？为什么？

答：分子作平动可视为质点，分子作转动，振动时不能作质点。研究地球绕太阳公转，地日距离r??d地球尺寸，可忽略自转，视为质点。研究地球自转时，则不能视为质点。

2-2 在一列行驶的火车内，A、B两个旅客有这样的对话。 A:我静静地坐在车内半个多小时了，我一点也没有运动。

B:不对，你看看车窗外，铁路边的物体都飞快地向后掠去，火车在快速前进，你也在很快地运动。

试把A、B两个旅客讲话的含意阐述得确切一些。究竟旅客A是运动，还是静止？你如何理解运动和静止这两个概念？

答：A: A是选择车厢为参考系，则A相对车厢是静止的。

B: B是选择地面上的物体为参考系，则A相对地面上的物体是运动的。 所以选择不同的参考系，描述物体的运动是不同的。 2-3 回答下列问题：

（1）位移与路程有什么区别？ （2）速度与速率有什么区别？

（3）瞬时速度与平均速度有什么区别？二者之间有何联系？

答：（1）位移是矢量，路程是标量。路程是物体运动经历的实际路经，而位移是物体初末位置矢量之差，表示物体位置的改变，一般并不是物体所经历的实际路经。

例如，一物体绕半径为R一周后回到原位置，其路程为2?R,而位移却为零。只有当物体作单向直线运动时，位移的数值才与路程相同。

（2）速度是矢量，即有大小又有方向，两者中有一个变化，速度都有变化。速率是标量，即速度的大小是速率。 （3）瞬时速度是平均速度的极限值。 v?limt?0rdr? tdt1

表示某一时刻的速度，速度的方向沿质点轨迹的切线，并指向质点前进的方向。

平均速度是反映了质点在这段时间内位置矢量对时间的平均变化率，即

v?r t 2-4 一质点在Oxy平面上运动，已知质点运动方程为

r(t)?x(t)i?y(t)j

在计算质点的速度和加速度的大小时，有人分别给出了以下两种结果： （1） 先求出r的量值

r?x2?y2

再得出质点的速度和加速度分别为

d2rdrv? ， a?2

dtdt（2） 先求出速度和加速度的分量，再合成求出结果

?d2x??d2y??dx??dy?v?????? ，a??2???2?

?dt??dt??dt??dt?你认为这两种方法哪一种正确？为什么？

答：速度、加速度均是矢量，因此求速度和加速度时，应根据矢量求导法则：

v?drddxdy?xi?yj?i?j dtdtdtdt2222??d2rd2d2xd2ya?2?2xi?yj?2i?2j

dtdtdtdt??在上式求导中，因为i、j是单位矢量，且是恒矢量。

?dx??dy?由此，速度的大小 v??????

?dt??dt?22didj?0，?0。 dtdt?d2x??d2y?加速度的大小 a??2???2?

?dt??dt?因此，第二种方法是正确的。

22 2

2-5 请以实例说明下列问题：

（1）物体能否有不变的速率而仍有变化的速度？

（2）物体速度为零时，其加速度是否一定为零？反之，物体的加速度为零时，其速度是否一定为零？

（3）物体的加速度不断减小，而其速度却不断增大，有可能吗？

（4）当物体具有大小和方向都不变的加速度时，其速度的方向是否可以有变化？

?答：（1）匀速率圆周运动，v不变，v方向不断变化。

（2）竖直上抛物体到达顶点时，a?g,v?0。匀速直线运动时，a?0,v?0。 （3）只要a?0，但a?，且a与v同号，则质点作加速运动，速度v?。

?（4）g竖直向下，抛体运动的速度方向不断变化，加速度是恒矢量。 2-6 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度与时间的关系是否是线性的？该质点的位置矢量与时间的关系是否也是线性的呢？

dv 初始条件 t?0 x0 v0 dtvtt11dx则有，速度 ?dv??adt??ctdt?ct2 ? v?v0?ct2?

v00022dt 答：已知 加速度 a?ct?11??坐标 ?dx??vdt???v0?ct2?dt ? x?x0?v0t?ct3

x00026??xtt可见，速度和坐标与时间不是线性的。

2-7 一物体在t?0时开始自由下落，利用公式

h?12gt 2求得物体下落距离h?19.6m的时刻为?2s和?2s。这里的?2s有什么意义？ 答：由自由下落公式 h?12gt 2 得出 t??2h g一物体在t?0时开始自由下落，则当物体下落距离h?19.6m时，t1?2s。而

t2??2s是无意义的，因为时间是为正值的。

3

2-8 一人站在地面上用枪瞄准悬挂在树上的木偶击发枪机，当子弹从枪口射出时，木偶正好从树上由静止自由下落。子弹可以射中木偶吗？试说明为什么？ 答：取子弹为坐标原点，在直角坐标系Oxy中，子弹作抛体运动，其运动方程为 x1?v10cos?t

1 y1?v10sin?t?gt2

2木偶初始位置为（x20，y20），木偶作自由落体运动，其运动方程为

x2?x20

1y2?y20?gt2

2子弹击中木偶时的条件：y1?y2 x1?x2?x20 瞄准时: tan??y20 x20由此解得： t?x20x1?

v10cos?v10cos?y1?v10sin?t?x2012111gt?v10sin??gt2?x20tan??gt2?y20?gt2?y2 2v10cos?222所以，子弹能击中木偶。

2-9 质点在平面上运动，其运动方程为r?r(t)，速度为v?v(t)。 （1） 如果

drdr?0，质点作什么运动？ ?0，dtdtdvdv?0，质点作什么运动？ ?0，dtdt（2） 如果

答：（1）因为

dr?0，所以 r?恒量，则质点作半径为r的圆周运动。 dtdv?0，所以 v?恒量，则质点作匀速率曲线运动。 （2）因为 dt 2-10 一质点作匀速率圆周运动，取圆心为坐标原点。质点的位置矢量与速度、位置矢量与加速度、速度与加速度的方向之间有何关系？

4

答：一质点作匀速率圆周运动，

v2其加速度为 a?an?en

r速度为 v?vet 位矢为 r??ren 且 et?en

所以 r?v ， ra 但方向相反， v?a。 2-10 下列说法是否正确？

（1） 质点作圆周运动时，其加速度指向圆心； （2） 质点作匀速率圆周运动时，其加速度为恒量；

（3） 只有法向加速度，而无切向加速度的运动，一定是圆周运动； （4） 只有切向加速度，而无法向加速度的运动，一定是直线运动。 答：（1）错。因为质点作圆周运动时，其加速度为 a?atet?anen

加速度的方向为 ??arctanan at ?：为总加速度与切向加速度的夹角，所以，加速度不是指向圆心。 （2） 错。因为匀速率圆周运动不是匀加速运动，匀加速运动一般理解为加速度为常值的运动，这要求加速度的大小和方向均不变；而匀速率圆周运动速率不变，但速度的方向时刻在变，故加速度不是恒量。

（3）不一定。因为只有法向加速度，而无切向加速度的运动，其加速度为

v2a?an?en

r当r?恒量时，是圆周运动；当r?恒量时，不是圆周运动。

（4）对。因为只有切向加速度，而无法向加速度的运动，其加速度为

a?at?速度为 v?vet

dvet dt 5

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