职业高中数学知识点总结

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2 如：集合A?x|x?2x?3?0，B??x|ax?1?

?? 若B?A，则实数a的值构成的集合为 （答：??1，0，?） 3. 注意下列性质：

??1?3?n （1）集合a1，a2，??，an的所有子集的个数是2；

?? （2）若A?B?A?B?A，A?B?B； （3）德摩根定律：

CU?A?B???CUA???CUB?，CU?A?B???CUA???CUB?

ax?5?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x2?a 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3?M，∴

a·3?5?032?aa·5?5?025?a5???a??1，???9，25?）

3??∵5?M，∴ 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y?x?4?x?lg?x?3?2的定义域是

（答：0，2?2，3?3，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是_____________。 （答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：f 令t????????????2x?1?ex?x，求f(x).

?x?1，则t?0

∴x?t?1 ∴f(t)?et2?1?t2?1

∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

??1?x 如：求函数f(x)??2???x?1?x?0?的反函数

?x?0???x?1?x?1?） （答：f(x)??????x?x?0? 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a ?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)?（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f?(x)为增函数，否则f?(x)为减函数。）

????y?log1?x?2x的单调区间 如：求

2?2? （设u??x2?2x，由u?0则0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如图：

22 u O 1 2 x 当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y?

2

当x?[1，2)时，u?，又log1u?，∴y?

2 ∴??）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称 若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2x?a?2为奇函数，则实数a? 如：若f(x)?2x?1

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2?0，∴a?1） 即20?12x， 又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?x4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。

2?x （令x???1，0?，则?x??0，1?，f(?x)??x

4?12?x2x?? 又f(x)为奇函数，∴f(x)???x x4?11?4?2x??x?4?1 又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

x?(?1，0)x?0x??0，1?）

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若f?x?a???f(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期 如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称 f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

y?f(x?a)左移a(a?0)个单位 将y?f(x)图象???????? ??y?f(x?a)右移a(a?0)个单位 ?????????? 注意如下“翻折”变换：

上移b(b?0)个单位下移b(b?0)个单位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象

y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a （1）一次函数：y?kx?b?k?0? （2）反比例函数：y?的双曲线。

kkk?0推广为y?b????k?0?是中心O'(a，b) xx?a2b?4ac?b2? （3）二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x?图象为抛物线 ????2a4a2?b4ac?b2?b 顶点坐标为?? ，，对称轴x???4a?2a?2a 开口方向：a?0，向上，函数ymin4ac?b2?

4a a?0，向下，ymax4ac?b2?

4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

???0??b2 如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0 （4）指数函数：y?ax?a?0，a?1? ?? （5）对数函数y?logaxa?0，a?1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：a?1(a?0)，amnnm?mn0?p?1(a?0) ap a?a(a?0)，a?1nam(a?0)

对数运算：logaM·N?logaM?logaNM?0，N?0 loga??M1n?logM?logN，logM?logaaaaM Nnlogax 对数恒等式：a?x

对数换底公式：logab? 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

logcbn?logambn?logab

logcam 如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

（3）证明单调性：f(x2)?f?x2?x1??x2???

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x （2）y???2x?4 x?32x2 （3）x?3，y?

x?3 （4）y?x?4?9?x （5）y?4x?2?设x?3cos?，???0，???

9，x?(0，1] x11l·R??·R2） 22 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？ （l??·R，S扇?

R

1弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 sin??MP，cos??OM，tan??AT

y T B S P α O M A x

如：若?????0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是8

又如：求函数y?1?2cos?????x?的定义域和值域。 ?2? （∵1?2cos?????x?）?1?2sinx?0 ?2? ∴sinx?2，如图： 2

∴2k??5???x?2k???k?Z?，0?y?1?2 44 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sinx?1，cosx?1

y y?tgx x ? ? ? O ? 22

对称点为?k

???，0?，k?Z ?2? y?sinx的增区间为?2k???????，2k????k?Z? 22??3?? 减区间为?2k??，2k???k?Z? ?22?? 图象的对称点为k?，0，对称轴为x?k???????k?Z? 2x的增区间为2k?，2k??? y?cos???k?Z?

??k?Z?

减区间为2k???，2k??2?? 图象的对称点为?k??????，0?，对称轴为x?k??k?Z?

?2???，k???k?Z 22? y?tanx的增区间为?k????

26. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。或y?Acos??x??? （1）振幅|A|，周期T???2? |?| 若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

若f?x0??0，则x0，0为对称点，反之也对。 （2）五点作图：令?x??依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

???3?，?，，2?，求出x与y，依点 22

??(x1)???0? 如图列出??

?(x2)????2? 解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan??x???，T?? |?| 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cos?x? （∵??x?????23???，x???，?，求x值。 ???6?22??3?7??5??5?13，∴?x??，∴x??，∴x??） 26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数y?sinx?sin|x|的值域是 （x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

???? （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

??x'?x?ha?(h，k) （1）点P（x，y）????? ??P'（x'，y'），则?平移至?y'?y?k （2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0 如：函数y?2sin?2x?图象？

（y?2sin?2x????????1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的 4???????1???横坐标伸长到原来的2倍??y?2sin?2?x????1 ??1?????????4???2?4?????1个单位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1?上平移???????y?2sinx ??4左平移个单位12?y?sinx） ??????????纵坐标缩短到原来的倍 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan2222? 4??cos0???称为1的代换。 2? “k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2?sin“奇”、“偶”指k取奇、偶数。 如：cos9??7???tan????sin?21????6?4sin??tan?，则y的值为cos??cot?

B. 负值

C. 非负值

又如：函数y? A. 正值或负值

D. 正值

sin?2sin??cos??1?cos?? （y??0，∵??0）

cos?cos2??sin??1?cos??sin?sin?? 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos? sin??????sin令???令???2co?s?????cos?co?s?sin?sin??????cos2??co2s??sin? tan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?1?cos2?2 1?cos2?2sin??2co2s??tan2??

2tan? 21?tan?

??bcos?? asin sin??cos??a2?b2sin?????，tan??b a???2sin????

?4?????? 3? sin??3cos??2sin??? 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（1）角的变换：如?????????，????????????????????? ??22??2 （2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

sin?cos?2?1，tan???????，求tan???2??的值。

1?cos2?3sin?cos?cos?1??1，∴tan?? （由已知得： 22sin?22sin?2 又tan??????

321?tan?????tan??1 ∴tan?32?） ???2???tan????????1?tan?1?2·18?????·tan32 如：已知?? 32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2?c2?a2 余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

?a?2RsinAabc? 正弦定理：???2R??b?2RsinB

sinAsinBsinC?c?2RsinC? S??1a·bsinC 2 ∵A?B?C??，∴A?B???C

C，sin ∴sin?A?B??sin 如?ABC中，2sin （1）求角C；

2A?BC?cos 22A?B?cos2C?1 2c2，求cos2A?cos2B的值。 （2）若a?b?222 （（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1 又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

21或cosC??1（舍） 2? 又0?C??，∴C?

31222 （2）由正弦定理及a?b?c得：

232222? 2sinA?2sinB?sinC?sin? 3432A?1?cos2B? 1?cos43 ∴cos2A?cos2B??）

4 ∴cosC? 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦：arcsinx???????，?，x???1，1? 2??2 反余弦：arccosx?0，?，x??1，1 反正切：arctanx???????????，?，?x?R? ?22? 34. 不等式的性质有哪些？

（1）a?b，c?0?ac?bcc?0?ac?bc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd （4）a?b?0?1111?，a?b?0?? abab （5）a?b?0?an?bn，na?nb

（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 如：若11??0，则下列结论不正确的是（ab）

A.a2?b2 C.|a|?|b|?|a?b| 答案：C

35. 利用均值不等式：

B.ab?b2

D.ab??2 ba?a?b? a2?b2?2aba，b?R?；a?b?2ab；ab???求最值时，你是否注

?2???2意到“a，b?R?”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R? 22a?b?? 当且仅当a?b时等号成立。 a?b?c?ab?bc?caa，b?R 当且仅当a?b?c时取等号。 a?b?0，m?0，n?0，则

222??bb?ma?na??1?? aa?mb?nb4 如：若x?0，2?3x?的最大值为x

（设y?2??3x???4???2?212?2?43 x? 当且仅当3x?423，又x?0，∴x?时，ymax?2?43） x3

又如：x?2y?1，则2x?4y的最小值为 （∵2x?22y?22x?2y?221，∴最小值为22） 37.解分式不等式f(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？ g(x) （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：?x?1??x?1??x?2??0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1 （解集为?x|x?23??1??） 2? 42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是 （设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和 umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?1 （5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界 项，即：

当a1?0，d?0，解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。

?an?1?0?an?0 当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。

a?0?n?1 如：等差数列an，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1 又S3???

?a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3?????18 ∴Sn?222 ?n?27）

44. 等比数列的定义与性质 定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 an 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy

?na1(q?1)? 前n项和：Sn??a11?qn（要注意!）

(q?1)?1?q??? 性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？

（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

111a1?2a2????nan?2n?52221 解：n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14

2111 n?2时，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?52221 ?1???2?得：nan?2

2 如：?an?满足 ∴an?2n?1?1?

?2?

?14(n?1) ∴an??n?1

2(n?2)?［练习］

数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3 （注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1?4 Sn 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4n n?2时，an?Sn?Sn?1????3·4n?1 （2）叠乘法

例如：数列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?1 解：

a2aaa12n?11·3??n?·??，∴n? a1a2an?123na1n3 n 又a1?3，∴an? （3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加，得：

?????an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n) ［练习］

数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an （an?1n3?1） 2?? （4）等比型递推公式

an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x? ?an?can?1??c?1?x

??x? 令(c?1)x?d，∴ ∴?an?d c?1??d?d是首项为a?，c为公比的等比数列 ?1c?1?c?1 ∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1d ?c?c?1?c?1 ∴an??a1?［练习］

数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an

?4? （an?8????3? （5）倒数法

n?1?1）

例如：a1?1，an?1?2an，求an

an?2 由已知得：1an?1?an?211 ??2an2an ∴1an?1?11? an2 ???1?11 为等差数列，?1，公差为?a12?an?111?1??n?1?·??n?1? an222 n?1 ? ∴an? 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求?ak?1n1 kak?1 解：由n111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n11?11? ∴??????

aadaa?kk?1kk?1k?1k?1?

?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?

［练习］ 求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n1） n?1 （an??????，Sn?2? （2）错位相减法：

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项

和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。

如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn ?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1时，Sn?2?

1?x?nx???nn?1?x?21?x

x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sn?a1?a2????an?1?an?? ?相加

Sn?an?an?1????a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an??? ［练习］

x2?1??1??1? 已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f???????2?????4?231?x

x?1? （由f(x)?f?????x?1?x22x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1????x?2 ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

?????????1???2???1???3???1??4? ?11?1?1?1?3） 22 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为： Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n???n?n?1??r???等差问题 2? △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归

还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x

n?1??1?r?n?1?r??1? ?x? ??x1?1?rr?????? ∴x?pr?1?r?n?1?r?n?1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 （1）分类计数原理：N?m1?m2????mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2??mn （mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

An?n?n?1??n?2????n?m?1??mn!?m?n?

?n?m?! 规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

n?n?1????n?m?1?Amn! C?n ??mm!m!?n?m?!Ammn 规定：C0n?1 （4）组合数性质：

n?mm?101nn Cm，Cm?Cmn?Cnn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 解析：可分成两类：

C. 12

D. 10

?? （1）中间两个分数不相等，

有C5?5（种）

4

（2）中间两个分数相等 x1?x2?x3?x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

(a?b)?Cna?Cnan0n1n?1n?22n?rrnb?C2b???Crb???Cnnananb

rn?r 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cnarbr(r?0，1??n)

Cn为二项式系数（区别于该项的系数） 性质：

rn?rr?0，1，2，??，n （1）对称性：Cn?Cn?? （2）系数和：Cn?Cn???Cn?2 Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2135024n?101nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式 ??1?项，二项式系数为Cn?2?n?1n?1系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为Cn2?Cn2

22 如：在二项式?x?1?的展开式中，系数最小的项系数为表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第11nn?1n?1（用数字

12?6或第7项 2r 由C11x11?r(?1)r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小： 65 ?C11??C11??426

又如：?1?2x?2004?a0?a1x?a2x2????a2004x2004?x?R?，则

（用数字作答）

?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004?? （令x?0，得：a0?1

令x?1，得：a0?a2????a2004?1

∴原式?2003a0?a0?a1????a2004?2003?1?1?2004） 53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)???A包含的等可能结果m?

一次试验的等可能结果的总数n （2）若A、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·B?P?A?·P?B? （4）P(A)?1?P(A)

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

???C22?4 ?P1?2??

C1015?? （2）从中任取5件恰有2件次品；

3?C210?4C6 ?P2??? 521?C10? （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

213 ∴m?C23·46?4

23C2443·4·6?4? ∴P3?

125103 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

523 ∴n?A10，m?C24A5A6 23C2104A5A6 ∴P4? ?521A10 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5 （） 6C15 56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?? （3）单位向量|a0|?1，a0?????a|a| （4）零向量0，|0|?0

?

?长度相等?? （5）相等的向量??a?b

方向相同? 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

A θ O β B ????????????????????????C? D α

（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与

面PCD所成的锐二面角的大小。

P F D C A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线??）

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，

或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??0，?，k?tan??

??y2?y1?????，x1?x2? ??x2?x1?2? P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a?1，k （2）直线方程：

点斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在） 斜截式：y?kx?b 截距式：??????xy??1 ab 一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零） （3）点Px0，y0到直线l：Ax?By?C?0的距离d???Ax0?By0?CA?B22

（4）l1到l2的到角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 l1与l2的夹角公式：tan??k2?k1

1?k1k2 65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥l2

A1C2?A2C1? k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立） A1A2?B1B2?0?l1⊥l2 k1·k2??1?l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义

?椭圆?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??第一定义 ?双曲线?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2

???抛物线?PF?PK 第二定义：e?PFPK?c a 0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y

b O F1 F2 a x a2x? c

x2y2 2?2?1?a?b?0?

ab222 a?b?c

??

x2y2 2?2?1?a?0，b?0?

ab222 c?a?b

?? e>1 e =1 P 0

x2y2x2y2 69.与双曲线2?2?1有相同焦点的双曲线系为2?2?????0?

abab 70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？

△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。） 弦长公式P1P2? ??1?k???x21?x2??4x1x2

2?1?2?1?y?y?4y1y2 ????2?k2?1?? 通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

22线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2? n2 73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。 （由a?x?x'y?y'，b??x'?2a?x，y'?2b?y） 22 只要证明A'2a?x，2b?y也在曲线C上，即f(x')?y'

???AA'⊥l （2）点A、A'关于直线l对称??

AA'中点在l上? ???kAA'·kl??1?AA'中点坐标满足l方程22

?x?rcos?74.圆x?y?r的参数方程为?（?为参数）

y?rsin??2?x?acos?x2y2 椭圆2?2?1的参数方程为?（?为参数）

ab?y?bsin? 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

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